一類分?jǐn)?shù)階多點邊值共振問題解的存在性

,

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221008)

0 引言

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣.近些年來,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)及分?jǐn)?shù)階微分方程在科學(xué)、工程和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域得到了重要應(yīng)用,例如已成功應(yīng)用于粘彈性材料、信號處理、控制、生物等領(lǐng)域[1].值得注意的是,分?jǐn)?shù)階微分方程的理論研究剛起步,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題作為分?jǐn)?shù)階微分方程理論研究的重要分支之一,近年來得到研究者們的重視,也獲得了不少研究成果,如文獻[2-15].在文[5]中,作者研究了如下邊值問題

其中n>2,n-1<α≤n,其核是一維的,運用Mawhin連續(xù)性定理得出解的存在性,本文受此啟發(fā)研究分?jǐn)?shù)階多點邊值問題(其核是二維的)

(1)

(2)

其中Γ(·)是Gamma函數(shù),為了證明BVP(1)(2)有解及計算的方便,使用下面的假設(shè):

(C2): Λ=Λ1Λ4-Λ2Λ3≠0.

1 預(yù)備知識

首先介紹一些關(guān)于迭合度的基本理論:

設(shè)Y,Z是實Banach空間,L:domL?Y→Z是一個指標(biāo)為零的Fredholm算子,P:Y→Y,Q:Z→Z是連續(xù)投影算子且滿足

ImP=KerL,KerQ=ImL,Y=KerL?KerP,Z=ImL?ImQ.

定義1[2]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

其中α>0,Γ(·)為Gamma函數(shù).

定義2[2]連續(xù)函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中α>0,Γ(·)為Gamma函數(shù),n=[α]+1.

其中N為大于或等于α的最小整數(shù).

(3)

其中x∈[0,1],ci∈R,I=1,2,…,N-1,其范數(shù)為

易證得Cμ[0,1]是Banach空間.

引理2[5]f?Cμ[0,1]是連續(xù)緊當(dāng)且僅當(dāng)f是一致有界且等度連續(xù).

這里一致有界是存在M>0,使得對任意u∈f有

等度連續(xù)是只對?ε>0,?δ>0使得

|u(t1)-u(t2)|<ε,(?t1,t2∈[0,1],|t1-t2|<δ,?u∈f)，

且

定理1[6](Mawhin連續(xù)性定理) 設(shè)Ω?Y是一個有界開集,L是一個指標(biāo)為零的Fredholm算子,N是L-緊的,如果下面條件成立:

(i)Lx≠λNx.?(x,λ)∈[domLKerL∩?Ω]×[0,1];

(ii)Nx?ImL,?x∈KerL∩?Ω;

(iii)deg(JQN|KerL,KerL∩Ω,0(≠0,

2 主要結(jié)果

則邊值問題(1)、(2)就轉(zhuǎn)化為Lu=Nu.

引理3 假設(shè)(C1)(C2)成立,則L:domL?Y→Z是一個指標(biāo)為零的Fredholm算子,投影算子Q:Z→Z定義為

(4)

其中

線性算子Kp:ImL→domL∩KerP記為

證明顯然有KerL={x∈domL:u=atα-1+btα-3.a,b∈R,t∈[0,1]}?R2現(xiàn)在來證明

ImL={y∈Z:Q1y=Q2y=0}

(5)

方程

(6)

有解x(t)滿足(2)的充要條件是

Q1y=Q2y=0

(7)

事實上,若解x(t)滿足(2),則從(6)式有

根據(jù)條件(C1),得到

Q1y=Q2y=0.

另一方面,如果(7)式成立,由(2)知,

其中a,b是任意常數(shù),則易知u(t)是方程(6)且滿足(2)式的解,從而(5)式成立.

令

因此

Qy(t)=(T1y(t))tα-1+(T2y(t))tα-3,

易知dimImQ=2

又有

依次可求得

T1(T2ytα-3)=0,T2(T1ytα-1)=0,T2((T2y)tα-3)=T2y,

因此

Q2y=Q((T1y)tα-1+(T2y)tα-3)=Qy,

所以Q是投影算子.

下證KerQ=ImL,如果y∈KerQ,由Qy=0有

而又(C2)成立,故Q1y=Q2y=0,所以y∈ImL.若y∈ImL,由Q1y=Q2y=0,易知Qy=0,所以y∈KerQ,故KerQ=ImL.

對?y∈Z,有y=(y-Qy)+Qy,則有y-Qy∈KerQ=ImL,Qy∈ImQ,所以Z=ImL+ImQ,下證ImL∩ImQ={0},

令y=atα-1+btα-3,且y∈ImL∩ImQ知,y∈ImL,故有Q1y=Q2y=0

易求得

又(C2)成立,所以a=b=0,即ImL∩ImQ={0},故Z=ImL?ImQ且dimKerL=dimImQ=co dimImL=2

故L是指標(biāo)為零的Fredholm算子.

(8)

事實上,?y∈ImL有

而當(dāng)u∈domL∩KerP,我們有

由于u∈domL∩KerP,由(2)及Pu=0,因此得到

(KPL)u(t)=u(t),

因此,由(8)我們有

所以

QNx(t)=(T1Nx)tα-1+(T2Nx)tα-3,

且

由引理2 類似的證明方法,我們得到如下引理.

引理4 對任意e∈L1[0,1],Kp(I-Q):Y→Y是全連續(xù)的.

定理2 如果條件(C1)(C2)成立,假設(shè)滿足下面條件:

1)存在函數(shù)a(t),b(t),c(t),d(t),f(t),r(t)∈L1[0,1]及常數(shù)θ∈[0,1)對?(x,y,z,w)∈R4,t∈[0,1]有

|f(t,x,y,z,w)|≤a(t)|x|+b(t)|y|+c(t)|z|+d(t)|w|+f(t)|x|θ+r(t)

(9)

Q1Nx(t)≠0或Q2Nx(t)≠0.

3)存在實數(shù)B>0,a,b∈R,使得a2+b2>B,下面條件至少有一個成立

aT1N(atα-1+btα-3)+bT2N(atα-1+btα-3)>0

(10)

aT1N(atα-1+btα-3)+bT2N(atα-1+btα-3)<0

(11)

證明取Ω1={x∈domLKerL:Lx=λNx,λ∈[0,1]},下證Ω1是有界的.

(12)

對?x∈Ω1有(I-P)x∈domL∩KerP,LPx=0,根據(jù)引理3,我們有

(13)

由(12)(13)知

‖x‖Cα-1≤‖(I-P)x‖Cα-1+‖Px‖Cα-1≤

(14)

記

故

‖x‖Cα-1≤m‖Nx‖1+nA.

如果(9)式成立,根據(jù)(14)式我們有

又因為

故

因為θ∈[0,1),由以上所得,故存在A1,A2,A3,A4>0,使得

因此

所以Ω1是有界的.取Ω2={x∈KerL:Nx∈ImL},下證Ω2是有界的.對任意的x∈Ω2,x∈KerL={x∈domL:x=atα-1+btα-3,a,b∈R,t∈[0,1]}以及QNx(t)=0,即

T1N(atα-1+btα-3)=T2N(atα-1+btα-3)=0,

由條件(3)得,a2+b2≤B,因此Ω2是有界的.

對于?a,b∈R,t∈[0,1],定義線性同構(gòu)J:KerL→ImQ為

J(atα-1+btα-3)=atα-1+btα-3,

若T1N(atα-1+btα-3)+T2N(atα-1+btα-3)>0成立.

取Ω3={x∈KerL:λJx+(1-λ)QNx=0,λ∈[0,1]}.

下證Ω3是有界的.

對任意x=atα-1+btα-3∈Ω3,因為λJx+(1-λ)QNx=0.

λ(atα-1+btα-3)=-(1-λ)[(T1N(atα-1+btα-3))tα-1+(T2N(atα-1+btα-3))tα-3]

如果λ=1,那么a=b=0,否則,如果a2+b2>B,由(10)知

λ(a2+b2)=-(1-λ)[aT1N(atα-1+btα-3)+bT2N(atα-1+btα-3)]<0,

故矛盾,由x∈Ω3,故

‖x‖Cα-1=‖atα-1+btα-3‖Cα-1=

所以Ω3是有界的,同理可證

aT1N(atα-1+btα-3)+bT2N(atα-1+btα-3)<0,

成立

Ω3={x∈KerL:-λJx+(1-λ)QNx=0,λ∈[0,1]},

是有界的.

通過以上的討論易知滿足定理1的(i)(ii),下證定理1的(iii)也是滿足的．

令H(x,λ)=±λJx+(1-λ)QNx,根據(jù)以上證明有H(x,λ)≠0,?x∈?Ω∩KerL因此,根據(jù)同倫不變性可得:

[1]Kilbas A,Srivastava A,Trujillo H M.J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Elsevier,Amsterdam,2006.

[2]Bai Z,Lu H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation[J].J Math Anal Appl,2005,311:495-505.

[3]Bai Z,Qiu T.Existence of positive solution for singular fractional differential equation[J].Appl Math Lett,2009,215:2761-2767.

[4]Su X.Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations[J].Appl Math Lett,2009,22:64-69.

[5]Zhang Y,Bai Z.Existence of positive solutions for s nonlinear fractional three-point boundary value problen at resonance[J].Appl Math Comput,2010,19:411-418.

[6]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京: 科學(xué)出版社,2007.

[7]Bai Z,Zhang Y.The existence of solutions for a factional multi-point boundary value problem [J].Appl Math Comput,2010,60:2364-2372.

[8]Agarwal R P,Lakshmikantham V,Nieto J J.On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty[J].Nonlinear Anal,2010,72: 2859-2862.

[9]Bai Z.On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem[J].Nonlinear Anal,2010,72: 916-924.

[10]Ahmad B.Existence results for multi-point nonlinear boundary value problems of fractional differential equations[J].Mem Differ Equ Math Phys,2010,49:83-94.

[11]Kosmatov N.A multi-point boundary value problem with two critical conditions[J].Nonlinear Anal,2006,65: 622-633.

[12]Lakshmikantham V,Leela S.Nagumo-type uniqueness result for fractional differential equations[J].Nonlinear Anal,2009,71: 2886-2889.

[13]Lakshmikantham V,Leela S A.Krasnoselskii-Krein-type uniqueness result for fractional differential equations[J].Nonlinear Anal,2009,71: 3421-3424.

[14]Lakshmikantham V,Vatsala A S.Theory of fractional differential inequalities and applications[J].Commun Appl Anal,2007,11: 395-402.

[15]Lakshmikantham V,Vatsala A S.Basic theory of fractional differential equations[J].Nonlinear Anal,2008,69:2677-2682.