質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)分析

殷中偉， 孫文祥

（河北民族師范學(xué)院 物理系，河北 承德 067000）

質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)分析

殷中偉， 孫文祥

（河北民族師范學(xué)院 物理系，河北 承德 067000）

轉(zhuǎn)動(dòng)參照系是非慣性系，研究質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中做相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的絕對(duì)速度和相對(duì)速度以及絕對(duì)加速度和相對(duì)加速度的關(guān)系。分析轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，將其理論應(yīng)用于地球自轉(zhuǎn)，對(duì)重力的變化和地球上物體的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行力學(xué)解釋。

轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系；加速度；速度；慣性力；地球自轉(zhuǎn)

引言：人們生活的地球本身就在不停的自轉(zhuǎn)中，而在其上運(yùn)動(dòng)的任何物體均可看作在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，本文分析質(zhì)點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系做機(jī)械運(yùn)動(dòng)所滿足的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律和動(dòng)力學(xué)特征及其慣性力對(duì)地球上運(yùn)動(dòng)物體的影響。

1.轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的速度和加速度

取一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系S（o-xyz）繞任意通過(guò)原點(diǎn)的軸線相對(duì)另一個(gè)固定坐標(biāo)系以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，為了問(wèn)題簡(jiǎn)化，設(shè)兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系S的運(yùn)動(dòng)叫做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，它相對(duì)固定坐標(biāo)系S′的運(yùn)動(dòng)叫做絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。

設(shè)在t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系S的位置矢量r=xi+yj+zk

其中i,j,k為固定在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系S（o-xyz）上三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量。因i,j,k隨S系一起以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，因此有

在固定系S′上的觀察者看到P質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度v為

式中vr是保持i,j,k固定不變時(shí)的相對(duì)速度，ve是由于轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生牽連速度。

在固定坐標(biāo)系S′上的觀察者看到P質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度a為

式中ar是保持i,j,k固定不變時(shí)的相對(duì)加速度，ae是由于轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生牽連加速度，ac是由于轉(zhuǎn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的加速度，叫做科里奧利加速度。

可見(jiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系是非慣性系。

2.轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的動(dòng)力學(xué)

設(shè)一力F作用在質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)上，在固定系S′上的觀察者得到的是滿足牛頓運(yùn)動(dòng)定律的表達(dá)式F=ma

在轉(zhuǎn)動(dòng)系S上的觀察者所看到的是加速度

引入慣性力，設(shè)Fe=-mae,Fc=-mac

則mar=F+Fe+Fc

該式從形式上使牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以應(yīng)用在轉(zhuǎn)動(dòng)系S上。

其中牽連慣性力 Fe=-mae=-m{ω×r+ω×(ω×r)}由兩部分組成：-mω×r是由轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系作變角速轉(zhuǎn)動(dòng)引起；-mω×(ω×r)=-mω (ω·r)+mω2r是轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起的虛擬的力,mω2r又稱為慣性離心力。

科里奧利力Fc=-mac=-2mω×vr是由于在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的牽連運(yùn)動(dòng)二者共同作用而產(chǎn)生的虛擬的力。

3.地球上質(zhì)點(diǎn)的受力情況

由于地球公轉(zhuǎn)的角速度很小，這里在只考慮在地球自轉(zhuǎn)影響下，討論在地球上運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)特征。設(shè)地球是半徑R、質(zhì)量均勻分布的球體，繞其南北軸自轉(zhuǎn)角速度ω是勻速的。

如圖所示，SN是地軸，自轉(zhuǎn)角速度為ω（ω=7.3×10-5弧度/秒）；質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)P在北半球緯度λ處的地球表面上相對(duì)地球以速度v運(yùn)動(dòng)。i,j,k表示建立在地球表面的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Pxyz的坐標(biāo)軸的單位矢量，z軸通過(guò)地心。

質(zhì)點(diǎn)所受的力分別是：

地球的引力mg0，與k方向相反，指向地心。

慣性離心力 Fe,由于 ω=0，所以 Fe=-mω×(ω×r)，其大小是mω2RCOSλ,方向?yàn)榇怪鞭D(zhuǎn)動(dòng)軸的離軸方向。

科里奧利力Fc，

地面支持力N，方向由上述幾個(gè)力來(lái)確定。

如當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在地面上靜止時(shí)，地面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的支持力大小N=mg。

質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際重力只有在兩極處才等于引力mg0，在λ處的P點(diǎn)上，由于引力和慣性離心力的共同作用，會(huì)使重力減小，且方向一般也不再指向地心，分析如下。

設(shè)實(shí)際重力偏離角度為α，如左圖。

其分量為

解方程組可近似得到

式中 Rω2=3.387厘米/秒2，取兩極處的重力加速度 g0=983厘米/秒2。由此可見(jiàn)，實(shí)際重力與引力偏離角度很小，可以忽略不計(jì)，重力的大小隨緯度增加而增大。

設(shè)質(zhì)點(diǎn)受外力 F， 在地面上以速度 v=x˙i+y˙j+z˙k運(yùn)動(dòng)，由于科里奧利力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力，可得到其運(yùn)動(dòng)微分方程的分量式

科里奧利力與物體運(yùn)動(dòng)方向垂直，不改變物體運(yùn)動(dòng)的速率。如將科里奧利力分解成垂直方向和水平方向的兩個(gè)分力，則垂直分力使運(yùn)動(dòng)物體的重力略有改變（增加或減少），水平分力使物體運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化，在地質(zhì)學(xué)上將科里奧利力的水平分力稱做地轉(zhuǎn)偏向力。在我們所生活的北半球上sinλ＞0，所受到的科里奧利力總是指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的右側(cè)，正是由于在科里奧利力的淘蝕作用下，我國(guó)的河流右岸更加陡峭。也必須看到，地轉(zhuǎn)偏向力不是對(duì)所有物體的運(yùn)動(dòng)都有同等的重要意義，在討論某些物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)榈剞D(zhuǎn)偏向力比其他的作用力小得多，可以忽略不計(jì)。但在討論大范圍運(yùn)動(dòng)時(shí)，它是個(gè)很重要的作用力，必須加以考慮。若忽略慣性離心力和風(fēng)向的影響，科里奧利力對(duì)高空落體的作用，會(huì)使落體向東發(fā)生偏移。落體偏東的數(shù)值以赤道最大，向兩極減小至零?？偟恼f(shuō)來(lái)，數(shù)值都很小。例如在緯度λ=40°的地方，在離地面200米高處自由下落的物體，偏東的數(shù)值約為4.75厘米，加上其它因素（如風(fēng)）的干擾，難于察覺(jué)。

地球上高、中、低緯度的三圈大氣環(huán)流、洋流系統(tǒng)的形成、氣旋與反氣旋的旋轉(zhuǎn)，大河兩岸的不對(duì)稱，都同科里奧利力的作用有關(guān)，它們既是地球自轉(zhuǎn)的后果，也是地球自轉(zhuǎn)的證據(jù)。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展，我們現(xiàn)在已經(jīng)知道，地球自轉(zhuǎn)速度并不均勻。

[1]周衍柏．理論力學(xué)教程(第二版)[M]．北京:高等教育出版社,1985．245-256

[2]馮麟保．理論力學(xué)[M]．保定:河北大學(xué)出版社,1996．92-109

{3]楚安夫．理論力學(xué) [M]．成都:電子科技大學(xué)出版社,1995．217-240

O19

A

1005-1554（2011）02-0004-02

2011-01-11

殷中偉（1958-），男，河北承德市人，河北民族師范學(xué)院物理系副教授。