定向井抽油桿柱空間形態(tài)的計算方法

狄勤豐，王文昌，胡以寶，姚建林

(1.上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海 200072;

2.上海大學上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室，上海 200072)

定向井抽油桿柱空間形態(tài)的計算方法

狄勤豐1，2，王文昌1，2，胡以寶1，2，姚建林1，2

(1.上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海 200072;

2.上海大學上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室，上海 200072)

以曲率半徑法描述井眼軌跡的空間形態(tài)，從空間桿單元入手，建立細長桿的有限元模型，并考慮井眼軌跡多支點的幾何約束，以迭代法循環(huán)求解每一結點抽油桿柱的空間載荷及變形，再結合細長桿的屈曲模型，分析比較不同位置安放扶正器后抽油桿柱空間構形的變化。結果表明，通過計算實際井眼軌跡中抽油桿柱的三維受力及變形屈曲狀態(tài)，能夠判斷扶正器安放的合理性，掌握桿柱的工作狀況，預測桿/管偏磨位置。

抽油桿柱;計算方法;空間形態(tài);徑向位移;間隙

具有空間柔性變形特征的抽油桿柱在井下受油管約束，其空間形態(tài)具有多支點幾何約束特征并隨井深變化。由空間形態(tài)判斷的桿-管接觸狀況決定著抽油桿柱扶正器的安放策略。目前的抽油桿柱數值模擬方法通過抽油桿柱與井眼軸線同軸的假設來簡化未知量［1-5］，因而無法得到抽油桿柱在井下的空間構形特征。筆者通過有限元法及結點迭代法求解抽油桿柱的結點空間特征，并通過結點載荷判斷抽油桿柱的失穩(wěn)狀態(tài)，進而以結點間的位移模式及屈曲模型求解抽油桿柱在結點間的變形狀態(tài)，從而比較全面、準確地描述抽油桿柱在井下的空間形態(tài)，確定桿-管的接觸狀況，分析合理的扶正器安裝方式，為抽油桿柱的防偏磨技術及桿柱動力學的進一步研究奠定基礎。

1 井眼軌跡描述

假設井眼測段內的井眼軌道在垂直剖面圖和水平投影圖上均為圓弧，根據曲率半徑法［6］，則有

式中，R和r分別為井眼螺線在垂直剖面圖和水平投影圖上的曲率半徑;α為井斜角，rad;φ為方位角，rad。在兩測點L1、L2之間插值，對于不同的井斜角和方位角特征，R和r的計算公式略有差異。

根據微分幾何的基本原理，對于任一空間曲線，有其一般參數表示式：r=r(s)，則其曲率k(s)和撓率τ(s)的計算公式為

2 有限單元法模型

2.1 模型建立

抽油桿柱的有限元控制方程［7］為

式中，K為抽油桿柱的整體剛度矩陣;U為桿柱整體位移矩陣;F為桿柱整體外力矩陣。

單元位移矩陣為

式中，ux，uy，uz為結點位移;θx，θy，θz為結點的扭轉角;下標i，j分別對應單元的兩端結點。

局部坐標系下細長桿單元剛度矩陣Ke［8］可表示為

單元結點桿端力矩陣為

式中，Fx，Fy，Fz為結點載荷;Mx，My，Mz為相應方向的扭矩。

通過結點迭代法和直接約束法［8］，以求解出的結點位移作為已知條件，在桿柱不失穩(wěn)時可以利用位移型函數推導出結點之間的徑向位移模型，

式中，x為距單元結點i端的距離，m;L為單元桿長，m。

2.2 屈曲模型

抽油桿柱在下部受到壓縮載荷可能發(fā)生失穩(wěn)，其在油管內的無因次屈曲方程［9-10］為

式中，θ為桿柱截面相對于油管的偏轉角，rad;q為桿柱單位長度質量，N/m;r1為油管截面圓心到桿柱圓心的距離，m;EI為桿柱剛度，N·m2。

利用龍格－庫塔及打靶法求解方程(10)，再進行變量代換，得到抽油桿柱在油管內的屈曲構形。

2.3 計算流程

計算流程如圖1所示。

圖1 迭代計算流程Fig.1 Iterative calculation flowchart

通過結點迭代法求解具有超長細比的抽油桿柱有限元方程(4)，利用直接約束法處理多支點的桿－管動態(tài)接觸問題，其求解過程建立在結點循環(huán)(外循環(huán))及穩(wěn)定循環(huán)(內循環(huán))的基礎上。在結點循環(huán)中包含了結點步長的離散過程。然后通過結點載荷判斷抽油桿柱的失穩(wěn)狀態(tài)，以龍格－庫塔法求解屈曲模型。其中c為計算次數，N0為結點總數。

3 實例計算

沙26-1井為一定向井，泵深為1.7422 km，造斜點在井深1.1 km左右，泵型為Φ38 mm一級泵，油管內徑為0.073 m。抽油桿柱組合為4級桿：Φ25 mm×96.53 m+Φ22 mm ×695.81 m+Φ19 mm×797.33+Φ16 mm×152.51 m。抽油機沖程為2.5 m，沖次為6次/min。井眼軌跡如圖2所示。

圖2 沙26-1井井眼軌跡Fig.2 Deviation well path of Sha26-1

抽油桿柱在液體中的浮重為38.29 kN，當頂端集中載荷取運動周期內最小值35.96 kN時，抽油桿柱的軸向位移及軸向載荷如圖3所示。

圖3 沙26-1井桿柱軸向位移、載荷分布Fig.3 Axial displacement and load distribution of sucker rod strings of well Sha26-1

從圖3中可以看出，抽油桿柱在承受最小載荷時，下部桿柱處于軸向受壓狀態(tài)，中和點位置在井深1.546 km處。最下端受軸向壓力3.177 kN。整體坐標系ˉx軸以重力方向為正。

抽油桿柱的y方向(高邊方向)位移和z方向位移見圖4。圖4中顯示了整個井段以每4 m為單元的計算結點的徑向位移曲線以及從桿/管接觸點開始添加扶正器后的抽油桿柱結點徑向位移曲線。從圖4中可以看出，桿柱在頂端集中載荷的狀態(tài)下，上部基本保持在井眼的軸線附近，但由于定向井井眼軌跡的特征，造斜點下方大部分桿柱(1.244～1.740 km)都與油管接觸。圖4中z方向位移很小。

圖4 沙26-1井桿柱結點位移Fig.4 Displacement of sucker rod strings nodal point of well Sha26-1

在實際作業(yè)中，為了減少抽油桿柱的磨損，常常在中和點以下桿柱以下密上疏的原則添加扶正器，但從圖4中可以發(fā)現，由于中和點位于接觸點下方，所以這一原則并不適合泵掛較深的定向井，這也是造成定向井抽油桿柱扶正器添加方法仍值得探討的原因之一。本文中主要針對抽油桿柱的三維空間形態(tài)進行計算，對這一問題不加探討，僅僅是為了比較扶正器添加造成的變化，對比了根據歐拉失穩(wěn)條件添加扶正器及假設在1.244～1.736 km的桿柱上每4 m添加一個扶正器的徑向位移。計算結果見桿柱局部(1.6～1.625 km)放大圖(圖5)。

從圖5中可以看出抽油桿柱軸線在油管中的變形，在不考慮扶正器作用時，抽油桿柱在重力作用下靠在油管內壁，由于下部受壓，在此井段內發(fā)生正弦屈曲。以歐拉失穩(wěn)條件為依據進行變間距扶正器添加時，能夠限制桿柱的徑向位移不與油管發(fā)生接觸。以等間距(4 m)添加扶正器時，桿柱在下部受壓段的徑向變形仍然會有局部點與油管發(fā)生接觸。所以，根據抽油桿柱的徑向位移變化能夠判斷扶正器添加方式是否合理。

圖5 沙26-1井桿柱局部三維放大圖和y方向位移曲線Fig.5 Detail view of partial sucker rod strings and displacement of y direction of well Sha26-1

4 結論

(1)以抽油桿柱在井眼中居中為假設條件的數值仿真模型無法求解桿柱在井眼中的空間構形。利用有限元法，選擇合理的迭代計算方式及邊界條件，可以較為精確及快速地計算抽油桿柱在井眼中的縱、橫變形狀態(tài)，克服了一直以來以居中為假設條件建立模型的局限性。

(2)非線性剛度矩陣的影響主要體現軸向參數與徑向參數的耦合作用，否則徑向位移計算結果將不受軸向載荷變化影響。在直井中適用的中和點下以下密上疏原則添加扶正器的方法在復雜結構定向井中不一定適用。

(3)抽油桿柱在井下的三維空間形態(tài)可以把握抽油桿柱在井下與油管的接觸位置及變形狀態(tài)，有效地判斷扶正器添加是否合理。

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Calculation method of sucker rod strings space configuration in directional well

DI Qin-feng1，2，WANG Wen-chang1，2，HU Yi-bao1，2，YAO Jian-lin1，2
(1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，China;2.Shanghai Key Laboratory of Mechanics in Energy and Environment Engineering，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

The wellbore trajectory was described by the radius of curvature method，and a finite element model of slender rod was established and solved by the curnode iterative method.The node force and deformation of sucker rod strings also could be obtained by this method with the consideration of multi-supports geometric constraints.Then the differences of spatial configuration of rod strings with various fixation patterns of centralizer were compared.The results show that the eccentric wear position of sucker rod strings and fixation patterns of centralizer could be determined by the solution of 3D configuration of sucker-rod strings in wellbore.

sucker rod strings;calculation method;space configuration;radial displacement;clearance

TE 21

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.03.014

1673-5005(2011)03-0072-04

2010－09－20

國家自然科學基金項目(50874071);上海市科委重點科技攻關計劃(071605102);上海市教委科研創(chuàng)新項目(08ZZ45);上海大學研究生創(chuàng)新基金項目

狄勤豐(1963－)，男(漢族)，江蘇溧陽人，教授，博士，博士生導師，主要從事石油工程和工程力學方面的研究。

(編輯 李志芬)