ARIMA（p，d，q）利息力模型下生存年金精算現(xiàn)值的研究

洪義成，姜今錫，金光植

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.延世大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，首爾120－749）

ARIMA（p，d，q）利息力模型下生存年金精算現(xiàn)值的研究

洪義成1，2，姜今錫1，金光植1

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.延世大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，首爾120－749）

把精算實(shí)務(wù)中利息力的隨機(jī)性用ARIMA（p，d，q）隨機(jī)過程來表示，并利用矩陣代數(shù)理論將其轉(zhuǎn)換成較簡單的矩陣形式，然后以此為基礎(chǔ)探討了企業(yè)生存年金的精算現(xiàn)值問題.

ARIMA（p，d，q）模型；企業(yè)生存年金；精算現(xiàn)值

0 引言

企業(yè)年金是指企業(yè)為其員工提供的養(yǎng)老金，是政府公共養(yǎng)老保障體系的重要補(bǔ)充，其主要目的是為了保障被保險(xiǎn)人的生活水平免受退休后收入下降的影響.影響企業(yè)年金定價的因素有兩種：一是被保險(xiǎn)人群的死亡率，另一個是利率.其中利率給企業(yè)年金的定價所帶來的影響大于死亡率的影響，而且保險(xiǎn)精算中的若干重大問題，如準(zhǔn)備金的提留、保費(fèi)的定價問題等都與利率有關(guān).企業(yè)年金中的利率會給企業(yè)投資收益率帶來一定的影響，即如果預(yù)定利率設(shè)定過高，會使企業(yè)年金赤字加大，而預(yù)定利率設(shè)定過低，會使員工得不到應(yīng)有的保障，因此，研究在隨機(jī)利率下的企業(yè)年金具有重要意義.

目前，生存年金的研究方法主要有時間序列分析法和隨機(jī)過程方法.早在1971年，J.H.Polland［1］第一次把利息力作為一個隨機(jī)變量，對精算函數(shù)進(jìn)行了研究.隨后，國外的一些學(xué)者［2－6］基于可逆的MA（1）模型、MA（2）模型、穩(wěn)定的AR（2）模型和穩(wěn)定的AR（p）模型對生存年金或養(yǎng)老金的精算現(xiàn)值進(jìn)行了研究，但是這些模型由于限制條件或假設(shè)過于苛刻，因此很難應(yīng)用于實(shí)踐.我國學(xué)者［7－11］也分別基于MA（q）模型、廣義條件下的AR（p）模型、穩(wěn)定的AR（p）模型、可逆的MA（q）模型、一般MA（q）模型和條件ARMA（p，q）模型對生存年金進(jìn)行了相應(yīng)的研究.本文利用時間序列和矩陣?yán)碚摲椒▽⑵髽I(yè)年金中利率推廣成更為一般化的ARIMA（p，d，q）模型，得到隨機(jī)利率下生存年金精算現(xiàn)值模型，這對于解決企業(yè)合理發(fā)放養(yǎng)老金，避免出現(xiàn)養(yǎng)老基金赤字問題具有一定的理論指導(dǎo)意義和實(shí)際應(yīng)用價值.

1 利率模型

在傳統(tǒng)的精算學(xué)理論中，為了計(jì)算方便往往會把利率或利息力假定為常數(shù)，或者簡單地假定為各期之間相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.但是，由于我國正處于經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型期，市場利率的變化可能會受到過去幾年的投資結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)因素和政府政策的影響，因而不能簡單地把利率或利息力的變化視為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.本文中我們假定各期間的利息力序列｛δt∶t∈T｝遵從較為一般化的ARIMA（p，d，q）過程，即

其中：φi和θj為隨機(jī)過程的系數(shù)（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，q）；特別地，我們假定φ0＝θ0＝－1；｛εt∶t∈T｝是均值為0的正態(tài)白噪聲序列；B是延遲算子，即對任意的t，p∈Z有xt－p＝Bpxt，且假定各系數(shù)滿足ARIMA（p，d，q）過程成為穩(wěn)定、可逆的隨機(jī)過程.

假定ΔT＝ （δ1，…，δT）T和εT＝ （ε1，…，εT）T均表示T行1列矩陣，Δ＊＝ （δ1－（d＋p），…，δ0）T和ε＊＝ （ε1－q，…，ε0）T分別表示d＋p行1列矩陣和q行1列矩陣，以及

其中k是整數(shù)，.特別地，當(dāng)j＜0或j＞d時，令則可以得到ARIMA（p，d，q）隨機(jī)過程的矩陣表達(dá)式：

2 結(jié)論

利用（2）式可方便地討論當(dāng)利率或利息力遵從ARIMA（p，d，q）隨機(jī)過程時，生存年金的相關(guān)問題.本文主要對生存年金的精算現(xiàn)值問題進(jìn)行討論.

結(jié)論1 若利息力序列｛δt∶t∈T｝遵從ARIMA（p，d，q）隨機(jī)過程，則有

證明 根據(jù)（2）式可以得到

又因?yàn)棣ぃ?（δ1－（d＋p），…，δ0）T和ε＊＝ （ε1－（d＋p），…，ε0）T是已知量，且εT＝ （ε1，ε2，…，εT）T～NT（0T，σ2IT），所以有證畢.

結(jié)論2 若利息力序列｛δt∶t∈T｝遵從ARIMA（p，d，q）隨機(jī)過程，則利息力累積函數(shù)序列｛R（T）∶t∈T｝遵從均值為其方差為的正態(tài)分布，其中

當(dāng)t≤T時，以下結(jié)果仍成立的：

結(jié)論3 若利息力序列｛δt∶t∈T｝遵從 ARIMA（p，d，q）隨機(jī)過程，則折現(xiàn)函數(shù)序列｛v（T）∶t∈T｝的均值為

3 ARIMA（p，d，q）利息力模型下的生存年金

設(shè)某保險(xiǎn)公司推出的某種生存年金規(guī)定：當(dāng)被保險(xiǎn)人活過退休年齡r歲時，該保險(xiǎn)公司在每個保單年度末對每個參保人給付1單位元的保險(xiǎn)金.假定參加此險(xiǎn)種的參保人共有N人，且根據(jù)參保人的年齡，將所有參保人分成k組，即假定xj歲的參保人共有nj人，顯然若以ar表示參保人的生存年金（退休金）在其退休年齡初的現(xiàn)值，則有

其中I｛·｝是示性函數(shù)，Lxj表示xj歲的個體的未來生存時間，δs表示第r＋s個保單年度，即年齡段（r＋s－1，r＋s）期間內(nèi)的利息力.

證畢.

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［11］解強(qiáng)，李秀芳.基于 ARMA（p，q）利息力生存年金精算現(xiàn)值模型［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2009，39（3）：74－79.

The Life Annuity Actuarial Present Value Models Based on ARIMA（p，d，q）Force of Interest Rate

HONG Yi－cheng1，2，JIANG Jin－xi1，JIN Guang－zhi1
（1.DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China；2.DepartmentofMathematics，SchoolofScience，YonseiUniversity，Seoul120－749，Korea）

We assumed that interest rate follows an ARIMA（p，d，q）process and transformed it into more simple matrix form using matrix algebra theory，and then discussed actuarial present value of annuity.

ARIMA（p，d，q）model；enterprise life annuity；actuarial present value

O211.9；F840.67

A

1004－4353（2011）03－0216－04

2011 -03 -17

洪義成（1980—），男，講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用概率統(tǒng)計(jì)和精算實(shí)務(wù)分析.

吉林省教育廳“十一五”科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目（吉教科合字［2007］第自11號）