中國余數(shù)定理在雙基線InSAR相位解纏中的應(yīng)用

張紅敏，靳國旺，2，徐 青，秦志遠，孫 偉

1.信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，河南 鄭州450052；2.中國科學(xué)院 電子學(xué)研究所 微波成像技術(shù)國家級重點實驗室，北京100190

中國余數(shù)定理在雙基線InSAR相位解纏中的應(yīng)用

張紅敏1，靳國旺1，2，徐 青1，秦志遠1，孫 偉1

1.信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，河南 鄭州450052；2.中國科學(xué)院 電子學(xué)研究所 微波成像技術(shù)國家級重點實驗室，北京100190

介紹利用中國余數(shù)定理求解同余方程組的基本公式，并將中國余數(shù)定理引入到雙基線InSAR相位解纏中。構(gòu)造關(guān)于干涉相位模糊數(shù)的同余方程組，設(shè)計基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏方法，擴展相位解纏的非模糊區(qū)間，為解決干涉相位欠采樣區(qū)域的相位解纏難題奠定基礎(chǔ)。利用不同地區(qū)的多套DEM仿真的雙基線InSAR干涉圖進行相位解纏試驗，驗證該方法在干涉相位欠采樣等區(qū)域的解纏能力。

中國余數(shù)定理；合成孔徑雷達干涉測量；多基線；雙基線；相位解纏

1 引 言

中國余數(shù)定理（CRT，Chinese remainder theory）可用于解決理想兩兩互素情況下線性同余方程組解的計算問題［1］。該定理在信號處理、密碼系統(tǒng)等領(lǐng)域已得到實際應(yīng)用。文獻［2］將中國余數(shù)定理應(yīng)用于多基線相位干涉儀的相位差解模糊；文獻［3］研究了基于中國余數(shù)定理的同步圖像壓縮與加密方法；文獻［4—5］應(yīng)用中國余數(shù)定理解決SAR動目標成像時的相位模糊問題；文獻［6］設(shè)計了基于中國余數(shù)定理作為陷門的公鑰密碼系統(tǒng)；文獻［7］分析了中國余數(shù)定理用于分布式星載SAR－ATI系統(tǒng)解速度模糊的方法。

多基線InSAR技術(shù)［8－9］具有高可靠性與高精度優(yōu)勢，已經(jīng)成為InSAR技術(shù)的重要發(fā)展方向之一。多基線InSAR獲取高精度DEM技術(shù)的核心問題之一是相位解纏?？紤]到多基線InSAR相位解纏與同余問題的相通性，為了解決多基線InSAR相位解纏難題，筆者從最簡單的雙基線InSAR基本原理入手，將中國余數(shù)定理應(yīng)用于雙基線InSAR相位解纏中。構(gòu)造了關(guān)于干涉相位模糊數(shù)的同余方程組，設(shè)計了基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏方案。利用多套不同地區(qū)DEM仿真的雙基線InSAR干涉圖進行了相位解纏試驗，得到了滿意的解纏結(jié)果，驗證了所設(shè)計解纏方案的有效性。

2 中國余數(shù)定理

中國余數(shù)定理又稱中國剩余定理、孫子定理，最早見諸南北朝時期的數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》［11］，用于解決理想兩兩互素情況下線性同余方程組求解問題。

《孫子算經(jīng)》中記載的“物不知其數(shù)”［1］問題是中國余數(shù)定理的典型應(yīng)用：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”用同余式表示“物不知其數(shù)”問題，就轉(zhuǎn)化為如式（1）所示的線性同余方程組求解問題。

式中，x為同余方程組的解，x≡a（mod m）表示x和a模m同余，整數(shù)m稱為同余的模。

《孫子算經(jīng)》中給出了“物不知其數(shù)”問題的解法，程大位進一步在《算法統(tǒng)宗》中給出了計算口訣［11］：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知?！睌?shù)學(xué)語言表述，即

式中，a1、a2、a3為余數(shù)，滿足式（1）的最小正整數(shù)解為23。

“物不知其數(shù)”問題描述了同余問題的一個典型特例，其解法口訣實際上是中國余數(shù)定理的一個特定用法。中國余數(shù)定理的表述有多種，依據(jù)本文需要，表述如下［1，12］

若m1，m2，…，mn兩兩互素，a1，a2，…，an是任意整數(shù)，則同余方程組

在0≤x＜m＝m1m2…mn內(nèi)有唯一的解，并且解一定可以寫為

式中

3 雙基線InSAR獲取DEM基本原理

如圖1所示，假定主天線相位中心S1和從天線相位中心S2、S3位于同一直線上，三天線相位中心分別形成兩副穩(wěn)定基線，構(gòu)成單發(fā)三收式雙基線InSAR系統(tǒng)。記S1的高程為H，S1和S2形成的基線為B，基線水平角為α。沿視線向的基線分量，即平行基線為B‖，垂直于視線向的基線分量，即垂直基線為B⊥。對目標點P的側(cè)視角為θ，干涉圖中相鄰像元對應(yīng)的地面點為P′，P′對P的相對高程為dZ，P到天線相位中心S1和S2的斜距分別為R和R－ΔR，ΔR為斜距差。

圖1 雙基線InSAR幾何模型Fig.1 Geometry of dual－baseline InSAR

由圖1所示幾何關(guān)系可知，地面點P的高程Z為

式中，側(cè)視角θ與基線水平角α及角β的關(guān)系為

斜距R的計算公式為

式中，R0為SAR系統(tǒng)近距延遲，Mslant為SAR圖像斜距向像元大小，y為地面點P對應(yīng)像點的斜距向坐標。

在△S1S2P中，根據(jù)余弦定理有

則

由式（6）、式（7）和式（10），得

記λ為雷達波波長。對于單發(fā)多收模式，斜距差ΔR與真實干涉相位Φa的關(guān)系為

由于干涉圖中記錄的是干涉相位主值φ，其值域為［0，2π），在InSAR處理中需要經(jīng)過相位解纏和干涉相位偏置參數(shù)定標才能由φ得到Φa。

式（11）對ΔR求偏導(dǎo)，可得

ΔR相對于R是一個可以忽略的小量，上式可近似為

聯(lián)立式（12）和式（14），得

整理上式，可得

式中，

Z＊表示引起一個2π干涉相位變化所對應(yīng)的高程變化，稱為高程模糊數(shù)。由式（17）不難看出，高程模糊數(shù)與垂直基線成反比，垂直基線越長，高程模糊數(shù)越小，高程反演精度越高；反之，垂直基線越短，高程模糊數(shù)越大，高程反演精度越低。對于如圖1所示的幾何構(gòu)型，垂直基線之比等于基線長度之比。為簡化算法，本文以基線長度之比代替垂直基線之比。

4 雙基線InSAR相位解纏原理

為了將中國余數(shù)定理應(yīng)用于雙基線InSAR相位解纏中，需要建立同余方程組形式的雙基線InSAR相位解纏模型。

假設(shè)在基線分別為B1和B2的情況下獲取的纏繞干涉相位分別為φ1和φ2，對應(yīng)的真實干涉相位分別為Φa1和Φa2，解纏后的干涉相位分別為Φ1和Φ2。根據(jù)式（15）可知，同一相對高程dZ與各干涉相位微分dφi（i＝1，2）之間的關(guān)系為

式中，ki為dφi的模糊數(shù)。

任意有限位數(shù)的實數(shù)均可以乘以10q（其中，q為該實數(shù)的小數(shù)位數(shù)），保留全部有效位數(shù)，轉(zhuǎn)換為無精度損失的整數(shù)。因此，可假定基線長度B1、B2均為正整數(shù)。兩基線長度的最小公倍數(shù)為B0＝［B1，B2］，記模mi（i＝1，2）為mi＝B0／Bi。則由式（18）可得

其中，ai取整數(shù)，且－mi＜ai＜mi。需要指出的是，余數(shù)a1、a2是實際干涉圖中纏繞干涉相位微分的函數(shù)，是一組實數(shù)。并且由于實際中相位噪聲的存在，式（20）可能并不成立。然而，在一定的噪聲水平下，通過余數(shù)取整，仍可將雙基線InSAR相位解纏問題視為整數(shù)域內(nèi)的同余問題，表示成線性同余方程組為

因為mi＝B0／Bi，以此方式構(gòu)造的模m1、m2互素，從而滿足了中國余數(shù)定理的要求。根據(jù)中國余數(shù)定理，同余方程組（21）在0≤x＜m內(nèi)有唯一解，并且解可以寫成

式中

式中，M－1i是Mi的乘法逆元，即

求解M－1i是應(yīng)用中國余數(shù)定理的關(guān)鍵之一，可利用擴展歐幾里得算法［12］遞歸求解M－1i。

由中國余數(shù)定理求得式（21）在［0，m）的最小正整數(shù)解xmin后，可由下式計算兩幅干涉圖中對應(yīng)像元處的模糊數(shù)ki（i＝1，2），為

式中，余數(shù)ai需進行取整，也可寫作Int（ai）。那么，兩幅干涉圖中該像元處解纏后的干涉相位微分dΦi分別為

在兩幅干涉圖中，均以像素（x0，y0）為相位解纏種子，分別對dΦi沿某一路徑積分，就可以同時解纏兩幅干涉圖，即

式中，（x，y）為干涉圖像點的方位向和斜距向坐標。

由上述分析可知，將雙基線InSAR相位解纏問題轉(zhuǎn)化為線性同余方程組求解問題，突破了傳統(tǒng)相位解纏方法對相鄰干涉相位差不超過半周期的限制，擴展了正確解纏的非模糊區(qū)間，即將非模糊區(qū)間從［－π，π）擴展到［－mπ，mπ），從而可以解決干涉相位欠采樣和頻譜混疊區(qū)域的相位解纏難題。

5 雙基線InSAR相位解纏流程

基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏包括依據(jù)基線情況構(gòu)造互素模、建立關(guān)于纏繞相位微分模糊數(shù)的同余方程組、利用中國余數(shù)定理求解同余方程組、計算模糊數(shù)、求得解纏后的相位微分值、相位積分等關(guān)鍵步驟。其基本流程如圖2所示。

圖2 基于CRT的雙基線InSAR相位解纏流程Fig.2 Phase unwrapping flowchart based on CRT for dual－baseline InSAR

（1）根據(jù)配準結(jié)果，獲取分別對應(yīng)于基線B1、B2的雙基線InSAR干涉圖（即纏繞干涉相位）φ1、φ2。構(gòu)造互素模m1、m2

式中，B0＝［B1，B2］。當B1、B2為有限位數(shù)的小數(shù)時，首先將其同時擴大整數(shù)倍，轉(zhuǎn)化為正整數(shù)。

（2）計算相鄰像素（x1，y1）和（x2，y2）之間的纏繞干涉相位微分dφ1、dφ2

（3）構(gòu)造a1、a2。由dφ1、dφ2構(gòu)造同余方程組的余數(shù)a1、a2，并進行取整，將同余方程組納入整數(shù)環(huán)

（4）建立線性同余方程組。建立關(guān)于纏繞相位微分的模糊數(shù)k1、k2的同余方程組

（5）計算p。根據(jù)中國余數(shù)定理，在0≤p＜m1m2內(nèi)，解同余方程組，得到p。其中，乘法逆元利用擴展歐幾里得算法迭代求解。

（6）計算k1、k2。模糊數(shù)k1、k2為

（7）計算dΦ1、dΦ2。解纏后的干涉相位微分dΦ1、dΦ2為

（8）進行相位積分，計算干涉圖任意像元的解纏干涉相位Φ1、Φ2。分別以給定的相位解纏種子φ1（x0，y0）、φ2（x0，y0），對dΦ1、dΦ2沿某一路徑積分，得到兩幅干涉圖的解纏結(jié)果

6 試 驗

為了驗證基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏方法的有效性，本文利用不同地區(qū)的DEM仿真了多套雙基線InSAR干涉圖，進行了相位解纏試驗。采用的DEM如圖3所示，其中（a）為由SIR－C／X－SAR干涉數(shù)據(jù)獲取的天山地區(qū)10m格網(wǎng)間距的DEM，（b）為SRTM獲取的海南地區(qū)90m格網(wǎng)間距的DEM。為了充分驗證該方法對含任意有限位小數(shù)基線情況的適用性，試驗中，選擇的基線長度既有整數(shù)也有一般實數(shù)。所用仿真參數(shù)如表1所示，仿真的去平地效應(yīng)后的雙基線干涉圖如圖4所示。

圖3 DEMFig.3 DEM

表1 干涉圖仿真參數(shù)Tab.1 Parameters of interferogram simulation

圖4 仿真的雙基線干涉圖Fig.4 Simulated dual－baseline InSAR interferograms

由圖3和圖4不難看出，天山及海南地區(qū)的仿真干涉圖中均存在欠采樣和頻譜混疊現(xiàn)象。為了突出單基線InSAR技術(shù)在欠采樣和頻譜混疊區(qū)域的相位解纏問題，在進行相位解纏時，兩類解纏方法均采用沿距離向直接相位積分策略。其中，單基線解纏結(jié)果如圖5所示；基于中國余數(shù)定理的雙基線相位解纏結(jié)果如圖6所示。

圖5 單基線相位解纏結(jié)果Fig.5 Unwrapped interferograms with single baseline

圖6 基于中國余數(shù)定理的雙基線相位解纏結(jié)果Fig.6 Unwrapped interferograms with dualbaseline based on CRT

由圖5不難看出，由于仿真干涉圖中存在頻譜混疊現(xiàn)象，采用單基線相位解纏方法，難以得到良好的相位解纏結(jié)果。并且，由于積分路徑?jīng)]有繞開殘差點，誤差傳遞導(dǎo)致了整行解纏錯誤的點，從而更加鮮明地反映了單基線InSAR技術(shù)在頻譜混疊區(qū)域的相位解纏困境。采用基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏方法時仍采用相同的積分路徑，由圖6易知，天山和海南地區(qū)的仿真雙基線干涉圖均得到了良好的解纏效果，解纏后的干涉圖所顯示的地形起伏狀況分別與圖3 DEM1和DEM2所顯示的地形相吻合，較長基線對應(yīng)的解纏后干涉圖包含更多的細部信息。為直觀比較兩種方法的解纏差異，分別計算了兩種方法對天山地區(qū)仿真干涉圖的解纏結(jié)果（圖5（a）（b）和圖6（a）（b））與理論結(jié)果的較差圖，分別如圖7和圖8所示。

對比圖7和圖8可知，基于中國余數(shù)定理的相位解纏方法通過將雙基線相位解纏問題轉(zhuǎn)化為線性同余方程組的求解問題，擴展了正確解纏的非模糊區(qū)間，從而解決了頻譜混疊區(qū)域的相位解纏難題。以海南地區(qū)仿真干涉圖的相位解纏為例，采用單基線InSAR相位解纏方法時，正確解纏的非模糊區(qū)間為［－π，π）；而采用本文所設(shè)計的雙基線InSAR相位解纏方法時，正確解纏的非模糊區(qū)間擴展為［－mπ，mπ），從而能夠正確解纏頻譜混疊區(qū)域的纏繞相位。其中，m＝35，計算過程如下：

圖7 單基線相位解纏結(jié)果與理論解纏結(jié)果較差圖Fig.7 Interferogram difference between unwrapped interferograms with single－baseline and unwrapped interferograms in theory

圖8 雙基線相位解纏結(jié)果與理論解纏結(jié)果較差圖Fig.8 Interferogram difference between unwrapped interferograms with dual－baseline and unwrapped interferograms in theory

記基線B1和B2擴大取整后對應(yīng)值分別為B′1和B′2

B′1和B′2的最小公倍數(shù)B′為

構(gòu)造模m1和m2分別為

m是模m1和m2的最小公倍數(shù)，為

由圖8易知，在無噪聲情況下，采用所設(shè)計方法，不同地區(qū)仿真干涉圖均得到了良好的解纏結(jié)果，驗證了所設(shè)計方法的正確性和有效性。

為了分析噪聲對基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏方法的影響，又采用仿真含噪聲干涉圖進行了試驗。在利用天山地區(qū)DEM仿真干涉圖時，加入了均值為0，方差為0.000 2rad2的隨機相位噪聲，干涉圖仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 仿真的含噪聲雙基線干涉圖Fig.9 Simulated dual－baseline interferograms with noise

對圖9所示含噪聲干涉圖，采用直接相位積分的單基線InSAR相位解纏方法進行相位解纏的結(jié)果如圖10所示；采用基于中國余數(shù)的雙基線InSAR相位解纏方法進行相位解纏，結(jié)果如圖11所示。

由圖10和圖11可以看出，兩種方法的解纏結(jié)果均受到了噪聲的影響，出現(xiàn)了解纏錯誤的點并導(dǎo)致了沿積分路徑的誤差積累。其中，基于中國余數(shù)定理的解纏結(jié)果中部分解纏錯誤區(qū)域如圖11中方框所示。為了避免噪聲影響引起的誤差積累，下一步研究中將選擇避開殘差點的積分路徑進行基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏。關(guān)于噪聲量值對本文算法的定量影響及其解決方案將在后續(xù)工作中進行深入研究。

圖10 單基線相位解纏結(jié)果Fig.10 Unwrapped interferograms with single baseline

圖11 基于中國余數(shù)定理的雙基線相位解纏結(jié)果Fig.11 Unwrapped interferograms with dualbaseline based on CRT

7 總 結(jié)

中國余數(shù)定理是解決同余問題的有效方法，而多基線InSAR相位解纏的實質(zhì)可認為是同余問題。為了給多基線InSAR相位解纏提供良好技術(shù)方案，本文著眼于最簡單的雙基線InSAR技術(shù)，將中國余數(shù)定理應(yīng)用于雙基線InSAR相位解纏中，設(shè)計了基于中國余數(shù)定理的雙基線InSAR相位解纏方法。采用SIR－C／X－SAR獲取的天山地區(qū)DEM和SRTM海南地區(qū)DEM仿真的雙基線InSAR干涉圖，進行了相位解纏試驗，得到了理想的解纏結(jié)果。通過進一步對仿真含噪聲干涉圖的解纏試驗，驗證了一定噪聲水平下，該方案的正確性和有效性。與單基線相位解纏結(jié)果對比，驗證了多基線InSAR技術(shù)高可解纏性的優(yōu)勢。

論文成果為進一步研究三基線以上的InSAR相位解纏方案提供了參考。在后續(xù)研究中，將把該方法擴展至三基線以上的相位解纏中；研究基線組合方案對相位解纏的影響；研究噪聲對相位解纏的影響，及采用質(zhì)量圖區(qū)域生長、選擇避開殘差點的積分路徑以及利用優(yōu)化思想改化同余方程組等方法，減弱噪聲對解纏結(jié)果的影響。

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Application of Chinese Remainder Theorem in Phase Unwrapping for Dualbaseline InSAR

ZHANG Hongmin1，JIN Guowang1，2，XU Qing1，QIN Zhiyuan1，SUN Wei1
1.Institute of Surveying and Mapping，Information Engineering University，Zhengzhou 450052，China；2.National Key Laboratory of Science and Technology on Microwave Imaging，Institute of Electronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China

The basic formulation of solving congruence equations with Chinese Remainder Theorem（CRT）is introduced，and CRT is applied to phase unwrapping for dual－baseline InSAR.The congruence equations refer to interferometric phase fuzzy numbers are designed，and the phase unwrapping method for dual－baseline InSAR based on Chinese Remainder Theorem is proposed.In this algorithm，the un－fuzzy phase interval of phase unwrapping is extended，which helps to solve the difficult problem of phase unwrapping in sub－sampling area.The phase unwrapping experiments are done with simulated interferograms from different areas DEMs.The satisfying phase unwrapping results are gotten，as validated the phase unwrapping ability for the proposed algorithm in sub－sampling area.

Chinese remainder theorem；interferometric synthetic aperture radar；multi－baseline；dual－baseline；phase－inwrapping

ZHANG Hongmin（1984—），female，PhD candidate，major in InSAR，photogrammetry and remote sensing.

1001－1595（2011）06－0770－08

TP701

A

國家自然科學(xué)基金（40771142；40871213；41071296）；中國博士后科學(xué)基金（200801111）；國家西部1∶50 000地形圖空白區(qū)測圖工程項目；測繪學(xué)院學(xué)位論文創(chuàng)新與創(chuàng)優(yōu)基金

雷秀麗）

2010－09－25

2010－12－31

張紅敏（1984—），女，博士生，主要從事合成孔徑雷達干涉測量、攝影測量與遙感技術(shù)研究。

E－mail：zhmin1206＠163.com