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    剖析命題 修正結(jié)論 完善簡解

    2011-01-13 08:07:26226100江蘇省海門中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年17期
    關(guān)鍵詞:壓軸剖析零點(diǎn)

    226100 江蘇省海門中學(xué) 孫 蕓

    剖析命題 修正結(jié)論 完善簡解

    226100 江蘇省海門中學(xué) 孫 蕓

    并利用該命題簡解了一類高考壓軸題:“對?x≥0,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中f(x)或g(x)含參數(shù)a,試確定參數(shù)a的取值范圍.”簡解的思路是:對?x≥0,只要對f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)兩邊取導(dǎo)數(shù),再從f'(x)≥g'(x)或f'(x)≤g'(x)中分離出參數(shù)a,轉(zhuǎn)化為最值問題.

    筆者研究后發(fā)現(xiàn)上述命題和簡解都是錯(cuò)誤的,本文先作一剖析,再將錯(cuò)誤命題修正,并給出簡解的完善,不當(dāng)之處,懇請大家指正.

    1 命題的剖析

    原命題假逆命題真,說明在給定的已知條件下,“f'(x)≥g'(x)恒成立”是“f(x)≥g(x)恒成立”的充分不必要條件,文[1]依據(jù)命題得到的簡解實(shí)際上利用已知條件的充分不必要條件解題,所以是錯(cuò)誤的,雖結(jié)果正確但純屬巧合而已.

    2 結(jié)論的修正

    經(jīng)過探究,文[1]命題可作如下修正:

    定理1 如果函數(shù)f(x),g(x)在x≥m時(shí)均可導(dǎo),f(m)=g(m),且當(dāng) x≥m 時(shí),f(x)≥g(x)恒成立,那么?δ>0,使得當(dāng) x∈[m,m+δ)時(shí),f'(x)≥g'(x)恒成立.

    若令h(x)=f(x)-g(x),則定理1等價(jià)敘述為:

    定理2 如果函數(shù)h(x)在x≥m時(shí)可導(dǎo),h(m)=0,且當(dāng)x≥m 時(shí),h(x)≥0恒成立,那么?δ>0,使得當(dāng)x∈[m,m+δ)時(shí),h'(x)≥0恒成立.

    定理2的實(shí)質(zhì)是:當(dāng)可導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)處及其右側(cè)函數(shù)值大于等于0時(shí),該函數(shù)在零點(diǎn)右側(cè)必先單調(diào)遞增(非嚴(yán)格遞增).這是顯然成立的,否則若h(x)在零點(diǎn)右側(cè)先單調(diào)遞減(嚴(yán)格遞減),則?x0>0,使 h(x0)<h(0)=0,這與h(x)≥0恒成立矛盾.

    同樣有:

    定理3 如果函數(shù)h(x)在x≥m時(shí)可導(dǎo),h(m)=0,且當(dāng)x≥m 時(shí),h(x)≤0恒成立,那么?δ>0,使得當(dāng)x∈[m,m+δ)時(shí),h'(x)≤0恒成立.

    3 簡解的完善

    由以上4例可以看出,運(yùn)用本文定理解答“已知對?x≥m,f(x)≥g(x)恒成立,且滿足 f(m)=g(m),其中f(x)或g(x)含參數(shù)a,試確定參數(shù)a的取值范圍.”這一類問題的基本步驟是:

    第1步(求出必要性):運(yùn)用定理1得出?δ>0,使得當(dāng) x∈[m,m+δ)時(shí),f'(x)≥g'(x)恒成立,從而有f'(m)≥g'(m),由此解出參數(shù)a的范圍A;

    第2步(驗(yàn)證充分性):檢驗(yàn)當(dāng)a∈A時(shí)滿足題意;

    第3步(下結(jié)論):綜合1、2兩步,得a的取值范圍是A.

    值得注意的是,在第1步中,如果出現(xiàn) f'(m)=g'(m),則需要再次運(yùn)用定理1,比如例3和例4.

    作為本文結(jié)束,留幾道題供讀者練習(xí):

    1.(2006全國卷Ⅱ第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有x≥0,都有 f(x)≥ax成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    2.(2007年全國卷Ⅰ第20題(2))設(shè)函數(shù)f(x)=exe-x,若對所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    1 張潤平.高等數(shù)學(xué)背景下一類壓軸題的簡解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2011,2

    20110712)

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