不確定網(wǎng)絡控制系統(tǒng)保成本觀測器設計

孫連坤，萬振凱，張桂玲

(天津工業(yè)大學 計算機科學與軟件學院，天津300160)

0 引言

1999年Walsh 教授綜合前人的研究成果，正式提出了目前被大家廣為接受的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(Networked Control Systems，NCSs)概念［1］。與傳統(tǒng)的點對點結構的系統(tǒng)相比，NCSs 具有資源共享、遠程操作和控制，提高系統(tǒng)的診斷能力、方便安裝與維護，增加系統(tǒng)的靈活性和可靠性的特點。

目前對NCSs 的研究，大多是針對線性時不變對象的。文獻［2］考慮了網(wǎng)絡時延因素的影響，并基于此來自適應調節(jié)PI 控制器的增益參數(shù)。文獻［3］研究了信息傳輸前進行預處理的問題，通過智能傳感器計算一個本地的最優(yōu)估計值，再運用Kalman 濾波器對該值進行處理。文獻［4］研究了具有隨機時變延時的NCSs 的H∞控制問題，設計了基于觀測器的輸出反饋控制律。文獻［5］分別運用擴展Kalman 濾波與變尺度估計的方法對非線性被控對象的NCSs 進行狀態(tài)估計，得到保證估計誤差協(xié)方差有界的充分條件。文獻［6］運用最優(yōu)估計的方法分析了具有隨機時延與丟包的NCSs，得到不依賴于時延與丟包的估計器。上述研究通常只針對單一的網(wǎng)絡因素影響，并且假設網(wǎng)絡能夠提供足夠的帶寬。但在實際應用中，單一考慮時延或丟包并不能全面反映網(wǎng)絡影響;此外，由于時變的網(wǎng)絡流量和未知擾動，網(wǎng)絡并不總是能提供系統(tǒng)設計時所需帶寬。

為此本文將網(wǎng)絡當前的綜合服務質量作為參考量，在不確定NCSs 的框架下設計一種SOD 調度策略，傳感器端將根據(jù)輸出信息的重要程度對數(shù)據(jù)進行處理，從而減少非重要信息對網(wǎng)絡資源的占用，以達到降低網(wǎng)絡需求的目的。在此基礎上，考慮輸出反饋情況，設計保成本觀測器，使得觀測誤差不超過一個上界。

1 系統(tǒng)描述

本文研究的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)結構如圖1所示，通過添加一個QoS 估計器可以實時獲取網(wǎng)絡性能，并以此作為SOD 調度策略的依據(jù)。例如:假設SOD調度策略所確定的閾值為Δ(t)，它將與網(wǎng)絡QoS 存在如下函數(shù)關系

其中:QoS1為網(wǎng)絡的丟包率;QoS2為網(wǎng)絡的時延;QoS3為網(wǎng)絡的吞吐量，這也是網(wǎng)絡QoS 中最主要的3 個性能指標。Δ(t)隨著網(wǎng)絡的QoS 實時變化，但其上、下界是可以確定的，上述描述在分布式NCSs中是可以實現(xiàn)的［7］。在SOD 調度策略的作用下，傳感器只傳輸重要數(shù)據(jù)，即當新的數(shù)據(jù)變化大于一定值的時候才作處理。

圖1 線性時變不確定對象的NCSs 結構圖Fig.1 Structure of NCSs with linear time-varyinguncertain plant

考慮如下線性不確定系統(tǒng)

其中:x(k)∈n為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u(k)∈m為系統(tǒng)的控制輸入;y(k)∈p為系統(tǒng)的觀測輸出。A，B，C 是具有相應維數(shù)的定常矩陣。ΔA(t)是具有適當維數(shù)的，表示系統(tǒng)不確定性的時變矩陣，滿足以下形式

其中:D1∈n×r;E∈l×n是已知的定常矩陣;F(t)∈r×l為不確定函數(shù)矩陣，并屬于如下集合{F(t)|F(t)TF(t)≤I，?t}.

1.1 SOD 調度策略基本思想

由于網(wǎng)絡通信約束的限制，傳感器不可能將每次采集的信息均成功傳輸，尤其在無人飛行器、無線傳感網(wǎng)絡中，由于裝置的能量限制，使得傳感器盡可能只傳輸重要信息以減少能量損耗。傳統(tǒng)的基于時間的周期采樣調度策略，不能很好地解決上述問題，主要原因在于周期采樣只關注信息處理的快慢，其周期選取是基于系統(tǒng)最壞情況的，一經(jīng)選定就不能根據(jù)信號變化動態(tài)調整。

SOD 調度策略屬于基于事件的采樣，相比等時間間隔采樣，其只對超過一定閾值的信息進行處理，發(fā)送原則如圖2所示，閾值可以提前設定或實時在線調整，其體現(xiàn)了當前傳輸信息的重要程度。它最大的特點是可以減少傳感器節(jié)點的平均數(shù)據(jù)產(chǎn)生率，這對于突發(fā)信號尤其有效。

圖2 SOD 發(fā)送原則Fig.2 Send principles of SOD

本文采用的SOD 調度策略是一種復合采樣架構，即首先在本地對連續(xù)信號進行周期采樣，這樣能保證對初始信號進行有效的跟蹤;隨后再根據(jù)SOD采樣調度策略進行數(shù)據(jù)處理與發(fā)送，這里我們假定閾值Δ(t)隨著網(wǎng)絡QOS 的變化而變化，但其上、下界Δmax、Δmin已知，在其作用下傳感器節(jié)點的平均數(shù)據(jù)產(chǎn)生率也將動態(tài)變化，以此達到減少數(shù)據(jù)發(fā)送、節(jié)約帶寬的目的。

實際應用中系統(tǒng)可基于特定的QoS，依據(jù)公式(1)計算出閾值Δ(t)的變化范圍，建立閾值表。QOS 估計器按一定周期向網(wǎng)絡發(fā)送探測包，在線獲取網(wǎng)絡服務質量，即網(wǎng)絡時延、網(wǎng)絡丟包率、網(wǎng)絡吞吐量，并通過查表或查值技術得到一定網(wǎng)絡服務質量下的具體的SOD 采樣調度策略。

1.2 基于SOD 調度策略的系統(tǒng)模型建立

當采樣周期遠小于被控對象的主導時間常數(shù)時，系統(tǒng)可視為連續(xù)系統(tǒng)［8］。此外，由于NCSs 中任何網(wǎng)絡介質都有其固有的網(wǎng)絡服務質量，即網(wǎng)絡時延上限、網(wǎng)絡丟包上限、網(wǎng)絡吞吐量上限等，從這個意義上說，網(wǎng)絡的影響是有界的?；谏鲜隹紤]，本文假設網(wǎng)絡的影響可視為有界連續(xù)函數(shù)φ(t).在這種情況下，進行網(wǎng)絡觀測器設計的關鍵是要將網(wǎng)絡環(huán)節(jié)轉化為系統(tǒng)的不確定塊。

在［ti，ti+1)內(nèi)，由QOS 確定的閾值為Δ(ti)，系統(tǒng)最后一次的輸出值為y(ti)，實際用于觀測計算的系統(tǒng)輸出為yct(t)，如圖3所示。則在下一次數(shù)據(jù)更新之前，有如下關系式

圖3 基于SOD 的被控對象Fig.3 The controlled plant based on SOD

由式(3)可得

假設‖Δ(t)‖≤α，其中α 為確定常數(shù)，‖φ(t)‖≤β，其中β 為確定常數(shù)。為了將調度策略的影響建模到系統(tǒng)中，定義Ξ(t)=φ(t)±Δ(t)，假設ΔC(t)·x(t)=Ξ(t)，滿足ΔC(t)=D2F(t)E，這里D2∈是已知的定常矩陣，F(xiàn)(t)∈r×l為不確定函數(shù)矩陣，并屬于如下集合:

Ω={F(t)|F(t)TF(t)≤I，?t}.

則考慮SOD 調度策略后的線性不確定NCSs 有如下形式

由上述分析可知，在考慮SOD 調度策略后，系統(tǒng)由式(2)轉化為式(5)，SOD 調度策略以及網(wǎng)絡的影響主要體現(xiàn)在系統(tǒng)的輸出添加了額外的時變不確定項。

2 不確定NCSs 的保成本觀測器設計

在許多實際問題中，系統(tǒng)的狀態(tài)往往不能直接測量，需要進行觀測器的設計。本文中由于不確定參數(shù)的變化及Δ 值的調整，要求觀測器具有良好的魯棒穩(wěn)定性，此外，還應保證其它適當?shù)男阅苤笜耍绻烙嬚`差的界限等。利用保成本觀測器是解決這一問題的有效方法之一［9］。

考慮SOD 調度策略后的線性不確定NCSs(令u(t)=0)

x0為初始條件，且假設為零均值高斯隨機向量。

假設1:系統(tǒng)(6)為二次穩(wěn)定的，即存在一個對稱正定矩陣P，滿足(A+ΔA)TP+P(A+ΔA)＜0.

考慮如下形式的觀測器:

表示觀測誤差輸出，其中L 為已知定值矩陣，則由式(6)、式(7)可得增廣系統(tǒng)為

對系統(tǒng)(8)，定義二次型性能指標:

對于保成本觀測器，引入如下定義:

定義1［10］:考慮不確定系統(tǒng)(6)和性能指標(9)，若存在觀測器(7)和一個正數(shù)J*e，使得對于所有不確定函數(shù)矩陣F(t)，增廣系統(tǒng)(8)是二次穩(wěn)定的，且滿足Je≤J*e，則J*e稱為保成本，觀測器(7)為保成本觀測器。

根據(jù)上述定義，接下來要確定觀測器參數(shù)G，H，并且證明觀測器(7)為不確定系統(tǒng)(6)的保成本觀測器。

2.1 保成本觀測器的存在條件

定理1:對不確定系統(tǒng)(6)和性能指標(9)，如果對稱正定矩陣使得對于所有不確定函數(shù)矩陣F(t)，滿足:

則觀測器(7)為不確定系統(tǒng)(6)的一個保成本觀測器，且此時觀測誤差成本上界=L* Trace(P22)*LT，P22為成本矩陣。

證明 選取Lyapunov 函數(shù)V(t)=zT(t)Pz(t)，由矩陣P 的正定性可知Lyapunov 函數(shù)V(t)是正定的。則沿系統(tǒng)(8)的任意軌線，V(t)關于時間的導數(shù)根據(jù)條件(10)，對于所有不確定函數(shù)矩陣F(t)，

由Lyapunov 穩(wěn)定性理論，增廣系統(tǒng)(8)二次穩(wěn)定。

進一步，式(11)兩邊對時間t 從0 到∞積分，可得

由于增廣系統(tǒng)(8)二次穩(wěn)定，所以V(∞)→0，因此有

J=E［J］＜E［zT(0)Pz(0)］=Trace(P).

進而有:

根據(jù)定義1 可得，J*e=L* Trace(P22)* LT是相應的增廣系統(tǒng)(8)的觀測誤差成本上界。定理得證。

定理1 給出了不確定系統(tǒng)(6)保成本觀測器存在的充分條件，但其驗證條件包含了不確定矩陣F(t)，因此要驗證對于所有允許的不確定F(t)，不等式(10)都成立仍然是一件困難的工作。接下來將運用LMI 給出這一條件的等價刻畫。

2.2 保成本觀測器設計

引理1［11］(Schur 補定理):設Y，D，E，F(xiàn)(t)為具有適當維數(shù)的實矩陣，其中Y=YT，F(xiàn)T(t)F(t)≤I，則Y+DF(t)E+ETFT(t)DT＜0 當且僅當存在標量ε ＞0，使得Y+εDDT+ε-1ETE ＜0 成立

引理2［12］(正交補定理):給定矩陣Γ，Λ，Θ，則ΓXΛ+(ΓXΛ)T+Θ ＜0 關于X 有解的充分必要條件是:?！挺é！蚑＜0，ΛT⊥ΘΛT⊥T＜0 式中?！?，Λ⊥分別表示Γ，Λ 的正交補，即?！挺?0，Λ⊥Λ=0.

定理2:考慮具有SOD 調度策略的NCSs(6)和觀測器Ψ，使得對于所有不確定函數(shù)矩陣F(t)，滿足條件(10)的充分條件是存在標量ε ＞0，矩陣Q12∈n×n，對稱正定陣X1，Q2，Ω，L∈n×n，使得下列不等式同時成立:

根據(jù)引理1，上述矩陣不等式對于所有不確定函數(shù)矩陣F(t)成立，當且僅當存在標量ε ＞0，使得

進一步將式(8)中的系數(shù)矩陣代入上式可得

式中:

令G1=A-G，由Schur 補定理將矩陣Φ 展開，并將其分為兩部分:一部分不含G1，H 的矩陣A#;另一部分為含有G1，H 的矩陣A*，即

式中:M=［0 I 0］T;G0=［G1-H］;

此時式(20)轉化為

由引理2 可知，式(21)關于G0有解的充分必要條件是:

為明細式(22)、式(23)，接下來分3 步證明它等價于式(14)-式(16).

進一步由Schur 補定理可得

上式分別左乘、右乘diag(Q-111I I)，且令X1=由Schur 補定理可得

即為式(14).

所以將Σ-1，N⊥代入(23)，同時令A1=A+D1W1，Ω=P11+P12+PT12+P22，并運用Schur 補定理可得

即為式(15).

步驟3 為求出P22的值，首先需要求Q22，將Ω展開為

上式成立的充分必要條件是存在正定對稱矩陣L∈n×n使得:

由Schur 補定理可得

即為式(16).

利用現(xiàn)有的Matlab 仿真環(huán)境中LMI 工具箱可求解出式(21)中的G1，H，進而由G1=A-G 求出G，從而確定了保成本觀測器的參數(shù)。通過求解矩陣不等式(14)-式(16)，可求得Q，進而由P-1=Q，可以確定P.

定理2 表明系統(tǒng)(6)的保成本觀測器存在，且保成本矩陣為P22.顯然，若保成本觀測器存在，如何進一步優(yōu)化保成本矩陣P22是很有意義的。因為P22正定，如果極小化Trace(P22)，那么在一定程度上就優(yōu)化了P22，所以我們給出Trace(P22)的優(yōu)化方法。

定理3 若以下優(yōu)化問題

有解X1，Q2，Ω，L，Q12及ε ＞0，則Ψ 為最優(yōu)狀態(tài)保成本觀測器，且可保證系統(tǒng)(6)的成本最小。

證明:由定理2 可知Ψ 是由X1，Q2，Ω，L，Q12及ε ＞0，確定的保成本觀測器，不難發(fā)現(xiàn)只有P22的對角線才有估計誤差的真正信息。因此對P22的跡進行優(yōu)化，也就是使估計誤差達到最小，從而獲得最優(yōu)保成本觀測器。結論得證。

3 仿真

考慮如下線性不確定系統(tǒng)

性能函數(shù)

其中:R1=R2=I，給定初始性能上界J*=3.

使用Matlab 仿真環(huán)境中Truetime 工具箱建立相應網(wǎng)絡環(huán)境，針對加入SOD 調度策略后的線性不確定NCSs，根據(jù)1.1 小節(jié)的描述可以確定，‖φ(t)‖≤

保成本觀測器方程:

由定理2 通過Matlab 的LMI 工具箱求解觀測器矩陣可得:

性能指標上界J*=2.347 5 ＜3.

圖4 具有SOD 調度策略的NSCs 狀態(tài)Fig.4 The states of NCSs with SOD scheduling strategy

圖5 具有SOD 調度策略的NSCs 觀測器狀態(tài)Fig.5 The observer states of NCSs with SOD scheduling strategy

圖4、圖5中:x11 為狀態(tài)x1 的觀測值;x22 為狀態(tài)x2 的觀測值。仿真結果表明，本文設計的保成本觀測器在保證給定性能的前提下，能較好的跟隨系統(tǒng)狀態(tài)。

4 結束語

本文研究了具有通信約束的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)保成本觀測器設計問題。介紹了SOD 調度策略的基本思想，進一步將調度策略和網(wǎng)絡影響建立到系統(tǒng)模型中。在此基礎上，給出了系統(tǒng)保成本觀測器存在的充分條件，利用LMI 和正交補的方法給出了這一條件的等價刻畫，并求解了觀測器參數(shù)，優(yōu)化了成本矩陣。仿真結果表明本方法的有效性。

References)

［1］ Walsh G C，Ye H，Bushnell L.Stability analysis of networked control systems［C］∥Proceedings of the American Control Conference，San Diego，1999:2876-2880.

［2］ Tipsuwan Y，Chow M Y.On the gain scheduling for networked PI control over IP network［J］.IEEE Transactions on Mechatronics，2004，9(3):491-498.

［3］ Xu Y，Hespanha J P.Estimation under uncontrolled and controlled communications in networked control systems［C］∥Proceeding of the 44th Conference on Decision and Control，Seville，2005:842-847.

［4］ 姚秀明，李清華，等.基于狀態(tài)觀測器的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)的h∞控制分析［J］.兵工學報，2008，29(7):870-876.YAO Xiu-ming，LI Qing-hua，et al.Robust observer based h∞control for a class of networked control systems［J］.Acta Armamentarii，2008，29(7):870-876.

［5］ Zhipu J，Chih-Kai K.Estimation for nonlinear dynamical systems over packet-dropping networks［C］∥Proceeding of American Control Conference，New York，2007:5037-5042.

［6］ Schenato L.Optimal estimation in networked control systems subject to random delay and packet drop［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53(5):1311-1317.

［7］ Chow M Y，Tipsuwan Y.Gain adaptation of networked DC motor controller based on QOS variation［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2003，50:936-943.

［8］ 于之訓，陳輝堂，王月娟.基于H∞和μ 綜合的閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的設計［J］.同濟大學學報，2001，29(3):307-311.YU Zhi-xun，CHEN Hui-tang，WANGYue-juan.Design of closed loop network control system based on H∞and μ［J］.Journal of Tongji University，2001，29(3):307-311.(in Chinese)

［9］ Fang X，Wang J.Stochastic observer-based guaranteed cost control for networked control systems with packet dropouts［J］.IET Control Theory and Applications，2008，2(11):980-989.

［10］ Peng C.Networked，guaranteed cost control for a class of industrial processes with statedelay［J］.Asia-Pacific Journal of Chemical Engineering，2007，2(6):650-658.

［11］ Huang D，Nguang S K.Robust disturbance attenuation for uncertain networked control systems with random time delays［J］.IET Control Theory and Applications，2008，2(11):1008-1023.

［12］ Heng W，Guang-hong Y.Fault detection observer design for linear discrete-time systems in finite frequency domain［C］∥IEEE Conference on Decision and Control，New Orleans，2007:378-383.