間瞄尋的導(dǎo)彈末段最優(yōu)制導(dǎo)建模與仿真

徐文旭，李召，張更宇

(63961 部隊，北京100000)

0 引言

間瞄尋的導(dǎo)彈用于超視距精確打擊坦克和低空飛行的直升機(jī)等目標(biāo)。為了保證命中精度，采用分段制導(dǎo)方式，即在中段制導(dǎo)成功的前提下(導(dǎo)引頭視場與目標(biāo)交匯，并成功鎖定目標(biāo))，再實行末段制導(dǎo)。

長期以來，末段尋的導(dǎo)彈導(dǎo)引律主要針對非機(jī)動或機(jī)動程度不大的飛行目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計［1］，純比例導(dǎo)引在這種背景下是一種有效的導(dǎo)引律。然而對于直升機(jī)這樣的機(jī)動目標(biāo)，采用純比例導(dǎo)引的導(dǎo)彈會在彈道末端出現(xiàn)較大的視線角速度，當(dāng)可用過載較小時會產(chǎn)生較大脫靶量。

因此，人們研究了高級導(dǎo)引規(guī)律，考慮目標(biāo)機(jī)動對制導(dǎo)精度的影響，并考慮導(dǎo)彈對指令響應(yīng)的滯后性，這種導(dǎo)引規(guī)律對導(dǎo)彈需用過載需求較小，并且產(chǎn)生很小的脫靶量，稱為最優(yōu)制導(dǎo)［2-3］。然而最優(yōu)制導(dǎo)律在工程實際應(yīng)用中需要已知目標(biāo)機(jī)動及導(dǎo)彈剩余飛行時間，但目標(biāo)機(jī)動過程很難準(zhǔn)確描述。文獻(xiàn)［3-4］將目標(biāo)機(jī)動統(tǒng)計特性描述為目標(biāo)加速度的微分是白噪聲，同時導(dǎo)引頭的視線角速度量測噪聲也是白噪聲，并建立最優(yōu)制導(dǎo)條件下的系統(tǒng)狀態(tài)模型和測量模型，利用Kalman 濾波算法求解狀態(tài)模型，能獲得較小的脫靶量。

本文則將目標(biāo)機(jī)動統(tǒng)計特性描述為目標(biāo)加速度的微分是有色噪聲序列［5-7］，并建立相應(yīng)的狀態(tài)模型，這比統(tǒng)計獨立的白噪聲序列具有更大的目標(biāo)機(jī)動模式覆蓋范圍。然后也用Kalman 濾波算法求解狀態(tài)模型，通過仿真分析目標(biāo)機(jī)動對導(dǎo)彈命中精度的影響，驗證該方案在不改變導(dǎo)彈硬件的前提下，提高導(dǎo)彈攻擊低空直升機(jī)等高機(jī)動目標(biāo)命中精度的能力，為間瞄尋的導(dǎo)彈實現(xiàn)最優(yōu)制導(dǎo)提供設(shè)計參考。

1 最優(yōu)制導(dǎo)尋的回路

1.1 最優(yōu)導(dǎo)引律簡介

文獻(xiàn)［4］在追擊或迎擊情況下，將彈目相對運動間的幾何角度關(guān)系線性化，給出了比例導(dǎo)引和擴(kuò)展比例導(dǎo)引的統(tǒng)一形式。擴(kuò)展比例導(dǎo)引解決了目標(biāo)加速機(jī)動問題，但當(dāng)制導(dǎo)系統(tǒng)存在慣性延遲時，仍有較大脫靶量。針對慣性延遲問題，文獻(xiàn)［4］164又給出了最優(yōu)制導(dǎo)律，列出如下(表述形式略有變化):

其中:N'為有效導(dǎo)航比;ac為指令加速度;at為目標(biāo)機(jī)動加速度;aL為將ac輸入某慣性環(huán)節(jié)后的輸出，滿足T(daL/dt)+aL=ac，T 為該慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù);y 為導(dǎo)彈在慣性參照系中垂直于當(dāng)前的彈目瞄準(zhǔn)線方向的位移向量;tg0為待飛時間，tg0=tmax-t，tmax為總飛行時間;最后，定義

可以看出，最優(yōu)制導(dǎo)的有效導(dǎo)航比N'與制導(dǎo)時間常數(shù)T 和待飛時間tg0有關(guān)。若不考慮慣性延遲，最優(yōu)制導(dǎo)規(guī)律就是擴(kuò)展比例導(dǎo)引規(guī)律。若進(jìn)而略去目標(biāo)機(jī)動加速度，就得到傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引規(guī)律。即便目標(biāo)有機(jī)動加速度并且導(dǎo)彈具有慣性滯后，理論上，最優(yōu)制導(dǎo)律仍能消除脫靶量。

1.2 最優(yōu)制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)模型和測量模型

為了實現(xiàn)最優(yōu)制導(dǎo)，必須已知目標(biāo)的加速度信息，這對導(dǎo)引頭的測量能力提出了很高的要求。將Kalman 濾波技術(shù)應(yīng)用于最優(yōu)制導(dǎo)尋的回路，能夠及時獲得目標(biāo)加速度的估計信息而不必增加測量硬件。

在將目標(biāo)機(jī)動統(tǒng)計特性描述為目標(biāo)加速度的微分是有色噪聲序列［5-7］情況下，Kalman 濾波估值的制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中，與式［4］中的相應(yīng)方程不同之處在于第三行，即目標(biāo)機(jī)動的模型結(jié)構(gòu)為1 階馬爾柯夫過程的時域動力學(xué)方程

其中，Wt(t)是與機(jī)動加速度相關(guān)的白色噪聲，且滿足

即Wt(t)的方差強(qiáng)度為2αtσ2t.

atmax為最大機(jī)動加速度，其發(fā)生概率為Pmax，非機(jī)動發(fā)生概率為P0;αt=1/τt，τt為機(jī)動相關(guān)時間常數(shù)，通常取經(jīng)驗值，如果目標(biāo)為較慢的持續(xù)機(jī)動，取τt=60;如果目標(biāo)做快速的短暫機(jī)動，取τt=10.

導(dǎo)引頭量測方程為

通常導(dǎo)引頭只能測出視線角λk，λk的值帶有量測噪聲，將之與彈目距離的估值vctg0相乘，得到帶有噪聲的偽測量值zk.

設(shè)定uk為白噪聲，標(biāo)準(zhǔn)差由σyk=vctg0σλk給出，這種假設(shè)不失一般性。

Kalman 濾波方程的形式仍與文獻(xiàn)［4］182一致，如下

其中，Kk為增益矩陣，由遞推矩陣方程計算

Pk代表更新前的狀態(tài)估計誤差，Mk代表更新后的狀態(tài)估計誤差，Qk為離散過程噪聲矩陣。

2 最優(yōu)制導(dǎo)精度仿真

間瞄尋的導(dǎo)彈末制導(dǎo)方式為電視或紅外成像主動導(dǎo)引，識別低空直升機(jī)目標(biāo)距離大于2 km，識別目標(biāo)后進(jìn)入末制導(dǎo)，要求脫靶量≤1 m，末制導(dǎo)最大飛行時間tmax=10 s 左右。

Kalman 濾波器應(yīng)用于最優(yōu)制導(dǎo)尋的回路，前提條件是已知導(dǎo)引頭量測噪聲及目標(biāo)機(jī)動統(tǒng)計特性。導(dǎo)引頭量測噪聲由導(dǎo)引頭及彈上測量器件的精度決定，對于特定的產(chǎn)品為一固定值，此處為σλ=0.001 rad.

對于直升機(jī)目標(biāo)的機(jī)動統(tǒng)計特性，由于直升機(jī)動力性能和駕駛員生理條件的限制，其機(jī)動強(qiáng)度有一個限度。此處假設(shè)其最大機(jī)動加速度atmax=10 m/s2(1 g 左右)，發(fā)生概率Pmax=0.1;非機(jī)動發(fā)生概率P0=0.5;機(jī)動時間常數(shù)的倒數(shù)αt=0.1，計算得σ2t=30 m/s2.

末制導(dǎo)初始條件為:導(dǎo)彈速度為vm0=200 m/s，導(dǎo)引頭初始指向角為ε0=5°=0.087 3 rad，直升機(jī)目標(biāo)初速為vt0=30 m/s，與彈目線呈αt0=0°角相向行駛，因此彈目相對速度vc=230 m/s.

tg0的初始估計值為末制導(dǎo)最大飛行時間tmax，實際仿真中，利用上一次得到的tg0減去采樣間隔作為本次tg0的值。

初始狀態(tài)估計確定為

初始估計誤差協(xié)方差陣確定為

初始估計誤差P0的確定不是唯一的，但仿真表明以上取值對狀態(tài)估計的收斂速度有較好貢獻(xiàn)。

Kalman 濾波采樣步長設(shè)為ts=0.1 s.

仿真計算時，由于暫無導(dǎo)引頭測量值，測量值用最優(yōu)制導(dǎo)計算的理論值疊加白噪聲來表示，理論值在Kalman 濾波采樣步長內(nèi)部用龍格庫達(dá)方法迭代計算，計算步長為0.01，疊加的白噪聲來自量測噪聲σλ=0.001 rad;因此最優(yōu)制導(dǎo)仿真的外層是步長為0.1 s 的Kalman 濾波迭代，內(nèi)層是步長為0.01 s龍格庫達(dá)迭代。

用以上條件進(jìn)行100 次的蒙特卡羅最優(yōu)制導(dǎo)仿真，得出每個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)估計，從而獲知導(dǎo)彈脫靶量均值、目標(biāo)加速度、導(dǎo)彈加速度等指標(biāo)，見圖1、圖2和圖3.

圖1 3 種導(dǎo)引律的脫靶量均值比較Fig.1 Mean of three guidance law’s miss distance

圖2 Kalman 濾波預(yù)測的直升機(jī)目標(biāo)加速度Fig.2 Helicopter acceleration forecasted by Kalman filter

圖1表明，在考慮導(dǎo)彈慣性滯后以及目標(biāo)機(jī)動的情況下，對于間瞄尋的導(dǎo)彈，當(dāng)采用比例導(dǎo)引和擴(kuò)展比例導(dǎo)引時，只有當(dāng)末制導(dǎo)時間大于4 s 時，才能達(dá)到要求的制導(dǎo)精度。

若是采用比例導(dǎo)引，當(dāng)末制導(dǎo)時間小于4 s 時(這時大約離目標(biāo)還有800 m 左右)，脫靶量將大于1 m，不能滿足指標(biāo)要求。因此，該導(dǎo)彈必須在距離目標(biāo)800 m 之前就由中段制導(dǎo)轉(zhuǎn)入末端制導(dǎo)，才有可能有效命中直升機(jī)目標(biāo)。

若是采用擴(kuò)展比例導(dǎo)引，當(dāng)末制導(dǎo)時間小于3.2 s(這時大約離目標(biāo)還有640 m 左右)，脫靶量大于1 m，不滿足指標(biāo)要求。因此，該導(dǎo)彈必需在距離目標(biāo)640 m 之前就由中段制導(dǎo)轉(zhuǎn)入末端制導(dǎo)，才有可能命中直升機(jī)目標(biāo)。從圖3可以看出，如果末制導(dǎo)時間足夠，擴(kuò)展比例導(dǎo)引對導(dǎo)彈的加速度需求低于比例導(dǎo)引。

圖2表明，Kalman 濾波對直升機(jī)機(jī)動的預(yù)測在實際的直升機(jī)機(jī)動值左右波動，2 s 后對直升機(jī)加速度估值誤差穩(wěn)定下來，并達(dá)到較高精度。

圖3表明，利用預(yù)測的直升機(jī)加速度，最優(yōu)制導(dǎo)所需的導(dǎo)彈加速度很小，并能夠使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)時間0.5～10 s 范圍內(nèi)接近零脫靶量，這對于人在回路的間瞄尋的導(dǎo)彈非常有用處，可使地面射手利用導(dǎo)彈導(dǎo)引頭回傳的戰(zhàn)場圖像背景充分識別目標(biāo)，從容控制導(dǎo)彈由中制導(dǎo)轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)，確保有效摧毀直升機(jī)這樣的高機(jī)動目標(biāo)。

圖3 三種導(dǎo)引律所需的導(dǎo)彈加速度比較Fig.3 Missile acceleration needed by the three guidance law

3 結(jié)論

本文建立了最優(yōu)制導(dǎo)的Kalman 濾波模型和測量模型，提出了估計目標(biāo)機(jī)動加速度信息的計算方法。結(jié)合數(shù)學(xué)模型，利用一個間瞄尋的導(dǎo)彈的性能參數(shù)，進(jìn)行了數(shù)字仿真，結(jié)果表明，目標(biāo)機(jī)動估計應(yīng)用于最優(yōu)制導(dǎo)律的方法可行，與純比例導(dǎo)引比較，有可能在不增加彈上硬件測量成本的條件下，顯著改善該導(dǎo)彈命中機(jī)動目標(biāo)的精度。

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