一類高階的差分方程解的穩(wěn)定性

葛琦，侯成敏

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

一類高階的差分方程解的穩(wěn)定性

葛琦，侯成敏

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

研究了非線性差分方程其中k∈ ｛2，3，…｝，fg是［0，＋ ∞）上連續(xù)非負遞增函數(shù).證明了方程在初始條件（x0，x1，…，xk－1）∈Rk＋下的解是穩(wěn)定的，并且當(dāng)k為偶數(shù)時，收斂到（a0，a1，…，ak－1）的解的初始點的集合是形如（y0，y1，…，yk－1）∈ ［a0，＋ ∞）× ［a1，＋ ∞）× … ×［ak－1，＋ ∞）的點的集合，其中ai≥0（i＝0，1，…，k－1），同時存在唯一連續(xù)增函數(shù)hi∶［ai，＋∞）→ ［ai－1，＋ ∞），使hi（yi）＝y(tǒng)i－1（i＝1，3，…，k－1）.

差分方程；收斂性；穩(wěn)定性

0 引言

本文受文獻［1］和［2］的啟發(fā)，研究了非線性差分方程

其中k∈｛2，3，…｝，fg是［0，＋∞）上連續(xù)非負遞增函數(shù)．根據(jù)差分方程的實際意義，我們假設(shè)本文中的初始條件是非負的，對應(yīng)初始條件的解稱為源于Rk＋的，其中R＋表示區(qū)間［0，＋∞）．本文記Z＋＝｛1，2，…｝，Z＊＝ ｛0，1，2，…｝．

1 主要結(jié)果

定理1 令f是［0，＋∞）上連續(xù)非負遞增函數(shù)，且存在常數(shù)ξ，c，L＞0，使得f（x）≤cxL，x∈［0，ξ）．現(xiàn)設(shè)和為差分方程

源于Rk＋的2個解，則如果對任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得成立，那么有

以下分2種情況討論：

情況1 k為偶數(shù)．i）考慮xnk＋j→0，xnk＋j＋1→aj＋1的情形，其中aj＋1＞0（j＝0，2，…，k－2）．先考慮有限項．給定ε＞0，且，選擇充分大的N∈Z＊，使得對任意的n≥N有

現(xiàn)假設(shè)（ynk，ynk＋1，ynk＋2，…，ynk＋k－1）→ （b0，b1，b2…，bk－1）．由于a3＞0，所以有b3＞0．通過歸納可以證明

由（7）和（8）式及a1－2ε＜ykN＋1，得yk（N＋m）＋1≥ykN＋1·exp｛－c2εL｝≥ （a1－2ε）（1－c2εL），由此推得（5）式成立．綜上所述可知成立．同理可證明n≥N）成立．

ii）考慮xnk＋j→aj，xnk＋j＋1→0的情形，其中aj＞0，j＝0，2，…，k－2．由于證明過程與i）類似，故省略．

iii）考慮xnk＋i→0的情形，其中i＝0，1，…，k－1．這里只證明存在N∈Z＊，使得n＞N，其他情況類似．對于任意給定的ε＞0，取充分大的N∈Z＊，使xkN＜ε，因為x｛｝nk關(guān)于n遞減，所以對于所有n≥N有0＜xkn＜ε．要想證明，只需證明－2ε＜ykn＜2ε（n＞N），即只需證ykn＜2ε（n＞N）．與i）中討論類似，可知又由于y｛｝nk關(guān)于n遞減，所以對任意的n＞N有ykn＜ykN＜ε＋xkN＜2ε．因此成立．

iv）證明當(dāng)k是偶數(shù)時，有且只有以上3種情況，其他的情況均不合理．

若xkn＋k－1→ak－1＞0，則由方程（2）必有，下證

事實上，由于xnk＋（k－2）→0，所以對任意充分小的ε＞0，存在充分大的N∈Z＊，使得當(dāng)n≥N時有xnk＋（k－2）＜ε.類似于（6）和（7）式的證明可得

當(dāng)ε充分小時，必有因此若對所有的N∈Z＋，有xkN＋k－3＞0，則

n是差分方程（2）若存在N∈Z＋，使xkN＋k－3＝0，則選定y｛｝的1個解，使得yk－3＞0，則ykN＋k－3＞0.由前面討論知，若則對充分小的ε有，所以對任意的n＞N有ykn＋k－3＜ykN＋k－3＜ε＋xkN＋k－3＜2ε，即類似 于 （10）和 （11）式 的 證 明 得即產(chǎn) 生 矛 盾 ，因 此成立.綜上所述，當(dāng)k為偶數(shù)時方程（3）的解是穩(wěn)定的.

情況2k為奇數(shù).假設(shè)xnk＋i→ai（n→ ∞），其中ai≥0，i＝0，1，…，k－1.當(dāng)ak－1≠0時，類似于情況1有：ak－2＝0，ak－3≠0，ak－4＝0，…，a2≠0，a1＝0，a0≠0.然而由有產(chǎn)生矛盾 當(dāng)a＝0，a≠0時，用情況 中的證明方法得到a≠0，產(chǎn)生矛盾因此有a0＝a1＝a2＝…＝ak－1＝0.此情況類似于情況1中的iii），易證結(jié)論成立，因此當(dāng)k為奇數(shù)時方程（3）的解也是穩(wěn)定的.

由定理1可知方程（2）的所有解是收斂的，它們或者收斂到某點（a0，0，…，ak－2，0），或者收斂到某點（0，a1，…，0，ak－1）.討論收斂域.當(dāng)k為奇數(shù)時有xnk＋i→0，其中i＝0，1，…，k－1，所以方程（2）的源于Rk＋的解的收斂域也是Rk＋，因此我們只需考慮k為偶數(shù)時的情形.

定理2 考慮方程（1），其中k為偶數(shù)，f和g是［0，＋∞）上連續(xù)函數(shù)，g＞0，fg在［0，＋∞）上遞增，f非負且對任意a≥0滿足條件

則有：①對于使方程（1）收斂于（a0，0，…，ak－2，0）的解的初始點的集合是形如｛（y0，y1，…，且對每個yj（j＝1，3，…，k－1）存在唯一連續(xù)增函數(shù)使其中aj－1≥0｝的集合.② 對于使方程（1）收斂于（0，a1，…，0，ak－1）的解的初始點的集合是形如｛（y0，y1，…，且對每個yj（j＝1，3，…，k－1）存在唯一連續(xù)增函數(shù)hj∶［aj，＋∞）→ ［0，＋∞），使hj（yj）＝y(tǒng)j－1，其中aj－1≥0｝的集合.為證明定理2，我們先建立一些引理.

引理1［1］若f是［0，＋∞）上非負連續(xù)遞增函數(shù)，且對于a＝0滿足（13）式，則對任意ζ＞0，存在ξ＞0，使得對任意x∈ ［0，ξ］，存在常數(shù)c＞0有cxL2（0）＋ζ≤f（x）≤cxL2（0）－ζ.

引理2 設(shè)序列｛xn｝滿足定理2的條件.記且j＝1，3，…，k－1），則

引理3 設(shè)f滿足定理2的條件，y＝x＞0且y＝rx＞0（r＞1，j＝1，3，…，k－1）.

引理4 設(shè)f滿足定理2的條件，yj＝rjxj＞0且0＜yj－1＜xj－1（rj＞1，j＝1，3，…，k－1）.

證明 引理1—4的證明與文獻［2］中相應(yīng)引理的證明類似，故證明省略.

定理2的證明 當(dāng)方程（1）的解是平凡解時，定理顯然成立.現(xiàn)討論方程（1）的解是非平凡的情況.由引理1及f是連續(xù)的，且g＞0，知fg滿足定理1中f的條件.由于證明定理1的開始有：

或者

因此設(shè)（h（x），x，h（x），x，…，h（x），x）為收斂到（0，a，…，0，a）的解的初始值的集合，設(shè)是收斂到（a0，0，…，ak－2，0）的解的初始值的集合.分4步來討論：

i）首先證明存在性.先考慮解收斂到（a0，0，…，ak－2，0）（ai≥0，i＝0，2，…，k－2）的情況，即對每個xj＞0（j＝1，3，…，k－1），存在xi≥ai（i＝0，2，…，k－2）使得（xkn，xkn＋1，…，xkn＋k－2，xkn＋k－1）→（a0，0，…，ak－2，0）成立.顯然（0，xkn＋1，0，xkn＋3，…，0，xkn＋k－1）→ （0，x1，0，x3，…，0，xk－1）.由此斷言對任意δ＞0，能選出足夠大的x（δ）i（i＝0，2，…，k－2），使得以（x（δ）0，x1，x（δ）2，x3，…，x（δ）k－2，xk－1）為初始條件經(jīng)N步遞推得到x（δ）kN＋i＞2ai（i＝0，2，…，k－2）和xkN＋j＜δ（j＝1，3，…，k－1）.事實上，x（δ）kN＋i＝2，…，k－2），取x（δ）i≥max｛2ai，1｝［1＋f（xi＋1）g（xi＋1）］N（i＝0，2，…，k－2），使x（δ）kN＋i＞max｛2ai，1｝（i＝0，2，…，k－2）.選取足夠大的N，使

為了簡便，稱初始值為（x0，x1，…，xk－1）的序列（xkn，xkn＋1，…，xkn＋k－1）的收斂性為初始值（x0，x1，…，xk－1）的收斂性.我們先考慮初始值（x（δ）kN，xkN＋1，x（δ）kN＋2，xkN＋3，…，x（δ）kN＋k－2，xkN＋k－1）和（x（δ）kN，0，x（δ）kN＋2，0，…，x（δ）kN＋k－2，0）的收斂性.顯然（x（δ）0，x1，x（δ）2，x3，…，x（δ）k－2，xk－1）和（x（δ）kN，xkN＋1，x（δ）kN＋2，xkN＋3，…，x（δ）kN＋k－2，xkN＋k－1）收斂到同1個點.由于（x（δ）kN，0，x（δ）kN＋2，0，…，x（δ）kN＋k－2，0）是Rk＋上的1個固定點，且x（δ）kN＋i＞2ai（i＝0，2，…，k－2），則由定理1，選取充分小的δ＞0，有，x1，x（δ）2，x3，…，x（δ）k－2，xk－1）和（x（δ）kN，xkN＋1，必收斂到1個點，記為（b0，0，b2，0，…，bk－2，0），且bi＞ai，（i＝0，2，…，k－2）.固定xj≥0（j＝1，3，…，k－1），設(shè)x′i＝inf｛xi≥0∶（x0，x1，…，xk－2，xk－1）→ （c0，0，…，ck－2，0）且cj≥aj（j＝0，2，…，k－2）｝（i＝0，2，…，k－2）.由于（x（δ）0，x1，…，x（δ）k－2，xk－1）→（b0，0，…，bk－2，0），且bi＞ai，（i＝0，2，…，k－2），所以x′i（i＝0，2，…，k－2）必存在.分兩種情況討論：

① 假設(shè)（x′0，x1，x′2，x3，…，x′k－2，xk－1）→ （b′0，0，b′2，…，b′k－2，0），且b′i≥ai（i＝0，2，…，k－2）.若b′i＝ai（i＝0，2，…，k－2），則存在性成立；若 ?i0∈ ｛0，2，…，k－2｝使b′i0＞ai0，不失一般性，假設(shè)i0＝0，則由定理1，可選取充分小的δ＞0，使（x′0－δ，x1，x′2，x3，…x′k－2，xk－1）→ （b″0，0，b″2，0，…，b″k－2，0）且b″0＞a0，b″i≥ai（i＝2，…，k－2），那么由上可知inf｛x0≥0∶（x0，x1，…，xk－2，xk－1）→ （c0，0，…，ck－2，0）且cj≥aj（j＝0，2，…，k－2）｝≤x′0－δ，產(chǎn)生矛盾，所以b′0＝a0.

② 假設(shè)（x′0，x1，x′2，x3，…，x′k－2，xk－1）→ （b′0，0，b′2，0，…，b′k－2，0），且 ?i0∈ ｛0，2，…，k－2｝使b′i0＜ai0，b′j≥aj（j∈ ｛0，2，…，k－2｝，j≠i0）.不妨設(shè)i0＝0，或者（x′0，x1，x′2，x3，…，x′k－2，xk－1）→ （0，b′1，0，b′3，…，0，b′k－1），且b′j≥0（j＝1，3，…，k－1）.則由定理1，可選取充分小的δ＞0，使得或者（x′＋δ0，x1，x′2，x3，…，x′k－2，xk－1）→ （b″0，0，b″2，0，…，b″k－2，0），且b″0＜a0；或者（x′0＋δ，x1，x′2＋δ，x3，…，x′k－2＋δ，xk－1）→ （0，b″1，0，b″3，…，0，b″k－1），且b″j＞0（j＝1，3，…，k－1）.這意味著inf｛x0≥0∶（x0，x1，…，xk－2，xk－1）→ （c0，0，…，ck－2，0）且cj≥aj（j＝0，2，…，k－2）｝≥x′0＋δ，所以產(chǎn)生矛盾.綜上存在性成立.對于以（0，a1，…，0，ak－1）（aj≥0，j＝1，3，…，k－1）為收斂點的情況，證明類似.

ii）ˉhj（yj）＝y(tǒng)j－1，hj（yj）＝y(tǒng)j－1（j＝1，3，…，k－1）均為函數(shù).先考慮解收斂到（a0，0，…，ak－2，0）（ai≥0，i＝0，2，…，k－2）的情況.若xj＝0（j＝1，3，…，k－1），為了使（x0，x1，…，xk－2，xk－1）→（a0，0，…，ak－2，0），必有xi＝ai（i＝0，2，…，k－2）.因此假設(shè)xj＞0（j＝1，3，…，k－1），xi＞0（i＝0，2，…，k－2），顯然為使（x0，x1，…，xk－2，xk－1）→ （a0，0，…，ak－2，0）必有xi＞ai（i＝0，2，…，k－2）.所以只需證明：對于給定的2個初始條件（x0，x1，…，xk－2，xk－1）和（y0，y1，…，yk－2，yk－1），若yj＝xj，yj－1≥xj－1，且和則yj－1＝xj－1（j＝1，3，…，k－1）.設(shè)yj－1≥rj－1xj－1（rj－1＞1，j＝1，3，…，k－1）.由引理2有但由引理3知，當(dāng)N充分大，n≥N時，又有，產(chǎn)生矛盾，因此yj－1＝xj－1（j＝1，3，…，k－1），并說明為1個函數(shù).

對于以（0，a1，…，0，ak－1）（aj≥0，j＝1，3，…，k－1）為收斂點的情況，可類似地證明hj（yj）＝y(tǒng)j－1（j＝1，3，…，k－1）為1個函數(shù)，但此時需對引理2做些改動：記a－1＝ak－1.若且則

iii）（yj）＝y(tǒng)j－1，hj（yj）＝y(tǒng)j－1（j＝1，3，…，k－1）均為單調(diào)遞增函數(shù).先考慮解收斂到（a0，0，…，ak－2，0）（aj－1＞0，j＝1，3，…，k－1）的情況.由方程（1）顯然有（0）＝aj－1，且對于每個xj＞0有ˉhj（xj）＞aj－1（j＝1，3，…，k－1），因此只需考慮初始點（x0，x1，…，xk－2，xk－1）當(dāng)xi＞0（i＝0，1，2，…，k－1）的情況.先假設(shè)（xj－1，xj）和（yj－1，yj）是曲線ˉhj上的點，且0＜xj＜yj和0＜yj－1＜xj－1（j＝1，3，…，k－1），所以 ?rj＞1，使yj≥rjxj（j＝1，3，…，k－1）.由引理2知，對于充分大的N，當(dāng)n≥N時，有又 由 引 理 4 有，產(chǎn)生矛盾，因此3，…，k－1）為單調(diào)遞增函數(shù).對于以（0，a1，…，0，ak－1）（aj≥0，j＝1，3，…，k－1）為收斂點時，同理可證明hj（yj）＝y(tǒng)j－1（j＝1，3，…，k－1）為單調(diào)遞增函數(shù).

推論1 考慮方程（2），其中k為偶數(shù)，f是［0，＋∞）上非負連續(xù)遞增函數(shù)，若對任意a≥0，f滿足條件

則有：①對于使方程（2）收斂于（a0，0，…，ak－2，0）的解的初始點的集合是形如｛（y0，y1，…，且對每個yj（j＝1，3，…，k－1）存在唯一連續(xù)增函數(shù)使其中aj－1≥0｝的集合.② 對于使方程（2）收斂于（0，a1，…，0，ak－1）的解的初始點的集合是形如｛（y0，y1，…，且對每個yj（j＝1，3，…，k－1）存在唯一連續(xù)增函數(shù)hj∶［aj，＋∞）→ ［0，＋∞），使hj（yj）＝y(tǒng)j－1，其中aj－1≥0｝的集合.

注［1］：如果f∈C1（［0，＋∞）），且滿足f在［0，＋∞）遞增則對所有a≥0，（14）和（15）式成立.

文獻［2］中列舉的適合定理條件的f和g的形式同樣適合本文定理2和推論1.此外，當(dāng)α＞0，β＞0時，形如f（x）＝αxβ，g（x）＝c＋ax（a＞1，－1＜c＜＋∞）或g（x）＝c＋arctanx（0＜c＜＋∞）的函數(shù)適合定理2中f和g的條件，進而f和g的乘積也適合推論1中f的條件.

注［2］：當(dāng)k＝2時，方程（2）為文獻［1］中的方程，因此本文的結(jié)果包含了文獻［1］中的結(jié)果.

［1］Steven Kalikow，Peter MKnopf，Ying Sue Huang，Gabor Nyerges.Convergence Properties in the Nonhyperbolic Casexn＋1＝xn－1／［1＋f（xn）］［J］.J Math Anal Appl，2007，326：456－467.

［2］Hou Cheng－min.Convergent Properties of Solutions of Higher Order Difference Equationsxn＋1＝xn－k1＋f（xn）g（xn）［J］.延邊大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，37（1）：30－38.

［3］Kent C M.Convergence of Solutions in a Nonhyperbolic Case［J］.Nonlinear Anal，2001，47：4651－4665.

［4］Kulenovi′c MR S，Ladas G.Dynamics of Second Order Rational Difference Equations［M］.Boca Raton：Chapman＆ Hall／CRC，2002.

Stability Properties of a Class of Higher Order Difference Equations

GE Qi，HOU Cheng－min
（DepartmentofMathematics，Collegeofscience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

We studied the stability of the solution of the nonlinear difference equationsxn＝wherek∈ ｛2，3，…｝，fgis a continuous nonnegative increasing functions on［0，＋ ∞）.Whenkis even，we sho wthat the set of initial values such that corresponding solutions of converge to（a0，a1，…，ak－1）is the set of points of the form （y0，y1，…，yk－1）∈ ［a0，＋∞）×［a1，＋ ∞）× … × ［ak－1，＋ ∞）（ai≥0，i＝0，1，…，k－1），moreover exist some unique continuous increasing functionshi∶［ai，＋ ∞）→ ［ai－1，＋ ∞）such thathi（yi）＝y(tǒng)i－1（i＝1，3，…，k－1）.

difference equations；nonlinear；stability

O175.8

A

1004－4353（2011）03－0201－07

2011 -04 -13

葛琦（1973—），女，副教授，研究方向為泛函分析.

國家自然科學(xué)基金資助項目（11161049）；延邊大學(xué)科研項目（延大科合字［2010］第004號）