六自由度機械臂運動數(shù)學模型的建立

田小靜，李萬軍

（西安航空職業(yè)技術學院 自動化工程系，西安 710089）

0 引言

如何為機械臂輸入正確的指令序列以使其完成相應的任務，就要解決機械臂的運動的路徑規(guī)劃。六自由度機械臂位姿研究中，可簡化為7個連桿通過六個關節(jié)相連的機構，每個關節(jié)對應于一個自由度，通過旋轉六個關節(jié)可以使機器臂的指尖到達三維空間中一定范圍內(nèi)的任意點。為了描述末端執(zhí)行器在空間的位置和姿態(tài)，可以在每個關節(jié)上建立一個坐標系，利用坐標系之間的變換關系來描述末端執(zhí)行器的位姿，其中轉動關節(jié)可以實現(xiàn)旋轉變換，連桿的長度可以實現(xiàn)平移變換。為研究方便，我們對六自由度機械臂做一下假設：

1）目標點在機械臂指尖所能到達的空間范圍內(nèi)，即至少存在一種指令序列使指尖到達目標位置。

2）不考慮指尖的大小，將指尖抽象為空間中的一點。

3）不考慮關節(jié)所引起的長度變化，認為相鄰連桿之間無縫連接，連接處兩桿端點的距離為零。

4）機械臂各關節(jié)完全按照指令序列中的旋轉角度進行旋轉，不考慮轉動誤差的影響

1 數(shù)學模型的建立

1.1 建立連桿坐標系

常用的建立坐標系的方法有D-H法、五參數(shù)法及矩陣變換法等，D-H法是1955年由Denavit和Hartenberg提出的一種相對位姿的矩陣方法。本文基于D-H坐標變換的數(shù)學模型，首先按圖1所示為每個連桿建立一個坐標系，每個連桿由四個參數(shù)ai-1、αi-1、θi、di來描述，ai-1和αi-1描述連桿本身的特征；θi和di描述連桿i-1和連桿i之間的關系。對于移動關節(jié)i，di是關節(jié)變量；對于轉動關節(jié)i，θi是關節(jié)變量。

圖1 機械臂坐標系圖

根據(jù)問題給出的初始位置建立坐標系，可得機械臂的參數(shù)如表1所示。

表1 機械臂的連桿參數(shù)

1.2 建立機械臂方程

1）Rot(x,αi-1)：繞xi-1轉動αi-1角；

2）Trans(x,ai-1)：沿xi-1移動ai-1；

3）Rot(z,θi)：繞zi轉動θi角；

4）Trans(z,di)：沿zi移動di。

則有

根據(jù)連桿變換通式及表1所列出的連桿參數(shù)，得到相鄰連桿變換矩陣如下:

它表示末端連桿坐標系 相對于基坐標系{0}的位姿，上式定義為機器臂的運動方程。

1.3 機械臂運動方程逆解

上述文章中建立了D-H坐標系下的機械臂運動方程，通過運動學方程可以通過一組指令序列得到指尖的基準坐標位置，然而問題一中已經(jīng)知指尖的位姿，需要求出相應的指令序列

為了計算簡單起見，我們做以下三點假設，在誤差分析中我們會對以下兩點假設進行進一步說明。

1）暫且不考慮自由度增量Δθi的離散性和其范圍，從全局范圍求解各個關節(jié)變量θi=(i=1...6)；

2）暫且將基坐標系原點與坐標系{1}的原點重合，將坐標系{0}原點與坐標系{0}原點重合，則連桿變換矩陣中的o1T與56T分別變?yōu)?/p>

3）令連桿坐標系{6}相對于基坐標系{0}的位姿為如下，即令坐標系 與坐標系 的相對位置為圖2所示。

圖2 末端坐標系位置

根據(jù)第2、3條假設，我們可以得到末端坐標系{6}原點位置(px,py,pz)與問題中所給的原基準坐標系中指尖坐標(Ox,Oy,Oz)之間的關系為：

我們將通過反變換法來求解各個關節(jié)變量θi=(i=1...6)的值。

（1）求解θ1

用逆變換o1T-1(θ1)左乘式(3)的兩端，其中c1=cos(θi)，s1=sin(θi)，下同。16T可以通過齊次變換矩陣的乘法求出，令矩陣方程(4)兩端的元素(2，4)對應相等得，

令矩陣方程式(5)兩端的元素(1，4)和(2，4)分別對應相等，得

令：pyc1-s1px=k1，將式(7)、式(8)平方后求和，得

（3）求θ3

令式(7)的左邊為k3，式(8)左邊為k4，即

兩等式兩邊分別相除得

令矩陣方程(2-9)兩邊的(1，3)、(2，3)、(3，3)元素分別對應相等，得：

上面三式左邊均為已知量，令三式左邊分別為k5、k6、k7，即

（5）求θ5

將式(10)和(12)兩邊分別平方然后求和，得

（6）求θ6

令矩陣方程式(9)的(2，1)、(2，2)元素分別對應相等，得

綜上所述：針對六自由度機械臂通過反變換法對機械臂的運動方程進行逆解，得到各個自由度從始點到目標點轉動的角度總量，總的角度轉量分為每步所要轉動的角度，即求出指令序列，實現(xiàn)機器人機械臂在空間內(nèi)進行定位要求，誤差較很小。

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