含非貫穿直裂紋管道局部柔度系數(shù)的廣義解研究

胡家順，孫文勇，劉 朵，周 晶

(1.中國石油集團(tuán)安全環(huán)保技術(shù)研究院安全技術(shù)研究所，北京 100083;2.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)試驗(yàn)室，大連 116024)

含非貫穿直裂紋管道局部柔度系數(shù)的廣義解研究

胡家順1，孫文勇1，劉 朵2，周 晶2

(1.中國石油集團(tuán)安全環(huán)保技術(shù)研究院安全技術(shù)研究所，北京 100083;2.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)試驗(yàn)室，大連 116024)

基于局部柔度的裂紋模型研究已受到普遍關(guān)注，然而，針對含任意方向角裂紋管道的局部柔度系數(shù)理論研究鮮有報(bào)道。根據(jù)線性斷裂力學(xué)理論推導(dǎo)了含任意方向角非貫穿直裂紋管道在軸力、剪力和彎矩等荷載作用下的局部柔度方程，考慮了方向角變化對彎矩引起局部柔度系數(shù)的影響。利用適應(yīng)性Simpson方法編寫了數(shù)值積分程序進(jìn)行局部柔度系數(shù)求解，并與Naniwadekar等人試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比分析。研究結(jié)果表明:提出的局部柔度系數(shù)求解方法準(zhǔn)確，為含任意方向角裂紋管道的振動(dòng)分析提供了基礎(chǔ)。

振動(dòng)分析;局部柔度;管道;裂紋;裂紋方向角

對于工程結(jié)構(gòu)、機(jī)械設(shè)備，在靜動(dòng)力荷載的長期作用下，隨著材料的腐蝕、老化，出現(xiàn)裂紋損傷不可避免。隨著結(jié)構(gòu)、設(shè)備服役年限的增長，裂紋損傷的累積和擴(kuò)展，如果不及時(shí)發(fā)現(xiàn)和采取有效措施防治，則極易出現(xiàn)各類安全事故，如構(gòu)件斷裂、結(jié)構(gòu)倒塌、設(shè)備失效、容器爆炸等。因此，裂紋損傷作為影響結(jié)構(gòu)、設(shè)備安全事故的主要原因之一，在工程領(lǐng)域已受到普遍關(guān)注和重視，含裂紋結(jié)構(gòu)、設(shè)備的振動(dòng)分析、裂紋識(shí)別等問題已成為學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題之一，Dimarogonas［1］和 Papadopoulos［2］對該領(lǐng)域的研究進(jìn)展進(jìn)行了詳細(xì)的綜述。

線性斷裂力學(xué)理論的重大突破歸功于Irwin應(yīng)力場強(qiáng)度因子概念的提出［3］。Irwin通過把裂紋尖端局部的宏觀力學(xué)行為與微觀特征聯(lián)系起來，確定了裂紋尖端前緣區(qū)域的應(yīng)力和位移場與每種裂紋類型的關(guān)系。此后，Dimarogonas和 Papadopoulos［4－7］依據(jù)線性斷裂力學(xué)理論，計(jì)算了各種荷載作用下由裂紋引入的局部柔度系數(shù)，建立了以“有限元”或“彈簧鉸”刻畫裂紋局部行為的裂紋模型。他們開創(chuàng)性的工作推動(dòng)了含裂紋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)發(fā)展?；诰植咳岫鹊牧鸭y模型具有明確的物理意義、理論性強(qiáng)、應(yīng)用性好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于裂紋轉(zhuǎn)子和裂紋梁的動(dòng)力學(xué)分析。

然而，令人遺憾的是目前基于局部柔度建立的裂紋模型存在以下不足:① 多數(shù)裂紋模型是針對矩形或圓形截面的實(shí)體結(jié)構(gòu)建立的，如矩陣或圓形截面的梁、桿類結(jié)構(gòu)，而針對管道結(jié)構(gòu)的裂紋模型只有少數(shù)文獻(xiàn)報(bào)道［8－10］;② 大多數(shù)裂紋模型存在同樣的假設(shè)，即裂紋尖端方向與外力方向垂直或平行。但是，在實(shí)際工程中，裂紋結(jié)構(gòu)的裂紋尖端方向并不局限于與外力垂直或平行，還存在與外力成任意角情況［11－12］。在裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中裂紋與外力成任意角的裂紋模型已有研究工作涉及，但是對于管道裂紋與外力成任意角的裂紋模型研究卻鮮有報(bào)道。Naniwadekar等人［10］利用試驗(yàn)研究了裂紋與外力成任意角的管類結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，但文中并沒有給出裂紋與外力成任意角的管道局部柔度的解析表達(dá)式，因而，文中結(jié)果很難應(yīng)用于工程實(shí)際。

為了研究含裂紋管道的力學(xué)行為，發(fā)展合適的裂紋模型必不可少。而推導(dǎo)合理的裂紋局部柔度系數(shù)廣義解是建立管類結(jié)構(gòu)裂紋模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本文開展了裂紋與外力成任意角的管道局部柔度的理論研究，推導(dǎo)了含有非貫穿直裂紋管道在軸力、剪力和彎矩作用下的局部柔度方程的廣義解，并進(jìn)行求解和驗(yàn)證，進(jìn)一步發(fā)展和完善了裂紋結(jié)構(gòu)的局部柔度求解理論。

1 局部柔度系數(shù)方程的理論推導(dǎo)

非貫穿直裂紋如圖1所示，裂紋深度為a，管壁厚為t，管外徑為De，管內(nèi)徑為Di。裂紋管單元受到軸力P1、剪力P2和彎矩P3的聯(lián)合作用。假設(shè)P1方向與管軸重合;P2、P3方向如圖1(a)所示，與裂紋截面的法線n成φ角度，本文稱φ為方向角。根據(jù)Dimarogonas建立裂紋轉(zhuǎn)軸局部柔度的思想，把裂紋區(qū)域離散為一序列獨(dú)立的矩形條帶，各矩形條帶按照裂紋梁理論計(jì)算附加應(yīng)變能，然后積分得到總應(yīng)變能，從而求得裂紋引入的局部柔度［1，2］。

根據(jù)圖1(b)所示的幾何關(guān)系，得到如下的表達(dá)式:

式中:2b為裂紋尖端處寬度;ξ'為距離積分條帶頂部的局部深度變量;h'(η)為積分條帶深度，ξ、η分別為全局坐標(biāo)下的深度變量和偏移距離。

假設(shè)在外力作用下，結(jié)構(gòu)中裂紋區(qū)域處于彈性階段，根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論，裂紋出現(xiàn)所產(chǎn)生的附加應(yīng)變能［6］表示為:

式中:J為應(yīng)變能釋放率，Ac為有效裂紋面積。裂紋引起的附加應(yīng)變能釋放率J可表示為:

式中:KI1、KI2、KI3分別為軸力、剪力、彎矩引起的 I型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子;KII2為剪力引起的II型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。在平面應(yīng)力狀態(tài)下 E'=E;在平面應(yīng)變狀態(tài)下E'=E/(1－ν2)。其中，E為彈性模量，ν為泊松比。

圖1 (a)裂紋管單元;(b)裂紋截面幾何尺寸Fig.1(a)Cracked pipe element;(b)Cracked section geometry

對于含裂紋管道，在軸力、剪力和彎矩作用下，各條帶裂紋區(qū)域應(yīng)力強(qiáng)度因子可表示為［10］:

式中:Pi(i=1，2，3)分別表示裂紋單元的軸力、剪力和彎矩，γ=Di/De，F(xiàn)1、F2、FⅡ?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度因子的修正系數(shù)，可表示為［11，13］:

根據(jù)卡式定理(Castigliano’s theorem)，裂紋引入的附加位移可表示為應(yīng)變能對力的導(dǎo)數(shù):

則裂紋引起的附加局部柔度可表示為:

式中:cij(i，j=1，2，3)為各荷載引入的含裂紋管道的局部柔度系數(shù)。

圖2 φ與裂紋受拉區(qū)域的關(guān)系Fig.2.The relationship between angle φ and tension area

對于圖2所示的含裂紋管道，受到垂直面內(nèi)的彎矩P3作用時(shí)，裂紋截面一部分處于受拉區(qū)域，另一部分處于受壓區(qū)域。若裂紋尖端處于拉伸狀態(tài)，則裂紋表面是張開的，導(dǎo)致了含裂紋管道彎曲剛度的降低;若裂紋尖端處于受壓狀態(tài)，則裂紋處于閉合狀態(tài)，此時(shí)可認(rèn)為含裂紋管道彎矩剛度與完好狀態(tài)相等?？梢钥闯?，含裂紋管道在彎矩作用下的局部柔度系數(shù)與裂紋方向角φ密切相關(guān)。由于裂紋引起的局部柔度是方向角φ的周期性函數(shù)，因此，裂紋的張開—閉合行為隨著方向角的大小而改變。隨著φ的變化，裂紋截面會(huì)出現(xiàn)以下三種狀態(tài):① 完全張開狀態(tài);② 部分張開—部分閉合狀態(tài);③ 完全閉合狀態(tài)。

已有研究證明，只有受拉區(qū)的張開裂紋對結(jié)構(gòu)局部柔度產(chǎn)生影響，而受壓區(qū)的閉合裂紋對結(jié)構(gòu)局部柔度的影響可忽略不計(jì)［11－12］。然而，裂紋截面在剪切應(yīng)力和軸向應(yīng)力作用下，局部柔度系數(shù)的求解不受裂紋拉壓狀態(tài)的影響，需要計(jì)算整個(gè)裂紋表面區(qū)域應(yīng)變能的貢獻(xiàn)。

轉(zhuǎn)換積分表示方式，令 x=ξ/De，y= η/De，則 dξ'=Dedx，dη =Dedy，有:

把式(3)～式(7)代入式(12)，然后轉(zhuǎn)換積分表達(dá)方式，可推導(dǎo)出各荷載引起的局部柔度系數(shù)cij，為了直觀比較各局部柔度系數(shù)cij，對局部柔度系數(shù)進(jìn)行了無量綱處理，得到含裂紋管道無量綱的局部柔度系數(shù)AF(i，j)(本文簡稱“無量綱柔度”)。任意方向角φ條件下推導(dǎo)的管道無量綱柔度表達(dá)式與φ=0時(shí)明顯不同，任意方向角φ含裂紋管道的無量綱柔度不僅是裂紋深度的函數(shù)，同時(shí)也是裂紋方向角φ的函數(shù)。推導(dǎo)的無量綱柔度方程如下:

Chasalevris 和 Papadopoulos［11］研究含裂紋轉(zhuǎn)軸局部柔度時(shí)指出:對于任意方向角φ的轉(zhuǎn)軸，由于應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)用條件的限制，方向角φ介于±30°之間時(shí)，進(jìn)行彎矩作用下無量綱柔度求解的精度較高。隨著方向角φ的改變，裂紋截面的有效積分面積也將隨之變化。當(dāng)φ≥φcr(φcr為臨界角)時(shí)，裂紋部分截面開始進(jìn)入受壓區(qū)，裂紋截面的有效面積逐漸減小;當(dāng)φ≥φcl(φcl為閉合角)時(shí)，裂紋完全位于受壓區(qū)，裂紋閉合，此時(shí)彎矩引起的AF(3，3)=0。

圖3 (a)水平面內(nèi)的彎矩作用;(b)垂直面內(nèi)的彎矩作用Fig.3(a)bending in horizontal plane;(b)bending in vertical plane

對于裂紋深度為 a的管道，由 y1、y2可求得 φcr、φcl值。

式中，λ=a/De?？梢钥闯雠R界角φcr、閉合角φcl均是裂紋相對深度的函數(shù)。對于給定裂紋深度的管道，管道受到垂直面內(nèi)的彎矩(φ=90°)與管道受到水平面內(nèi)的彎矩(φ=0°)引起的局部柔度相同。因此，在垂直面內(nèi)的彎矩作用下，當(dāng)方向角φ滿足60°≤φ≤90°時(shí)，根據(jù)上述思想推導(dǎo)的無量綱柔度方程為

與式(17)類似，利用式(23)進(jìn)行水平面內(nèi)彎矩作用下無量綱柔度計(jì)算時(shí)，要求－30°≤φ≤0°，即等價(jià)于垂直面內(nèi)彎矩作用下60°≤φ≤90°的條件。所以，在0°≤φ≤180°的范圍內(nèi)，局部柔度AF(3，3)的計(jì)算分3部分進(jìn)行，即0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°、φcl≤φ≤180°。另外，由于滿足可導(dǎo)性和連續(xù)性的邊界條件，30°≤φ≤60°和90°≤φ≤φcl的局部柔度系數(shù)可通過B樣條曲線插值得到［11］。至此，當(dāng)方向角φ為任意值時(shí)，含非貫穿直裂紋管道的無量綱柔度AF(3，3)均可通過計(jì)算得到。

2 無量綱柔度的求解與驗(yàn)證

式(14)～式(19)是關(guān)于 x、y內(nèi)積分限為函數(shù)的雙重積分，且內(nèi)部積分函數(shù)表達(dá)式十分復(fù)雜，無法通過直接積分給出無量綱柔度方程的解析表達(dá)式。因此，本文采用數(shù)值積分方法求解局部柔度系數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)［14］中給出的適應(yīng)性Simpson積分算法的思想和建議，本文應(yīng)用Matlab軟件編寫了無量綱柔度方程求解的數(shù)值積分算法程序(Local Flexibility Integral Program-LFIP)，計(jì)算流程如圖4所示。對于已知物理參數(shù)和截面尺寸的管道，根據(jù)LFIP可以計(jì)算任意深度a、任意方向角φ含非貫穿直裂紋管道的無量綱柔度系數(shù)。

圖4 無量綱柔度的求解流程圖Fig.4.Flow chart of the nondimensional flexibility

對于含任意方向角φ非貫穿直裂紋的管道，由上述內(nèi)容可知，相對軸力、剪力荷載，彎矩作用引起的無量綱柔度AF(3，3)的計(jì)算較為復(fù)雜，計(jì)算過程中涉及裂紋表面拉壓區(qū)域面積的判斷以及利用B樣條插值求解其余方向角φ的AF(3，3)值。限于篇幅，本文則重點(diǎn)討論任意方向角φ管道的無量綱柔度 AF(3，3)特點(diǎn)。假定 γ =0.5，選取三組 φ1、φ2、φ3共 12 個(gè)不同的角度進(jìn)行計(jì)算，如表1所示。首先根據(jù)式(21)、式(22)計(jì)算a/De取不同值時(shí)的臨界角φcr與閉合角φcl，結(jié)果如表2所示。

表1 方向角φ取值Tab.1 Values of the angle φ

表2 各裂紋深度對應(yīng)的φcr和φcl值Tab.2 Values of φcrand φclwithin different crack depth

根據(jù)表2的計(jì)算結(jié)果可知，φ3＞φcr時(shí)裂紋完全位于受壓區(qū)，即裂紋完全閉合，無量綱柔度系數(shù)AF(3，3);φ1＜φcr時(shí)裂紋完全位于受拉區(qū)，裂紋張開;φ2＞φcr時(shí)裂紋部分位于受壓區(qū)，部分位于受壓區(qū)，本文主要討論 φ1、φ2兩組管道的無量綱柔度 AF(3，3)，其余方向角φ的AF(3，3)可通過B樣條曲線插值獲得。用本文方法求解得到AF(3，3)結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出:① 在裂紋角φ相同情況下，隨著裂紋深度的增加，AF值隨之增大;② 在裂紋深度相同條件下，隨著方向角φ的增加，AF值隨之減小;③根據(jù)B樣條曲線插值可求得其余方向角φ時(shí)的AF(3，3)值。

Naniwadekar［10］等人利用試驗(yàn)研究了含裂紋鋼制管道因裂紋出現(xiàn)而引入的附加等效剛度。為了驗(yàn)證本文得到的含任意方向角非貫穿直裂紋管道局部柔度系數(shù)的正確性，選取Naniwadekar等人的試驗(yàn)管道模型作為基準(zhǔn)模型。Naniwadekar等人在試驗(yàn)中使用線切割制作裂紋，當(dāng)方向角φ＞φcr(即一部分裂紋進(jìn)入受壓區(qū))時(shí)，因?yàn)榫€切割裂紋存在2 mm切口寬度，試驗(yàn)中進(jìn)入受壓區(qū)的裂紋表面并不會(huì)閉合，這與真實(shí)裂紋是有所區(qū)別的。因此，Naniwadekar等人試驗(yàn)中 φ 為0°、10°、20°、30°的結(jié)果與本文具有可比性。模型物理參數(shù)為:外徑 De為0.037 8 m，內(nèi)徑 Di為 0.027 8 m，密度 ρ為7 860 kg/m3，彈性模量E為173.8 GPa;相對裂紋深度a/t分別取 0.2、0.4、0.6、0.8;方向角 φ 分別取:0°、10°、20°、30°。

由式(19)，得到彎矩作用下的局部柔度系數(shù)c33:根據(jù)本文方法計(jì)算得到φ為0°、30°時(shí)局部柔度系數(shù)c33值，與 Naniwadekar等人的試驗(yàn)結(jié)果對比如圖 6所示。

從圖6可以看出，使用本文理論求解的局部柔度系數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，誤差較小。誤差的主要來源:① 理論與試驗(yàn)中的裂紋形式。Naniwadekar等人在試驗(yàn)中使用線切割制作裂紋，雖然裂紋切口較小，但與實(shí)際裂紋還是存在差異，真實(shí)裂紋與線切割裂紋的應(yīng)力場分布特點(diǎn)不同。② 理論計(jì)算中存在近似成分。管道裂紋截面并非完全的平面應(yīng)變或平面應(yīng)力，計(jì)算中E'取值對計(jì)算結(jié)果有影響。另外，利用離散的矩形條帶進(jìn)行積分求解也存在近似成分。相對于文獻(xiàn)［10］，本文避免了獲得局部柔度系數(shù)所進(jìn)行的大量試驗(yàn)工作，求解結(jié)果滿足實(shí)際要求，便于工程應(yīng)用。總而言之，本文方法滿足含任意方向角，且直裂紋深度a＜t管道的局部柔度系數(shù)求解，為含裂紋管道的振動(dòng)分析和裂紋識(shí)別提供了模型參數(shù)保障，完善了現(xiàn)有工作的缺失和不足。

3 結(jié)論

本文利用線性斷裂力學(xué)理論中的應(yīng)變能釋放率原理，推導(dǎo)了含任意方向角非貫穿直裂紋在軸力、剪力和彎矩作用下的局部柔度系數(shù)方程，考慮了裂紋表面拉壓區(qū)域變化對局部柔度系數(shù)的貢獻(xiàn)，采用適應(yīng)性Simpson數(shù)值積分算法編寫了局部柔度系數(shù)計(jì)算程序，并給出了方向角φ=0°～180°范圍內(nèi)局部柔度系數(shù)的計(jì)算原則:在0°≤φ≤180°范圍內(nèi)，彎矩引起的局部柔度系數(shù)分為0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°、φcl≤φ≤180°計(jì)算。30°≤φ≤60°和90°≤φ≤φcl的局部柔度系數(shù)通過 B 樣條曲線插值得到。

利用Naniwadeker等人的試驗(yàn)結(jié)果作為基準(zhǔn)，對本文推導(dǎo)的含任意方向角裂紋管道局部柔度系數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，本文計(jì)算值與Naniwadeker等人試驗(yàn)值基本吻合，從而驗(yàn)證了本文局部柔度系數(shù)推導(dǎo)和求解的正確性。本文發(fā)展的含任意方向角非貫穿直裂紋管道的局部柔度求解方法具有理論性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣、具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。本文研究結(jié)果為含裂紋管道的力學(xué)分析、裂紋識(shí)別提供了基礎(chǔ)和參考。

［1］Dimarogonas A D.Vibration of cracked structure:a state of the art review［J］.Engineering Fracture Mechanics，1996，55(5):831－857.

［2］Papadopoulos C A.The strain energy release approach for modeling cracks in rotors:A state of the art review［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22(4):763－789.

［3］Irwin G R.Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate ［J］.Journal of Applied Mechanics，1957，24:361－364.

［4］Zou J，Chen J，Niu J C，Geng Z M.Discussion on the local flexibility due to the crack in a cracked rotor system ［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，262(2):365－369.

［5］Papadopoulos C A.Some comments on the calculation of the local flexibility of cracked shafts［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，278(4－5):1205－1211.

［6］Zheng D Y，Kessissoglou N J.Free vibration analysis of a cracked beam by finite element method［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，273(3):457－475.

［7］ Dong G M，Chen J，Zou J.Parameter identification of a rotor with an open crack.European JournalofMechanics A/Solids，2004，23(2):325－333.

［8］Liu D，Gurgenci H，Veidt M.Crack detection in hollow section structures through the coupled response measurements［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，261(1):17－29.

［9］ Zheng D Y，F(xiàn)an S.Vibration and stability of cracked hollowsectional beams［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，267(4):933－954.

［10］ Naniwadekar M R，Naik S S，Maiti S K.On predection of crack in different orientations in pipe using frequency based approach［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22(3):693－708.

［11］ Chasalevris A C， Papadopoulos C A. Identification of multiple cracks in beams under bending［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2006，20(7):1631－1673.

［12］Chasalevris A C，Papadopoulos C A.Coupled horizontal and vertical bending vibrations of a stationary shaft with two cracks［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，309(3 －5):507－528.

［13］Tada H，Paris P C，Irwin G R，The stress analysis of cracks handbooks(ThirdEdition)［M］.New York:ASME Press，2000.

［14］ Gander W，Gautschi W.Adaptive quadrature-revisited［J］.BIT，2000，40(1):84－101.

General solution to local flexibility of a pipe with a part-through straight crack

HU Jia-shun1，SUN Wen-yong1，LIU Duo2，ZHOU Jing2

(1.Research Department of Safety Technology，CNPC Research Institute of Safety＆ Environment Technology，Beijing 100083，China;2.State key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 110624，China)

The crack model based on local flexibility has

attractive attentions in engineering.However，the theoretical studies on local flexibility of a pipe with a crack with an arbitrary direction are less conce rned.The local flexibility equations of a pipe with a part-through crack subjected to axial force，shear force and bending moment were deduced using theories of linear fracture mechanics and taking into the effect of the direction angle of the crack on the local flexibility of the pipe into account.An adaptive Simpson method was used to obtain the flexibility coefficients of the cracked pipe and the results were compared with those of Naniwadekar's test to validate the proposed approach.The results demonstrated that the proposed approach is correct，it is suitable for vibration analysis of pipe-like structures with an arbitrary direction angle crack.

vibration analysis;local flexibility;pipe;crack;direction angle of crack

O346

A

中國石油安全環(huán)保技術(shù)研究院基金(D－03－2010－2－021);國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(50439010)

2010－01－28 修改稿收到日期:2010－04－12

胡家順 男，博士，1981年生