基于期權(quán)博弈的投資時(shí)機(jī)選擇

廖玉玲,洪倩霖

(1.中南大學(xué)商學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410083;2.四川大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,四川成都 610064)＊

一、引 言

幾乎所有的期權(quán)博弈模型都涉及時(shí)機(jī)選擇問(wèn)題,而按照時(shí)機(jī)選擇的絕對(duì)性和相對(duì)性,我們可以對(duì)期權(quán)博弈評(píng)價(jià)模型進(jìn)行重新分類。投資時(shí)機(jī)選擇模型的第一種類型是確定投資實(shí)施(或企業(yè)進(jìn)入)的時(shí)間點(diǎn),這種絕對(duì)時(shí)間的確定可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)“隨機(jī)最優(yōu)停止問(wèn)題”,第二種類型是確定決策者是否先行于特定競(jìng)爭(zhēng)者,而這種決策實(shí)際上就是“追隨-搶先模型”。

二、絕對(duì)時(shí)機(jī)選擇的期權(quán)博弈分析

(1)絕對(duì)時(shí)機(jī)選擇的文獻(xiàn)綜述

從博弈理論角度來(lái)探討投資時(shí)機(jī)選擇,主要研究成果包括Reinganum(1981),Fudenberg等(1983)、Gilbert和Harris(1984)、Fudenberg和Tirole(1985,1986)、Ghemawat和Nalebu ff(1985),以及Huang和Li(1990)、Dutta和Rustichini(1993)的隨機(jī)博弈停止時(shí)機(jī)的分析。Dutta和Rustichini(1995)則在連續(xù)時(shí)間隨機(jī)博弈中分析了馬爾科夫完美均衡。但是,經(jīng)典的投資時(shí)機(jī)期權(quán)博弈模型只存在于實(shí)物期權(quán)定價(jià)和博弈均衡的結(jié)合性分析中。Trigeorgis(1991)研究競(jìng)爭(zhēng)對(duì)于項(xiàng)目啟動(dòng)最優(yōu)時(shí)機(jī)的影響。其研究結(jié)果表明,在缺乏競(jìng)爭(zhēng)者和等待的其他成本的情況下,與期權(quán)定價(jià)保持一致,在位企業(yè)會(huì)延遲項(xiàng)目啟動(dòng)。但競(jìng)爭(zhēng)的存在可能加速企業(yè)規(guī)劃好的投資;在可以搶在預(yù)期競(jìng)爭(zhēng)者先投資的情況下,期權(quán)定價(jià)可以使管理者決定是否和什么時(shí)候較早投資,或者是否等待,盡管預(yù)期競(jìng)爭(zhēng)性被侵蝕了。另一方面,Smit和Ankum(1993)在第一篇離散時(shí)間期權(quán)博弈文獻(xiàn)中,建立了包含實(shí)物期權(quán)定價(jià)擴(kuò)展形式的進(jìn)入博弈。在這種進(jìn)入博弈中,不同的子博弈完美均衡就代表了不確定市場(chǎng)環(huán)境中不同的企業(yè)投資價(jià)值。從投資時(shí)機(jī)選擇角度來(lái)看,Smets(1993)、Dixit和Pindyck(1996)、Grenadier(1996)模型都可以看成是針對(duì)隨機(jī)最優(yōu)停止問(wèn)題的最早的期權(quán)博弈理論解釋。而且,Dixit和Pindyck,以及后來(lái)的多位學(xué)者還比較分析了隨機(jī)最優(yōu)停止問(wèn)題的不同求解方法。Perraudin(1999)歸納了最優(yōu)停止問(wèn)題的完全信息模型和不完全信息模型,比較了信息完全性與否對(duì)于項(xiàng)目主體策略選擇和項(xiàng)目期權(quán)博弈價(jià)值的影響。此后,這種隨機(jī)最優(yōu)停止問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)求解方法,不斷出現(xiàn)在Joaquin和Khanna(2001)、Paxson和Pinto(2005),以及M arseguerra、Cortelezzi和Dom inioni(2006)等各種搶先時(shí)機(jī)選擇模型。Grenadier和Wang(2003)指出,投資決策要素包括兩方面：投資多少和何時(shí)投資。第一個(gè)要素是資本分配決策,而第二個(gè)要素是投資時(shí)機(jī)決策。

(2)絕對(duì)時(shí)機(jī)選擇的標(biāo)準(zhǔn)模型

M cDonald和Siegel(1986)及Dixit(1989)開發(fā)了的實(shí)際投資決策的最優(yōu)停止模型,該模型假設(shè)一個(gè)企業(yè)沒有當(dāng)前收入但有可能投資總數(shù)k于產(chǎn)生隨機(jī)現(xiàn)金流xt-w的一項(xiàng)技術(shù),并假設(shè)xt遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),其滿足：

這里假定μ和σ是常數(shù),W t是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),如果V1t代表開始生產(chǎn)前的企業(yè)價(jià)值,給定風(fēng)險(xiǎn)中性,利用伊藤引理,則V1t遵循這個(gè)過(guò)程：

基于上述分析,Smets(1993)和Grenadier(1996)分別推導(dǎo)出了策略模型的簡(jiǎn)化版本。假設(shè)處于未改善狀態(tài)的兩棟建筑可以獲得R租金。在改善之后,每棟建筑可以掙得：

假定D(2)＜D(1),因此從擁有一棟再裝修建筑得到更高收入,如果有更少建筑適當(dāng)?shù)脑?。用I代表改善建筑的成本。如果其他建筑已經(jīng)被再裝修,那么,這棟建筑還沒有產(chǎn)生收益R(1-γ),這里,γ∈(0,1)。讓xt代表遵循一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)的嘗試(taste)沖擊過(guò)程：

G renadier運(yùn)用逆向分析方法首先分析領(lǐng)先者投資之后的追隨者投資問(wèn)題。令xF代表改善建筑物的追隨者觸發(fā)水平,則追隨者待定價(jià)值(claim value)F(x)等于：

現(xiàn)在,回到追隨者在他得到xD(2)后投資,領(lǐng)先者得到xD(1)支付流。再令L3(x)代表領(lǐng)先者在追隨者投資后的待定價(jià)值。就有：

假設(shè)領(lǐng)先者在同樣的觸發(fā)點(diǎn)xL投資。如果L2代表領(lǐng)先者在其自己投資后而在追隨者投資前的待定價(jià)值,就有：

最后,令L1代表領(lǐng)先者自己投資前的(項(xiàng)目)待定價(jià)值,就有：

為求xL解,定義函數(shù)：

在φ(xF)=0時(shí),存在一個(gè)獨(dú)特的xL;對(duì)于x＜xL,有φ(x)＜0,而對(duì)于x∈(xL,xF),有φ(x)＞0。當(dāng)x＜xL時(shí),沒有企業(yè)愿意投資;當(dāng)x上升到xL時(shí),兩個(gè)企業(yè)之一(隨機(jī)選擇)投資。投資成本I提高了領(lǐng)先者的待定價(jià)值,即從L1(xL)到L2(xL)=L1(xL)+I,當(dāng)x升到xF時(shí),追隨著投資,而在這點(diǎn),追隨者的待定價(jià)值從F(xF)到L3(xF)=F(xF)+I。現(xiàn)在,假定xt在xL之下的一定水平開始,設(shè)初始的xt為x0,如果x0∈(xF,xL),那么,兩個(gè)企業(yè)將會(huì)立即投資。贏者將隨后表現(xiàn)為領(lǐng)先者,而敗者將延遲投資直到xt首次達(dá)到xF。如果x0＞xL,那么,解更復(fù)雜。如果xt繼續(xù)下降到xF之下,成為先行者的價(jià)值大于成為追隨者的價(jià)值,但面對(duì)搶先,如果到xt降到xF之下,兩個(gè)企業(yè)都將立即進(jìn)入。

運(yùn)用期權(quán)博弈理論,Grenadier模型構(gòu)建了房地產(chǎn)投資決策的策略性期權(quán)博弈均衡框架,而這種均衡執(zhí)行策略的分析使我們洞察房地產(chǎn)市場(chǎng)行為的形成機(jī)制,為下降需求和價(jià)格中非理性建筑過(guò)剩現(xiàn)象提供了一種理性均衡解釋。

三、相對(duì)時(shí)機(jī)選擇的期權(quán)博弈分析

(1)相對(duì)時(shí)機(jī)選擇的文獻(xiàn)綜述

從隨機(jī)最優(yōu)停止問(wèn)題的最優(yōu)化分析解,可以看成投資時(shí)機(jī)選擇的絕對(duì)性時(shí)機(jī)分析,而相對(duì)性的時(shí)機(jī)分析,即一個(gè)主體相對(duì)于另一個(gè)主體的先后決策,則可以從主體先行與追隨項(xiàng)目期權(quán)博弈評(píng)價(jià)模型中尋找其理論發(fā)展軌跡。

出于技術(shù)采納時(shí)機(jī)的分析目的,Huisman和Kort(1998)探討了一種雙頭框架中的投資時(shí)機(jī)選擇問(wèn)題。他們的研究確立了修正的實(shí)物期權(quán)投資規(guī)則——凈現(xiàn)值必須與等待的戰(zhàn)略期權(quán)價(jià)值相互比較,才能確定投資的最優(yōu)時(shí)機(jī)點(diǎn)。Joaquin和Butler(1999)開發(fā)了一種策略投資模型,其研究表明,容許非對(duì)稱成本的情況下,有更低成本的企業(yè)首先進(jìn)入。Mason和Weeds(2000)推導(dǎo)出兩個(gè)結(jié)果：第一,序列采用條件下,與合作解比較,追隨者在不正確點(diǎn)采用。第二,均衡時(shí)有非充分的同時(shí)采用。由于同時(shí)采用更可能產(chǎn)生在搶先均衡中,所以搶先實(shí)際上增長(zhǎng)了首次采用的時(shí)間。Joaquin和Khanna(2001)定義地點(diǎn)資產(chǎn)價(jià)值之后的研究結(jié)論是：首先,給定一些企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中具有比較利益,投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值受企業(yè)“地點(diǎn)資產(chǎn)”影響;其次,當(dāng)兩個(gè)不同規(guī)?！暗攸c(diǎn)資產(chǎn)”企業(yè)面臨相似投資決定時(shí),等量投資對(duì)于較小企業(yè)有更大價(jià)值。Boyer、Lasserre、Mariotti和Moreaux(2001)研究了隨機(jī)增長(zhǎng)市場(chǎng)上存在多重投資和及時(shí)貝特朗競(jìng)爭(zhēng)的一種簡(jiǎn)單的雙頭搶先模型,按照實(shí)物期權(quán)效應(yīng)的重要性,不同形式均衡會(huì)出現(xiàn)。Thijssen、Huisman和Kort(2002)考慮的是雙頭框架中的投資時(shí)機(jī)決策協(xié)調(diào)問(wèn)題。他們提出了一種基于Fudenberg和Tirole(1985)的內(nèi)生性求解協(xié)調(diào)問(wèn)題的理論。與Smets(1991)及Dixit和Pindyck(1994)的分析不同,他們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)企業(yè)同時(shí)投資導(dǎo)致了兩個(gè)企業(yè)的低支付。其研究表明,如此的協(xié)調(diào)失敗可能在于先行者支付嚴(yán)格大于追隨者支付的時(shí)點(diǎn)以正概率出現(xiàn)。并以此得出推論：Smets(1991)“如果兩個(gè)企業(yè)同時(shí)移動(dòng),其中一個(gè)成為先行者和追隨者的概率各占一半”的論述并不是真實(shí)的,而在許多情況下,宣稱“當(dāng)只有一個(gè)企業(yè)是最優(yōu)投資時(shí),兩個(gè)企業(yè)同時(shí)投資的可能性為零”的研究結(jié)論也是不正確的。Boyer、Lasserre、M ariotti和M oreaux(2004)的研究發(fā)現(xiàn),在產(chǎn)業(yè)的較早階段,強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致一個(gè)企業(yè)搶先另一個(gè)企業(yè),在開發(fā)的后期階段,競(jìng)爭(zhēng)可能被弱化,即默許勾結(jié)均衡可能存在。Kong和Kwok(2006)通過(guò)假定兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)企業(yè)的投資沉沒成本和收入流的不對(duì)稱性,展示了進(jìn)入決策策略互動(dòng)更為豐富的表現(xiàn)特征,通過(guò)分析先行者和追隨者最優(yōu)投資臨界點(diǎn)的相對(duì)價(jià)值,他們描述了搶先、優(yōu)超和同時(shí)均衡的全面特征。Wu(2006)使用一種連續(xù)時(shí)間實(shí)物期權(quán)博弈,探測(cè)了致力于能力搶先的企業(yè)動(dòng)機(jī)。其研究表明：在一定的需求函數(shù)和市場(chǎng)增長(zhǎng)率條件下,均衡時(shí)先行者以更小能力(規(guī)模)進(jìn)入。

(2)相對(duì)時(shí)機(jī)選擇的標(biāo)準(zhǔn)模型

按照Dixit和Pindyck(1994)的分析,考慮沉沒成本I＞0的投資項(xiàng)目,而在做出投資后,企業(yè)可以在任何時(shí)間點(diǎn)生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品。企業(yè)數(shù)是兩個(gè),市場(chǎng)供給Q∈0,1,2,價(jià)格為市場(chǎng)需求D(Q)乘以一個(gè)滿足隨機(jī)布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程的沖擊Y,即P=YD(Q)。圖1表示了三個(gè)價(jià)值函數(shù)。如果先行者在Y＜YF投資,那么,當(dāng)追隨者在YF投資時(shí),先行者價(jià)值最大化。

圖1 Dixit和Pindyck(1994)模型中的價(jià)值函數(shù)

均衡結(jié)果依賴于Y0值,這個(gè)(Y t)0≤t＜的初始價(jià)值。為了定義這個(gè)結(jié)果,必須區(qū)分三個(gè)區(qū)域。第一個(gè)區(qū)域定義在Y0≤YP。如果我們限制在對(duì)稱均衡策略的環(huán)境,符合定理1的均衡有三個(gè)。在第一個(gè)結(jié)果中,企業(yè)1是先行者并在YP投資,企業(yè)2是追隨者并在YF投資。注意到這種對(duì)稱均衡策略導(dǎo)致了非對(duì)稱的均衡結(jié)果。在這種特殊結(jié)果中,企業(yè)1是重復(fù)博弈中的先行投資者。第二個(gè)結(jié)果是對(duì)稱的另一個(gè)情況：企業(yè)2是先行者并在YP投資,企業(yè)1是追隨者并在YF投資。第三種情況是兩個(gè)企業(yè)同時(shí)在YP投資,即兩個(gè)企業(yè)在重復(fù)博弈的同一回合中投資。但這種均衡出現(xiàn)的概率為零。為了明確這點(diǎn),注意到由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)有連續(xù)樣本路徑,所以L(YP)=F(YP)成立,其可以從α(τ)=α(TP)=0論出。博弈者i是在t=τ的唯一投資者的概率P(i)為

通過(guò)應(yīng)用L'Hopital規(guī)則,附加上對(duì)稱性要求,可以在均衡中獲得

因此,企業(yè)成為先行者的概率相等。由于YP的定義,即L(YP)=F(YP),每個(gè)博弈者的預(yù)期價(jià)值等于F(YP)

在第二個(gè)區(qū)域,YP＜Y0＜YF成立。有三個(gè)可能結(jié)果。

由于在Y∈(YP,YF)的情況中L(Y)超過(guò)F(Y),所以Thijssen、Huisman和Kort(2002)推論出(0)＞0。由于τ=0和方程(11),從而知道企業(yè)i在t=0投資和企業(yè)j在TF投資的概率為

因此,在期權(quán)博弈的雙頭框架中,如果兩個(gè)企業(yè)都想成為先行投資者,那么,投資時(shí)機(jī)選擇的協(xié)調(diào)問(wèn)題就出現(xiàn)了。有關(guān)時(shí)機(jī)選擇問(wèn)題的許多模型(Nielsen,2002;Grenadier,1996;Dutta等,1995)都假定在搶先點(diǎn)只有一個(gè)企業(yè)能夠成功投資,從而簡(jiǎn)單排除了兩個(gè)企業(yè)投資都是最優(yōu)的可能性。比較而言,Thijssen、Huisman和Kort(2002)模型的假設(shè)更為現(xiàn)實(shí)和合理,即假定當(dāng)有先行投資動(dòng)機(jī),兩個(gè)企業(yè)愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn),從而成功地把策略空間和均衡概念擴(kuò)展到隨機(jī)環(huán)境。他們的方法使我們可以在許多情況下糾正這樣的不正確判斷：當(dāng)一個(gè)企業(yè)投資是唯一最優(yōu)時(shí),兩個(gè)企業(yè)同時(shí)投資的可能性為零。

四、結(jié) 論

在不確定性策略互動(dòng)環(huán)境中,決策時(shí)間點(diǎn)的選擇是任何主體不可忽略的策略行為。利用期權(quán)博弈評(píng)價(jià),可以展示對(duì)應(yīng)特定時(shí)機(jī)選擇的項(xiàng)目?jī)r(jià)值意義。按照時(shí)機(jī)選擇絕對(duì)性和相對(duì)性的不同要求,投資時(shí)機(jī)選擇的期權(quán)博弈評(píng)價(jià)可以分別采用隨機(jī)最優(yōu)停止問(wèn)題的期權(quán)博弈評(píng)價(jià)和主體先行與追隨策略的期權(quán)博弈評(píng)價(jià)。

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