靜電平衡狀態(tài)下導體球的電荷分布

陳星 朱俏燕

(無錫市第一中學 江蘇 無錫 214031)

1 引言

孤立導體的電荷分布已經(jīng)多有研究[1～2]，但靜電平衡狀態(tài)下導體電荷分布的定量研究稍顯少些[3]，尤其是導體接地與否對電荷分布的影響方面的研究.本文就是以導體球為例，通過求解空間電勢并利用導體邊界條件中電勢與電荷面密度的關(guān)系探討導體球在兩種典型電場中靜電平衡下的電荷分布[4].

2 兩種典型電場中導體球的電荷分布

2.1 無窮大勻強電場中不接地導體球的電荷分布

假設不帶電的導體球放入如圖1所示的勻強電場中，導體外空間無電荷分布.

圖1

欲求該導體球的電荷分布，可求解其電勢在導體外空間軸對稱情形下的拉普拉斯方程

▽2φ=0

(1)

(2)

其中，φ為導體外空間的電勢，它是由勻強電場和導體球共同激發(fā)的.勻強電場無窮大，所以，可以規(guī)定O處的電勢為零.而導體是等勢體，所以全空間的邊界條件為

代入上述通解.

取n=1

由

得

由

有

aRcosθ=-E0Rcosθ

得

可得φ的特解

(3)

根據(jù)靜電平衡時的導體邊界條件，導體球的電荷面密度

3ε0E0cosθ

(4)

取 3ε0E0=1，根據(jù)(4)式，可以畫出導體球面密度σ隨θ的變化關(guān)系，如圖2(a)所示.由此圖還可示意畫出導體球表面電荷分布，如圖2(b)所示.

由圖2可見，在無窮大勻強電場中，不接地導體球達到靜電平衡后，在其兩端將分別帶上異號電荷，并會按照導體球的中軸線按余弦規(guī)律對稱分布.所以，導體球帶的總電荷為零.這也恰好驗證了導體靜電感應規(guī)律，即在靠近正電荷的端感應出負電荷，在靠近負電荷的端感應出正電荷.但感應電荷的總量為零.

圖2

2.2 無窮大勻強電場中接地導體球的電荷分布

現(xiàn)在假設原來不帶電的導體球放入勻強電場中，并使其接地，如圖3所示.求導體球的電荷分布.

圖3

在導體球外空間，仍然可以列出電勢的軸對稱情形下的拉普拉斯方程，其形式與(1)、(2)式無異.而邊界條件也仍然是

可見，接地與不接地的拉普拉斯方程及邊界條件是一樣的;所以，電勢的解也是一樣的.因而接地時的導體電荷面密度分布與不接地時相同，如圖2(a)和圖2(b)所示.這可能與我們的直覺不太一樣.從靜電平衡的角度看，導體球所處的位置似乎電勢應該大于零，導體接地后，電子將由低電勢(大地)流向高電勢(導體球).但事實上，由于電場無窮大，故在其中任意一點都可以看成是既遠離正電荷、又遠離負電荷的零電勢點，所以，放入其中的導體球接地后，由于是零電勢與零電勢相連，就不會有電子從大地流向?qū)w球，也不會帶多余的電荷.所以，在無窮大勻強電場中，導體球接地與不接地都不會影響其按余弦規(guī)律對稱分布的電荷.

2.3 點電荷電場中的接地導體球的電荷分布

由于空間有了點電荷分布，所以，不能再通過解拉普拉斯方程來求解空間電勢φ.這時，可以采用鏡像法.

如圖4(a)，假設導體內(nèi)有一個電荷Q′ ，導體接地時，在Q′和Q的作用下，使導體球成為零等勢體，于是可得

△OPQ′∽△OQP

由此，可解出

圖4

則在圖4(b)中空間任意一點P處的電勢就為

(5)

導體球上的電荷面密度

(6)

圖5

從兩圖中可見，在點電荷電場中，導體球接地后，將完全帶上與點電荷極性相反的電荷，并將不均勻的分布在導體球表面.其中，靠近點電荷的部分電荷面密度大一些，遠離點電荷的部分電荷面密度小一些.從靜電平衡的角度講，在這樣一個正的點電荷的電場中，其電勢為正.所以，導體球接地后，電子將會由低電勢(大地)流向高電勢，故導體球會帶上負電.

2.4 點電荷電場中不接地導體球的電荷分布

當導體球不接地時，根據(jù)導體的靜電平衡條件，導體仍然是等勢體.與上述接地情形類似，先假定在導體球內(nèi)有一個假想電荷Q′，在Q′和Q的作用下使導體成為零等勢體.則仍然可有

但導體未接地，它當然也不是零等勢體.這時，我們可以再在導體球的中心處假想有一個點電荷Q″，在Q″、Q′和Q的共同作用下，使導體球成為滿足條件的非零等勢體,如圖6所示.

圖6

對于整個導體球而言，由靜電場的高斯定理，它的總電通量應該為零，故有

于是，導體球外空間任意一點P的電勢為

(7)

導體球的電荷面密度

(8)

如果把接地與不接地兩種情形進行對比，還可發(fā)現(xiàn)：從不接地到接地，將有電子從大地流向?qū)w球，流上來的電量要不僅僅中和掉原來左側(cè)的正電荷，還要使其帶上與之相反的負電；同時，還要補充右側(cè)負電荷量，使其在σ軸上有一個整體的下移.但觀察(6)式和(8)式及圖5(a)和圖7(a)很容易發(fā)現(xiàn)，接地與不接地，σ關(guān)于θ的變化函數(shù)僅僅差一個常數(shù)項；接地時僅僅是不接地時σ的一個上移.所以，不論接地與否，電荷面密度關(guān)于角度的變化走向是相同的.如果在導體球的兩端分別連接一個驗電器，則由以上分析可判斷，當導體未接地時，左右兩邊驗電器箔片都會張開；接地后，左邊箔片將會先閉合再張開，而右邊箔片張角將會在原來的基礎上變大.

參考文獻

1 呂長榮，劉曉軍，高紅. 電磁學. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2000. 48

2 韓素紅. 關(guān)于孤立導體表面電荷分布的討論. 大同職業(yè)技術(shù)學院學報，2004(4)：31

3 李敬. 導體表面的電荷分布. 云南大學學報(自然科學版)，1998，20(31)

4 郭碩鴻. 電動力學. 北京：高等教育出版社， 1997. 61