隨機(jī)行走的擴(kuò)散方程

焦濰蘋,李宏亮

(1.濰坊工商職業(yè)學(xué)院信息工程系,山東諸城262200;2.浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012)

擴(kuò)散方程的物理模型一般是氣體的擴(kuò)散,液體的滲透,布朗運(yùn)動(dòng)等,而在這里我們將建立一個(gè)隨機(jī)行走模型來(lái)得到擴(kuò)散方程.

1 隨機(jī)行走模型

我們假設(shè)一個(gè)粒子作一維的隨機(jī)行走,它只有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向,向左或向右.我們假設(shè)粒子在x軸上運(yùn)動(dòng),初始位置在原點(diǎn).設(shè)其每次移動(dòng)的長(zhǎng)度為δ,xi為一隨機(jī)變量,并且令

設(shè)每一步都是獨(dú)立的,P(xi=δ)=p,P(xi=-δ)=q,由于粒子只有向左或向右移動(dòng)兩種可能,因此p+q=1(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]).第n步粒子所在的位置為應(yīng)用二項(xiàng)分布,在給定的步數(shù)后粒子在某個(gè)固定位置的概率是確定的.但我們更感興趣的是,當(dāng)δ→0,步數(shù)n→時(shí),該隨機(jī)行走問(wèn)題的連續(xù)極限,然而我們不是要確定這個(gè)問(wèn)題的確切的解,而是通過(guò)確定隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望與方差來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題,隨機(jī)變量Xn數(shù)學(xué)期望得到的是n步之后粒子在的平均位置,而方差得到的是實(shí)際位置偏離平均位置的程度.我們先考慮離散的情況.

2 期望與方差

2.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義2.1 (見(jiàn)文獻(xiàn)[3])設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布律為P(xk)=pk,k=1,2,….若級(jí)數(shù)隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望,記為E(x),即

定理2.2

證明 對(duì)于上述隨機(jī)行走模型中的粒子在第i步移動(dòng)后,隨機(jī)變量xi的期望為E(xi)=(+δ)P(xi=δ)+(-δ)P(xx=-δ)=(p-q)δ.E(x)為關(guān)于x的線性函數(shù),因此我們有

2.2 離散型隨機(jī)變量的方差

定義2.3 設(shè)x是一隨機(jī)變量,若的方差E[(x-E(x))2]存在,則稱E[(x-E(x))2]為x的方差,記為D(x)(見(jiàn)文獻(xiàn)[3]).

定理2.4

證明 由方差的定義我們可得方差的計(jì)算公式D(x)=E(x2)-[E(x)]2,對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量X和Y有D(X+Y)=D(X)+D(Y)(見(jiàn)文獻(xiàn)[3]),這樣我們可得獨(dú)立隨機(jī)變量和的方相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,i=1,2…,n,有

又因?yàn)閜+q=1,所以

3 差分方程

假設(shè)該隨機(jī)行走模型滿足:

(i)單位時(shí)間內(nèi)粒子移動(dòng)r步;

(ii)粒子在t=0時(shí)刻,由x=0處開(kāi)始移動(dòng);

(iii)粒子移動(dòng)n步的時(shí)間為t,且其移動(dòng)n步后的位置在x處.

定義3.1 設(shè)v(x,t)為t時(shí)刻粒子在x位置的概率分布,這里t=nτ,即v(x,t)=P(Xn=x).

定理3.2

證明 由定義3.1知v(x,t+τ)為在(t+τ)時(shí)刻粒子在位置x的概率,v(x-δ,t)為t時(shí)刻粒子在位置x-δ的概率,v(x+δ,t)為t時(shí)刻粒子在位置x+δ的概率.又因?yàn)榱Ｗ又挥邢蛴液拖蜃髢蓚€(gè)移動(dòng)方向,所以在(t+τ)時(shí)刻粒子在位置x的概率為t時(shí)刻粒子在位置x-δ的概率乘以向右移動(dòng)的概率p在加上t時(shí)刻粒子在位置x+δ的概率乘以向左移動(dòng)的概率,即v(x,t+τ)=pv(x-δ,t)+qv(x+δ,t).

又p+q=1,因此應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)將v(x,t+τ)及v(x±δ,t)在點(diǎn)(x,t)處展開(kāi)得:

代入(3.1)式得差分方程:

4 擴(kuò)散方程

布朗運(yùn)動(dòng)是小顆粒的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng).布朗運(yùn)動(dòng)最初是由英國(guó)生物學(xué)家布朗于1827年根據(jù)觀察花粉微粒在夜面上做“無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)”的物理現(xiàn)象而提出的,愛(ài)因斯坦于1905年首次對(duì)這一現(xiàn)象的物理規(guī)律給出了一種數(shù)學(xué)描述,使得這一課題有了顯著發(fā)展.布朗運(yùn)動(dòng)作為具有連續(xù)時(shí)間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,在其它許多領(lǐng)域有著十分重要的應(yīng)用,如物理、經(jīng)濟(jì)、通訊理論、生物、管理科學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等(見(jiàn)文獻(xiàn)[2]).

本文提出的隨機(jī)行走模型可用于一維的布朗運(yùn)動(dòng),給定一個(gè)粒子,由假設(shè)(i)其在一個(gè)給定的單位時(shí)間里有r次碰撞發(fā)生,每一個(gè)碰撞假設(shè)是獨(dú)立的且給定一個(gè)大小為δ的位移,假設(shè)向右移動(dòng)的概率為p,向左移動(dòng)的概率為q.對(duì)于我們的隨機(jī)行走模型,r步之后,粒子在位置Xr,由(2.1)及(2.2)知,粒子在位置Xr的期望與方差為E(Xr)=(p-q)rδ,D(Xr)=4pqδ2r.實(shí)驗(yàn)上,在液體或氣體中(一維運(yùn)動(dòng))的粒子平均速度為c,方差為D＞0,根據(jù)假設(shè)每單位時(shí)間內(nèi)有r次碰撞(r不是一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果,而是假設(shè)很大).

因?yàn)椴祭蔬\(yùn)動(dòng)是連續(xù)的,我們必須考慮當(dāng)δ→0,r→時(shí)的極限,設(shè)c和D是極限過(guò)程中的定值(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]).

證明 由(4.1)知,當(dāng)δ→0,r→時(shí),有E(Xr)=(p-q)δr→c,D(Xr)=4pqδ2r→D.如果當(dāng)→D＞0矛盾.因此當(dāng)δ→0,r→時(shí),必須有

定理4.2 當(dāng)δ→0,τ→0時(shí),(3.3)式的極限為微分方程

此方程為一維擴(kuò)散方程.

本文從一個(gè)隨機(jī)行走的模型出發(fā),利用期望與方差及泰勒展式,得到了一個(gè)一維的擴(kuò)散方程,這個(gè)方程與布朗運(yùn)動(dòng)有著緊密聯(lián)系,更有助于理解滲透與擴(kuò)散的實(shí)質(zhì).同時(shí)這個(gè)方程的得到過(guò)程也揭示了概率與分析之間有著密切的聯(lián)系.該方法也可用于更加復(fù)雜的隨機(jī)運(yùn)功動(dòng)情況,有待于進(jìn)一步的研究.

[1]Zauderer E.Partial differential equations of applied mathematics.2nd edition[M].New York:John W iley&Sons,Inc,1989:891.

[2]黃新,李俊鋒.布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)散方程[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010(3):45-46.

[3]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2008:90-103.