切割函數(shù)與參數(shù)選擇的關(guān)系

岳崇山，張蒲修

（1．河北北方學(xué)院理學(xué)院，河北 張家口75000；2．張家口市農(nóng)業(yè)行政綜合執(zhí)法支隊(duì)，河北 張家口075000）

研究各種平面區(qū)域或空間區(qū)域的差別有很多種方法．比較幾何化的方法是研究平面區(qū)域或空間區(qū)域的邊界曲線或邊界曲面．研究平面區(qū)域的邊界曲線的局部軸對(duì)稱性是一種重要的方法．使用雙切圓 （即給定平面上的簡(jiǎn)單光滑閉曲線M，研究與M相切不止一點(diǎn)的圓 ）來刻畫曲線的局部對(duì)稱性是常用的方法．如果曲線上每一點(diǎn)都存在雙切圓，那么就表明平面曲線具有 “局部”的對(duì)稱性．所有雙切圓的中心形成圖形稱為曲線的對(duì)稱集．在平面區(qū)域的外形識(shí)別中，對(duì)稱集有著非常重要的作用，見參考文獻(xiàn) ［1－4］．

有許多文獻(xiàn)對(duì)曲線的雙切圓進(jìn)行了細(xì)致的研究，比如Peter J．Gibin和Donal B．O＇shea在參考文獻(xiàn)［5］中討論了平面閉曲線的雙切圓的存在性問題．他們的論文中，切割函數(shù)是一個(gè)重要的概念和工具．但是他們定義的切割函數(shù)僅適用于閉曲線．參考文獻(xiàn)［6］將切割函數(shù)定義在一般的曲線上的，并討論了切割函數(shù)恒為常值的曲線的形態(tài)．參考文獻(xiàn)［7］考察了平面曲線的切割函數(shù)的分析性質(zhì)．參考文獻(xiàn)［8］的結(jié)果表明曲線的拓廣的切割函數(shù)是一個(gè)運(yùn)動(dòng)不變量．本文將討論曲線的切割函數(shù)與曲線的參數(shù)選擇的關(guān)系．

1 相關(guān)概念

定義1．1 設(shè)r?（t）＝｛x（t），y（t）｝為平面曲線C 的一個(gè)正則參數(shù)化．κ（t）為其相對(duì)曲率．設(shè)r?（t0）是曲線上一點(diǎn)，稱

為曲線的切割函數(shù)，

為曲線的拓廣的切割函數(shù)，這里S＝｛t｜r?（t）＝r?（t0）．

例1．1 橢圓x（t）＝a cos t，y（t）＝b sin，a，b＞0為平面正則曲線．t0為橢圓上任意一點(diǎn)的參數(shù)，則由定義1可知橢圓的切割函數(shù)為特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，橢圓退化為圓．簡(jiǎn)單的計(jì)算可得圓的切割函數(shù)為f（t0，t）＝1／a．這也驗(yàn)證了參考文獻(xiàn)［6］的定理2．1．

定義1．2 設(shè)r?（t）為空間曲線C 的一個(gè)正則參數(shù)化．κ（t）為其曲率．r?（t0）是曲線上一點(diǎn)．稱

為曲線的切割函數(shù)，

為曲線的拓廣的切割函數(shù)，這里S＝ ｛t｜r?（t）＝r?（t0）．

定義1．3［9］設(shè)r?（t）為曲線C的一個(gè)參數(shù)化．函數(shù)t＝g）稱為曲線C的一個(gè)參數(shù)變換，如果g′）存在、連續(xù)、且不為零．當(dāng)g′）＞0時(shí)，稱t＝g）是曲線r?（t）的保持定向的參數(shù)變換．

2 主要結(jié)果

定理2．1 定向平面曲線的拓廣的切割函數(shù)與參數(shù)的選擇無關(guān)．證明 設(shè)r?（t）＝｛x（t），y（t）｝為平面曲線C的一個(gè)正則參數(shù)化，

＝f（t0，t）再考慮到定向曲線的曲率與參數(shù)的選擇無關(guān)，定理立即可得．

定理2．2 空間曲線的拓廣的切割函數(shù)與參數(shù)的選擇無關(guān)．

為曲線的拓廣的切割函數(shù)，這里S＝｛t｜r?（t）＝r?（t0）．t＝g）是r?（t）的一個(gè)參數(shù)變換，r?）＝r?·g

再考慮到空間曲線的曲率與參數(shù)的選擇無關(guān)，定理立即可得．

定理2．1和定理2．2和參考文獻(xiàn)［3］的結(jié)果立刻可以得到下面的定理．

定理2．3 平面定向正則曲線的切割函數(shù)是幾何量；空間正則曲線的切割函數(shù)是幾何量．

［1］ Blum H．Biological shape and visual science ［J］．J Theoret Biol，1973，（38）：205－287

［2］ Brady M．Criteria for representations of shape［M］．New York：Academic Press，1983：23－34

［3］ Bruce M，Giblin PJ，Gibson CG．Symmetry set［J］．Proc Royal Soc Edinburgh，1985，（101A）：163－186

［4］ Giblin PJ，Brassett SA．Local symmetry of plane curves［J］．Amer Math Monthly，1985，（92）：689－707

［5］ Gibin PJ，O＇shea DB．The Bitangent Sphere Problem ［J］．Amer Math Monthly，1990，97 （01）：5－23

［6］ 岳崇山，宋旭華．切割函數(shù)為常值的曲線的一個(gè)結(jié)果［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（03）：13－15

［7］ 岳崇山，宋旭華，景海斌．平面曲線的切割函數(shù)的分析性質(zhì) ［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（04）：14－16

［8］ 岳崇山．切割函數(shù)的運(yùn)動(dòng)不變性 ［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（05）：10－13

［9］ 陳維桓．微分幾何 ［M］．北京：北京大學(xué)出版社，2006：25