有限容量Geom/Geom/1/MWV離散時(shí)間排隊(duì)

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(1.燕山大學(xué) 里仁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,河北 秦皇島 066004)

0 引言

與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展相適應(yīng),離散時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng)的研究得到了廣泛的重視,田乃碩等[1]的專著比較系統(tǒng)的介紹了離散時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng)．由于實(shí)際條件的限制,有限容量系統(tǒng)的研究具有現(xiàn)實(shí)意義,田乃碩[1]等和杜欣欣[2]等研究了Geo/Geo/1/N型離散時(shí)間單重工作休假排隊(duì),我們討論的是有限容量Geom/Geom/1/N多重工作休假離散時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng),系統(tǒng)容量為N,當(dāng)系統(tǒng)中顧客數(shù)為N時(shí),新到達(dá)顧客不進(jìn)入系統(tǒng),自動(dòng)消失．圖1為模型示意圖．

1 擬生滅鏈模型的建立

圖1 模型示意圖

(a)系統(tǒng)容量為N,當(dāng)系統(tǒng)中顧客數(shù)為N時(shí),新到達(dá)的顧客消失．

(b)潛在的顧客到達(dá)發(fā)生在時(shí)隙末端(n-,n)處,到達(dá)間隔獨(dú)立同分布:A～Geom(p)

(c)正規(guī)忙期,服務(wù)開始和結(jié)束均發(fā)生在時(shí)隙分點(diǎn)t=n,顧客服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立同分布:Sb～Geom(μb)

(d)正規(guī)忙期某個(gè)服務(wù)結(jié)束后,若系統(tǒng)內(nèi)無顧客,則進(jìn)入工作休假,開始和結(jié)束均發(fā)生在時(shí)隙分點(diǎn)t=n,工作休假時(shí)長(zhǎng):V～Geom(θ)

工作休假期間,每個(gè)服務(wù)開始和結(jié)束亦發(fā)生在時(shí)隙分點(diǎn)t=n,服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立同分布Sv～Geom(μv)

(e)當(dāng)一個(gè)工作休假結(jié)束后,若系統(tǒng)中無顧客,進(jìn)入下一個(gè)獨(dú)立同分布的工作休假;若有顧客,服務(wù)率升至μb,進(jìn)入正規(guī)忙期．

(f)顧客接受完服務(wù)立即離開系統(tǒng),即顧客離開發(fā)生在時(shí)刻t=n,服務(wù)機(jī)制為先進(jìn)先服務(wù)(FIFO)．

(g)到達(dá)間隔A,休假時(shí)長(zhǎng)V,服務(wù)時(shí)間Sb,Sv,相互獨(dú)立．

2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率陣

Ω={(k,j)|1≤k≤N,j=0,1}∪{(0,0)}.

對(duì)狀態(tài)按字典順序進(jìn)行排列,可得其轉(zhuǎn)移概率陣

(1)

其中

3 穩(wěn)態(tài)下聯(lián)合分布

定理1 (L+,J)的聯(lián)合概率分布為

(2)

其中

(3)

(4)

當(dāng)2≤k≤N-1時(shí),由πk=πk-1A0+πkA1+πk+1A2,可得

(5)

由πN=πN-1A0+πNB0,可得

(6)

由(6)第一式,可得

(7)

由(5)第一式,可得二階逆向遞推公式,即二階齊次差分方程

(8)

解此差分方程可得通項(xiàng)．再由(4)第一式可得π00．

由式(3)可得π11,把(4)兩式相加,整理得

(9)

可得π21,把(5)兩式相加,整理得3≤k≤N時(shí)的遞推公式

(10)

由式(9)、式(10)可得πk1,3≤k≤N.

4 穩(wěn)態(tài)指標(biāo)

定理2 消失概率

(11)

由穩(wěn)態(tài)分布,易得

定理3 穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率,即狀態(tài)變量J的邊緣分布

(12)

其中

定理4 穩(wěn)態(tài)下隊(duì)長(zhǎng)L+具有母函數(shù)(PGF)

(13)

其中

由式(13)易得穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中平均隊(duì)長(zhǎng)

(14)

這里f′(z)=[(z-zN+1)(1-z)-1]′=[1-(N+1)zN+NzN+1](1-z)-2．

用H0表示工作休假期間系統(tǒng)中顧客數(shù)小于N且到達(dá)的顧客需要等待的概率,H1表示正規(guī)忙期系統(tǒng)中顧客數(shù)小于N且到達(dá)的顧客需要等待的概率,有

其中

應(yīng)用文[1]中引理,并仿照其中的定理的證明過程,可得如下結(jié)果：

定理5 穩(wěn)態(tài)下某顧客的等待時(shí)間W的PGF

(15)

其中

5 總結(jié)

通過對(duì)有限容量Geom/Geom/1多重工作休假離散時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng)的研究,我們得到了該模型的顧客消失概率、隊(duì)長(zhǎng)的PGF和平均隊(duì)長(zhǎng)、顧客等待時(shí)間的PGF等穩(wěn)態(tài)指標(biāo)．今后可繼續(xù)對(duì)由本系統(tǒng)得到的結(jié)果進(jìn)行隨機(jī)分解、忙期分析,還可添加啟動(dòng)期、關(guān)閉期、N-策略等排隊(duì)策略,使模型能更好的模擬現(xiàn)實(shí)復(fù)雜系統(tǒng),為決策者們提供幫助．

[1]田乃碩,徐秀麗,馬占友.離散時(shí)間排隊(duì)論[M].北京:科學(xué)出版社,2008:206-211.

[2]杜欣欣,趙國(guó)會(huì),田乃碩,等.Geo/Geo/1/N型離散時(shí)間單重工作休假排隊(duì)[J].運(yùn)籌與管理,2008,17(3):58-63.

[3]Hunter J.Mathematical Techniques of Applied Probability[M].New York： Academic Press,1983.