干摩擦下含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析

王樹(shù)國(guó)，陳 英，劉大亮，楊 昊，翟海峰

（1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070；2.蘭州交通大學(xué)博文學(xué)院土木工程系，甘肅蘭州，730070；3.蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070）

機(jī)械系統(tǒng)中廣泛存在干摩擦結(jié)構(gòu)，摩擦帶來(lái)磨損，使機(jī)械零件或部件之間出現(xiàn)間隙，產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)副的分離與碰撞以及嚴(yán)重的系統(tǒng)振動(dòng)與噪聲，從而降低機(jī)械系統(tǒng)的精度和運(yùn)轉(zhuǎn)效率，甚至?xí)?dǎo)致整臺(tái)機(jī)器的破壞。因此，干摩擦下碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。Shaw［1］研究了一單自由度簡(jiǎn)諧激勵(lì)分段線性系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并分析了干摩擦系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)以及由于摩擦導(dǎo)致的分岔行為（岔式分岔、Hopf分岔）。Cone等［2］采用數(shù)值方法分析了干摩擦單自由度雙面沖擊振子，結(jié)果表明系統(tǒng)存在周期倍化系列和黏滑碰撞運(yùn)動(dòng)。本文給出干摩擦下含間隙的雙自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的滑動(dòng)、黏滑和碰撞運(yùn)動(dòng)方程以及銜接條件，應(yīng)用數(shù)值方法，結(jié)合理論分析，對(duì)該系統(tǒng)在帶速變化條件下的分岔現(xiàn)象進(jìn)行研究，并討論激勵(lì)振幅和干摩擦對(duì)該系統(tǒng)黏滑及擦切運(yùn)動(dòng)的影響。

1 干摩擦碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型

圖1所示為干摩擦下雙自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。質(zhì)量為M1的振子M1由剛度為K1的彈簧和阻尼系數(shù)為C1的黏性阻尼器相連接，振子M1與皮帶之間存在干摩擦力F1，作用在振子M1上的簡(jiǎn)諧激勵(lì)為P1sin（ΩT＋τ）；質(zhì)量為M2的振子M2由剛度為K2的彈簧和阻尼系數(shù)為C2的黏性阻尼器相連接，振子M2與皮帶之間存在干摩擦力F2，作用在振子M2上的簡(jiǎn)諧激勵(lì)為當(dāng)M1與M2的位移差絕對(duì)二者發(fā)生碰撞。皮帶的速度為V。

圖1 雙自由度摩擦碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1 Double－degree－of－freedom friction collision vibration system model

可將式（1）化為

2 系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性

由于流的解析解很難給出，對(duì)于P這樣的映射一般借助數(shù)值方法來(lái)進(jìn)行研究。通過(guò)映射P可以得到P的Jacobi矩陣DP，根據(jù)矩陣DP的特征值λi可以判斷圖1所示碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和局部分岔［3－8］。

3 數(shù)值分析

在適當(dāng)?shù)膮?shù)下，振子的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)周期性，并且圖1所示系統(tǒng)具有對(duì)稱性，在一定參數(shù)下系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)對(duì)稱的碰撞運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在n個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)，經(jīng)歷了p次右碰撞，q次左碰撞，k次黏滑后，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)重復(fù)，則稱為n－p－q－k運(yùn)動(dòng)。取系統(tǒng)的基本參數(shù)為：μm＝0.5，μk＝0.5，μc＝0.5，ζ＝0.1，v＝0.1，R＝0.8，f0＝1.0，以ω為控制參數(shù)分析摩擦力對(duì)系統(tǒng)分岔形式、黏滑和非黏滑碰撞的影響。

圖2為ω∈［2.5，13］時(shí)M1的分岔圖。首先分析u1＝0.1的情況（見(jiàn)圖2（a）），ω∈［11.955，13］時(shí)M1呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期1－1－1－0對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，ω∈（10.289，11.955）時(shí)M1呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期1－1－1－0非對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，ω＝10.289時(shí)M1呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期2－2－2－0運(yùn)動(dòng)，同時(shí)隨著ω遞減為9.895，M1的運(yùn)動(dòng)將通過(guò)倍周期分化通向混沌，ω∈（8.736，9 .825）時(shí)M1呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期1－2－1－0運(yùn)動(dòng)，ω＝8.736時(shí)M1呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期2－4－2－0運(yùn)動(dòng)，同時(shí)隨著ω遞減為8.445，M1的運(yùn)動(dòng)也將通過(guò)倍周期分化通向混沌。

圖3為u1＝0.1時(shí)M1的黏滑及擦切圖。此時(shí)，M1在ω∈（6.162，8.736］區(qū)間內(nèi)的黏滑運(yùn)動(dòng)不明顯，在ω∈［2.5，6.162］區(qū)間內(nèi)的黏滑運(yùn)動(dòng)則比較明顯。ω∈［5.395，6.162］時(shí)M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期2－2－2－1運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖3（a）），ω∈（4.532，4.732］時(shí)M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1－3－2－1運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖3（b）），ω＝4.532時(shí)M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期2－6－4－2運(yùn)動(dòng)，同時(shí)隨著ω遞減為4.450，M1的運(yùn)動(dòng)將通過(guò)倍周期分化通向混沌。ω∈［2.5，4.450）時(shí)M1呈現(xiàn)的黏滑現(xiàn)象更明顯，此時(shí)M1主要以倍周期分化通向混沌。

圖2 M 1的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of M1

圖3 u1＝0.1時(shí)M 1的黏滑及擦切圖Fig.3 Stick－slip and brush cut diagram of M 1 when u1＝0.1

下面討論增大摩擦力（u1＝0.2）時(shí)的情況，此時(shí)M1的分岔圖見(jiàn)圖2（b），M1的黏滑及擦切圖見(jiàn)圖4。ω∈［7.5，13］時(shí)M1的黏滑運(yùn)動(dòng)不明顯，此時(shí)M1主要以倍周期分化通向混沌。ω∈［2.5，4.505］時(shí)M1不僅有明顯的黏滑運(yùn)動(dòng)，而且有擦切運(yùn)動(dòng)。ω∈（4.279，4.505］時(shí)M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1－3－2－1運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖4（a）），ω＝4.279時(shí)M1發(fā)生擦切運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖4（b））。ω∈（4.145，4.279］時(shí)M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1－4－2－1運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω＝4.145或ω＝3.965時(shí)M1再次發(fā)生擦切運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖4（c）），并最終通過(guò)擦切運(yùn)動(dòng)通向混沌。

圖4 u1＝0.2時(shí)M1的黏滑及擦切圖Fig.4 Stick－slip and brush cut diagram of M 1 when u1＝0.2

減小摩擦力（u1＝0.01）時(shí)，M1的分岔圖見(jiàn)圖2（c），此時(shí)M1在ω∈2.5，］［13區(qū)間內(nèi)的黏滑運(yùn)動(dòng)不明顯。

系統(tǒng)其他基本參數(shù)不變，當(dāng)u1＝0.1時(shí)，M1在不同激勵(lì)振幅條件下的分岔行為如圖5所示。由圖5可見(jiàn)，在ω＝4.2的條件下，當(dāng)f0＝0.1時(shí)，M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1－2－3－0運(yùn)動(dòng)，當(dāng)f0＝0.4時(shí)，M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1－1－1－0運(yùn)動(dòng)，當(dāng)f0＝0.95時(shí)，M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1－3－2－1運(yùn)動(dòng)；在ω＝5.1的條件下，當(dāng)f0＝0.1時(shí)，M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期2－4－4－0運(yùn)動(dòng)，當(dāng)f0＝0.4時(shí)，M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1－1－1－0運(yùn)動(dòng)，當(dāng)f0＝0.95時(shí)，M1呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期2－4－4－2運(yùn)動(dòng)。

圖5 不同激勵(lì)振幅下M 1的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of M1 under different incentive amplitudes

4 結(jié)論

（1）系統(tǒng)存在叉式分岔，并由對(duì)稱周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉磳?duì)稱的周期運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而通過(guò)周期倍化分岔通向混沌。

（2）在一定的帶速下，系統(tǒng)主要以倍周期分岔為主，干摩擦較小時(shí)系統(tǒng)黏滑現(xiàn)象不明顯，而干摩擦較大、激勵(lì)頻率不太大時(shí)系統(tǒng)黏滑現(xiàn)象非常明顯，并且存在擦切運(yùn)動(dòng)。

（3）在一定帶速和干摩擦下，激勵(lì)振幅越大，系統(tǒng)越容易發(fā)生黏滑運(yùn)動(dòng)。對(duì)于此類系統(tǒng)，可以通過(guò)調(diào)整干摩擦和激勵(lì)振幅來(lái)抑制系統(tǒng)的黏滑現(xiàn)象。

［1］ Shaw S W.On the dynamic response of a system with dry friction［J］.Journal of Sound and Vibration，1986，108：305－325.

［2］ Cone K M，Zadoks R I.A numerical study of an impact oscillator with addition of dry friction［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，188（5）：659－683.

［3］ Ding W C，Xie J H.Interaction of Hopf and doubling bifurcations of a vibro－impact system［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，275（1－2）：29－45.

［4］ 丁旺才，張有強(qiáng)，謝建華.含對(duì)稱間隙的摩擦振子非線性動(dòng)力學(xué)分析［J］.摩擦學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（2）：156－160.

［5］ 羅冠煒，張艷龍，謝建華.含對(duì)稱剛性約束振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)和分岔［J］.爆炸與沖擊，2007，4（7）：45－50.

［6］ 李萬(wàn)祥，牛衛(wèi)中.一類含間隙系統(tǒng)的分岔與混沌的形成過(guò)程［J］.振動(dòng)與沖擊，2000，24（3）：48－49.

［7］ 羅冠煒，謝建華，孫訓(xùn)方.兩自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定性［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，36（3）：62－66.

［8］ 林梅，丁旺才，武俊虎.兩點(diǎn)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)與分岔［J］.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2000，4（1）：17－21.