借助四面體巧解異面直線所成的角

●方志平 (惠州市第一中學(xué) 廣東惠州 516007)

借助四面體巧解異面直線所成的角

●方志平 (惠州市第一中學(xué) 廣東惠州 516007)

用幾何的方法求異面直線所成的角，往往是先通過(guò)平移異面直線到相交位置，再找出異面直線所成的角，然后由三角知識(shí)求出異面直線所成角的函數(shù)值或求出角的大?。捎谒拿骟w的任何一組對(duì)棱都是異面直線，因此以四面體為載體，把異面直線放在四面體的對(duì)棱所在的位置，利用四面體對(duì)棱的夾角公式可巧解異面直線所成的角．現(xiàn)闡述如下:

圖1

1 四面體對(duì)棱的夾角公式

如圖1，在四面體A-BCD中，若AC與BD所成的角為90°，則

2 夾角公式的應(yīng)用

例1在正四面體的側(cè)面三角形的高線中，其“垂足”不在同一側(cè)面上的任意2條所成角的余弦值是 ( )

評(píng)注本題求解的關(guān)鍵是要把AE，CF放在一個(gè)棱長(zhǎng)都易求的四面體的一組對(duì)棱上，不難發(fā)現(xiàn)連結(jié)EF，得AECF正是我們尋找的一個(gè)四面體．

評(píng)注雖然圖3中的CA1與C1B是正三棱柱2個(gè)側(cè)面的對(duì)角線，但連結(jié)A1B后，CA1和C1B卻是四面體A1BC1C的一組對(duì)棱，且四面體A1BC1C所有棱長(zhǎng)均可求，故用四面體對(duì)棱的夾角公式可求異面直線CA1與C1B所成角的大?。?/p>

圖4

(2008年福建省福州市第30屆高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解如圖4，連結(jié) EF，CF．設(shè)正四面體 ABCD棱長(zhǎng)為6，在△AEF中，

評(píng)注本題求解的關(guān)鍵是要構(gòu)造一個(gè)使得CE與BF成為四面體的一組對(duì)棱，且該四面體所有棱均可求．顯然連結(jié)EF，CF可得一個(gè)四面體BCFE符合要求，然后借助四面體對(duì)棱的夾角公式可求異面直線CE與BF所成角的余弦值，進(jìn)而求出該角的正弦值．

綜上所述，對(duì)于任何一對(duì)異面直線，以四面體為載體，只要能恰當(dāng)?shù)匕堰@對(duì)異面直線放在一個(gè)四面體的一組對(duì)棱的位置，且該四面體所有棱長(zhǎng)均可求，這樣就能巧解這對(duì)異面直線所成角的問(wèn)題．