一類(lèi)新的6維李代數(shù)及其相關(guān)的Liouville可積哈密頓系統(tǒng)＊

郭福奎,馮濱魯,魏 媛,張玉峰

(1.山東科技大學(xué),山東 青島 266510;2.濰坊學(xué)院,山東 濰坊 261061; 3.濱州學(xué)院,山東 濱州 256600;4.中國(guó)礦業(yè)大學(xué),江蘇 徐州 221116)

1 引言

近年來(lái)可積系統(tǒng)理論有了迅速的發(fā)展,文獻(xiàn)[1-4]中給出了尋求可積系統(tǒng)的方法。其中一種方法是著名的Lax法,它是由屠規(guī)彰教授提出的[5],后來(lái)稱(chēng)之為屠格式。在本文中我們將利用屠格式得到新的可積系統(tǒng)。因此,我們簡(jiǎn)單的介紹一下屠格式。

設(shè)G是數(shù)域C上的矩陣?yán)畲鷶?shù)。令G=G?C(λ,λ-1)是其相應(yīng)的loop代數(shù),其中 C(λ,λ-1)表示一組關(guān)于參數(shù)λ的洛朗多項(xiàng)式。G中基元的階數(shù)可定義為deg(x?λn)=n,x∈G。

首先,記靜態(tài)零曲率方程

的解為V=V(λ),且Vx(n)=(λnV)++Δn滿(mǎn)足

其次,利用零曲率方程

可以得到Lax可積方程族

最后,根據(jù)方程(1)我們可以得到哈密頓算子J和循環(huán)算子L,因此方程(4)可以寫(xiě)成哈密頓形式

其中 Hn(n∈Z)表示方程(5)的守恒密度,可以由跡恒等式[5]

計(jì)算得到,其中〈A,B〉表示矩陣的跡,例如〈A,B〉=tr(AB),?A,B∈G。由文獻(xiàn)[5]的論述可知,如果JL =L＊J,那么Lax可積方程族(4)是Liouville可積的。

可積系統(tǒng)一個(gè)重要的擴(kuò)展方向是可積耦合,可積耦合是在文獻(xiàn)[6-7]提出的,并作了相關(guān)的研究。對(duì)可積耦合的研究不僅可以幫助我們探討可積系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng),還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)不同進(jìn)化方程的可積方程族之間的關(guān)系。例如在文獻(xiàn)[8]中我們構(gòu)造了一個(gè)可積模型(實(shí)際上是可積耦合)把著名的A KNS方程族和KN方程族聯(lián)合在一起。郭?？淌诤蛷堄穹褰淌谠谖墨I(xiàn)[9]中提出一種簡(jiǎn)便有效地推導(dǎo)可積耦合的方法,其要求李代數(shù)G可以分解成兩個(gè)直和子代數(shù)G1,G2它們滿(mǎn)足

其中⊕表示直和,[,]表示李括號(hào)。自然我們會(huì)想到探討可積耦合的一些性質(zhì),例如哈密頓結(jié)構(gòu)。然而利用跡恒等式(6)是得不到哈密頓結(jié)構(gòu)的。因此,我們提出一種有效的工具即二次型恒等式[10]來(lái)得到可積耦合的哈密頓結(jié)構(gòu)。這個(gè)恒等式是推廣的跡恒等式,也就是說(shuō)跡恒等式是二次型恒等式的一種特殊的情形。為了便于閱讀本文,我們先來(lái)回顧一下二次型恒等式。

其中 a,b∈G,F=(fij)s×s是常數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣。我們要求(8)滿(mǎn)足以下關(guān)系

其中U,V滿(mǎn)足Vx=[U,V],Λ∈G。關(guān)于W的兩個(gè)約束條件為

我們可以得到

都是方程(1)的解,所以存在常數(shù)滿(mǎn)足

由(15)可以推導(dǎo)出二次型恒等式

本文中,介紹了一類(lèi)新的6維李代數(shù)V6,其具有顯著的特點(diǎn),例如它不滿(mǎn)足關(guān)系式(7)。因此,利用V6和屠格式所生成的可積系統(tǒng)不是可積耦合。下面,我們會(huì)推導(dǎo)出兩類(lèi)新的進(jìn)化方程的Liouville可積方程族并根據(jù)二次型恒等式得到它們的哈密頓結(jié)構(gòu)。

2 一類(lèi)新的李代數(shù)和兩類(lèi)可積方程族

設(shè)

其中ei(i=1,2,3,4,5,6)為V6的一組基,并滿(mǎn)足下面的換位運(yùn)算

其中[a,b]=ab-ba,a,b∈V6。

其滿(mǎn)足等式

如果取

易驗(yàn)證方程(13)成立,即

由(18)式我們可以得到下面的函數(shù)

接下來(lái),將利用李代數(shù)V6構(gòu)造其Loop代數(shù)來(lái)得到兩類(lèi)新的Liouville可積方程族,并利用屠格式和二次型恒等式得到其哈密頓結(jié)構(gòu)。

例1 第一類(lèi)可積方程族

考慮下面的Loop代數(shù)和其應(yīng)用

設(shè)

(21)和(22)式的相容性條件確定的靜態(tài)零曲率方程即

其中V的解如下

取

由(24)可得

令

則方程(23)可分解為下面的形式

上式左端所含基元階數(shù)≥0,右端所含基元階數(shù)≤0。因此,我們可以得到

確定進(jìn)化方程的Lax可積方程族

由(24)容易得到遞推關(guān)系

其中

下面,推導(dǎo)(27)式的哈密頓結(jié)構(gòu)。

記

直接計(jì)算可得

把上式代入二次型恒等式(16)可得

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中求常數(shù)γ的方法,可以得到

比較(29)式中λ-n-2的系數(shù)可得

溝通交流是集體備課的核心，也是其區(qū)別于個(gè)人備課方式的最大特征.集體備課可以實(shí)現(xiàn)集中備課組所有老師的智慧與成果，實(shí)現(xiàn)取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同提高.在主要發(fā)言人對(duì)整節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)之后，備課組長(zhǎng)就可以組織所有老師開(kāi)展交流，對(duì)方案的不足進(jìn)行補(bǔ)充，比如新課導(dǎo)入的方式、重難點(diǎn)的突破路徑、習(xí)題的設(shè)計(jì)與選擇等.

這樣,方程族(27)可寫(xiě)成哈密頓結(jié)構(gòu)

依照文獻(xiàn)[5],任一 Hk(k≥1)是(30)的守恒密度且任意的 Hm,Hm是兩兩對(duì)合的。經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算可得 JL=L＊J。因此,方程族(30)是Liouville可積的。

例2 第二類(lèi)可積方程族

在這一部分中我們將考慮如下不同于(21)和(22)中Lax等譜問(wèn)題的U和V

解方程

可得Vi,m的遞推關(guān)系

取

由(31)可得

記

可寫(xiě)成

上式左端所含基元階數(shù) ≥0,右端所含基元階數(shù)≤1。因此,我們可以得到

由零曲率方程

可得

由(31)式可得到下面的遞推關(guān)系

通過(guò)計(jì)算可得

因此,Lax可積方程族(33)是Liouville可積的。

接下來(lái)利用二次型恒等式推導(dǎo)(33)式的的哈密頓結(jié)構(gòu)。

記

容易計(jì)算得

把上式代入二次型恒等式可得

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中求常數(shù)γ的方法,可得

因此γ=0。

比較(34)式中λ-2n-1的系數(shù)可得

因此,方程族(33)可寫(xiě)成下面哈密頓結(jié)構(gòu)

記 H1=-4V1,1,可得

因此(35)式對(duì)于n≥1是成立的。

3 結(jié)論

本文介紹一類(lèi)新的6維李代數(shù)并構(gòu)造了兩類(lèi)相應(yīng)的Loop代數(shù)。作為其應(yīng)用得到了兩類(lèi)進(jìn)化方程的可積方程族并利用二次型恒等式得到其哈密頓結(jié)構(gòu)。利用本文的李代數(shù)還可以建立其他的Loop代數(shù)并利用本文的方法得到其他的新的可積系統(tǒng)。因此本文的方法有廣泛的應(yīng)用。

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