可測集的一個(gè)充分必要條件

鄭利凱

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028000)

1 引言

判斷Rn中的點(diǎn)集E是否可測是實(shí)變函數(shù)論學(xué)科研究的重要內(nèi)容，也是實(shí)變函數(shù)其它理論的基礎(chǔ)．本文以卡拉泰奧多里條件為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出Rn中的點(diǎn)集E是可測集的一個(gè)充要條件.

下面給出一些基本結(jié)論和引理．

定義1[1-2]設(shè)E為Rn中的點(diǎn)集,如果對于任一點(diǎn)集T?Rn,都有:m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CE)(卡拉泰奧多里條件),則稱E是L可測的或可測的,這時(shí)E的外測度m*E稱為E的L測度,記為mE，其中m*T為T的L外測度.

引理1[1-2]設(shè)A?B,則m*A≤m*B.

引理3[4]設(shè)S1,S2都可測,則S1∪S2也可測,并且當(dāng)S1∩S2=φ時(shí),對于任意集合T總有m*[T∩(S1∪S2)]=m*(T∩S1)+m*(T∩S2).

引理4[5]S可測的充要條件是CS可測.

引理6[6]區(qū)間I都是可測集合,且mI=|I|.

引理7 設(shè)E是Rn中可測集,則?ε>0,存在閉集F?E,使得m(E-F)<ε.

證明當(dāng)mE<時(shí),?ε>0,存在一列開區(qū)間{Ii},i=1,2,…,使得?E,且令則G為開集,G?E,且因此mG-mE<ε,從而m(G-E)<ε.

當(dāng)mE<時(shí),E總可以表示為可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測集的并集,即其中En=(Sn-Sn-1)∩E,Sn為球S(0,n),En為有界可測集.根據(jù)以上結(jié)論,對每個(gè)En,存在開集Gn,使得Gn?En且令則G為開集,G??因此,(引理5)<ε.

當(dāng)E可測時(shí),CE也可測,所以對任意ε>0,存在開集G,G?CE,且m(G-CE)<ε.又因?yàn)镚-CE=G∩E=E∩C(CG)=E-CG,令F=CG,則F是閉集且F?E,m(E-F)=m(G-CE)<ε.

2 Rn中可測集的一個(gè)充要條件

根據(jù)以上引理,可以得出Rn中的點(diǎn)集可測的一個(gè)充要條件.

定理1 點(diǎn)集E?Rn為可測集的充要條件是:?正數(shù)ε>0,?閉集F1和F2,使得F1?E,F2?CE,且m(Rn(F1∪F2))<ε.

充分性 若Rn中的點(diǎn)集E滿足:?正數(shù)ε>0,?閉集F1和F2,使得：F1?E,F2?CE,且m(Rn(F1∪F2))<ε.Rn(F1∪F2)=Rn∩C(F1∪F2)=Rn∩CF1∩CF2,由m(Rn(F1∪F2))<ε,可得:Rn∩CF1∩CF2<ε.任意點(diǎn)集T?Rn,因?yàn)镕1?E,所以CE?CF1,T∩CE?T∩CF1.根據(jù)引理1有m*(T∩CE)≤m*(T∩CF1).同理,m*(T∩E)≤m*(T∩CF2).m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*(T∩CF1)+m*(T∩CF2)=m*(T∩CF1∩(F2∪CF2))+m*(T∩CF2).因?yàn)镕2∩CF2=φ,根據(jù)引理3有:m*(T∩CF1∩(F2∪CF2))=m*(T∩CF1∩F2)+m*(T∩CF1∩CF2).所以m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*(T∩CF1∩F2)+m*(T∩CF1∩CF2)+m*(T∩CF2)≤m*(T∩F2)+ε+m*(T∩CF2)因?yàn)镕2∩CF2=φ,根據(jù)引理3有:m*(T∩F2)+m*(T∩CF2)=m*(T∩(F2∪CF2))=m*(T∩Rn)=m*T.所以有:m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*T+ε.由ε的任意性,可得m*(T∩E)+m*(T∩CE)≤m*T.又T=T∩Rn=T∩(E∪CE)=(T∩E)∪(T∩CE),由引理2可得:m*T=m*((T∩E)∪(T∩CE))≤m*(T∩E)+m*(T∩CE),所以有:m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CE).根據(jù)定義1可知:點(diǎn)集E是Rn中的可測集.

3 可測集的充分必要條件的應(yīng)用

下面應(yīng)用這個(gè)充分必要條件,證明Cantor集為可測集.

例1 證明Cantor集P為可測集.

證明因?yàn)镃antor集P是閉區(qū)間[0,1]去掉可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間得到的點(diǎn)集,所以由點(diǎn)集P的做法可知,Cantor集P是沒有內(nèi)點(diǎn)的完備集,疏朗的完備集.下面以定理1證明Cantor集P是可測集.

又因?yàn)镃antor集P是完備集,所以可以取閉集F1=P,則F1?P,m(P-F1)=0.因?yàn)镽n(F1∪F2)=(P∪CP)(F1∪F2)=(P(F1∪F2))∪(CP(F1∪F2))?(P-F1)∪(CP-F2),所以m(Rn(F1∪F2))≤m((P-F1)∪(CP-F2))≤m(P-F1)+m(CP-F2)<0+ε=ε.

根據(jù)定理1可知Cantor集P是可測集.

利用這個(gè)充要條件,類似例1可以容易地證明Rn中的一切完備疏朗集都是可測集.可見,定理1為判斷Rn中的點(diǎn)集是不是可測集提供了很大方便.

[1] 程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng),等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:54-70.

[2] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001:79-90.

[3] 覃崇文.可測集定義的一個(gè)附注[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007，6(4):17-18.

[4] 胡冰,周其生.關(guān)于可測集用疏朗完備集逼近問題[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,23(6):540-541.

[5] 戴培良.可測集合的結(jié)構(gòu)[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005,19(2):6-10.

[6] 吳振之.可測集合的幾個(gè)等價(jià)定義[J].江漢大學(xué)學(xué)報(bào),1996(3):83-85.