關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)——解決積分運(yùn)算的一種思想

王信存

(遼東學(xué)院師范學(xué)院 高等數(shù)學(xué)教研部,吉林 丹東 118003)

2.3.2 關(guān)鍵函數(shù)存在,輔助函數(shù)需要構(gòu)造

解這種類(lèi)型題的關(guān)鍵是對(duì)基本積分公式是否熟悉,是否掌握出題者所考查的知識(shí)點(diǎn) .

2.3.3 需要將原題適當(dāng)變形,析出關(guān)鍵函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

解析:回憶微分運(yùn)算公式的產(chǎn)生過(guò)程,會(huì)發(fā)現(xiàn) (sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,是直接運(yùn)用定義得出的公式 .后在教材中給出了四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,其中除法的運(yùn)算法則為

即三角函數(shù)主要的導(dǎo)數(shù)公式是以正弦、余弦為基礎(chǔ)的 .因?yàn)榉e分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆運(yùn)算,所以要進(jìn)行正切的積分運(yùn)算,可以嘗試化為熟悉的正、余弦公式 .

關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)
——解決積分運(yùn)算的一種思想

王信存

(遼東學(xué)院師范學(xué)院 高等數(shù)學(xué)教研部,吉林 丹東 118003)

提出關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的概念,舉例說(shuō)明它們?cè)诓煌e分運(yùn)算方法中所起的作用,并對(duì)不同形式的關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)做了分類(lèi)敘述 .

關(guān)鍵函數(shù);輔助函數(shù);積分運(yùn)算

0 引言

本文先從教材的第一類(lèi)換元積分基本定理出發(fā),通過(guò)例題對(duì)定理進(jìn)行解釋說(shuō)明,進(jìn)而提出關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的概念 .對(duì)出現(xiàn)關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的不同形式進(jìn)行詳細(xì)研究,通過(guò)不同類(lèi)型題的求解,充分認(rèn)識(shí)到這種理解方式的重要性,指出這種思想在其它積分方法中的應(yīng)用,以望快速準(zhǔn)確地解決此類(lèi)問(wèn)題 .

1 教材中關(guān)于第一類(lèi)換元積分法的定理及解釋

先從基本定理來(lái)了解一下 .

注意到把被積函數(shù)與基本積分公式對(duì)照,確認(rèn)了正弦函數(shù)的基本積分公式,然后使兩者的積分變量一致 .而為了被積函數(shù)變量和積分變量的一致,將 exdx湊成 dex,故也稱(chēng)作湊微分法 .

2 關(guān)鍵函數(shù)在第一類(lèi)換元積分法中的應(yīng)用

為了更好地把握定義,熟練使用該方法,下面提出關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的概念 .

2.1 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的提出

第一類(lèi)換元積分法所能解決的積分問(wèn)題中其實(shí)都隱含著關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù),所謂的關(guān)鍵函數(shù)就是指要考察的基本積分公式所對(duì)應(yīng)的被積函數(shù),因?yàn)楸环e函數(shù)的出現(xiàn)形式都是復(fù)合函數(shù),所以為了將被積函數(shù)積出,必須將變量保持一致,為此應(yīng)該存在輔助函數(shù),即輔助函數(shù)存在的目的是為了關(guān)鍵函數(shù)的積出[3].下面舉例說(shuō)明:

2.2 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的確定原則

(1)關(guān)鍵函數(shù)一般都是復(fù)合函數(shù) .

(2)同類(lèi)型的函數(shù),相對(duì)復(fù)雜的作為關(guān)鍵函數(shù) .

(3)不同類(lèi)型的函數(shù)乘積作被積函數(shù)時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)容易成為關(guān)鍵函數(shù),指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)容易成為輔助部分 .

(4)冪函數(shù)與其他函數(shù)乘積作被積函數(shù)時(shí),冪函數(shù)遇到對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)時(shí)容易成為輔助函數(shù),而當(dāng)它遇到三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)時(shí)則很可能成為關(guān)鍵函數(shù) .

(5)根式一般都是關(guān)鍵函數(shù)[2].

下面舉出相應(yīng)的例子 .

2.3 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)出現(xiàn)的不同形式

對(duì)于換元積分的運(yùn)算而言,關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的提出是一種分析問(wèn)題的創(chuàng)新思維方式,對(duì)于不同的習(xí)題,它們的存在方式也不盡相同 .

2.3.2 關(guān)鍵函數(shù)存在,輔助函數(shù)需要構(gòu)造

解這種類(lèi)型題的關(guān)鍵是對(duì)基本積分公式是否熟悉,是否掌握出題者所考查的知識(shí)點(diǎn) .

2.3.3 需要將原題適當(dāng)變形,析出關(guān)鍵函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

解析:回憶微分運(yùn)算公式的產(chǎn)生過(guò)程,會(huì)發(fā)現(xiàn)(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,是直接運(yùn)用定義得出的公式 .后在教材中給出了四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,其中除法的運(yùn)算法則為

即三角函數(shù)主要的導(dǎo)數(shù)公式是以正弦、余弦為基礎(chǔ)的 .因?yàn)榉e分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆運(yùn)算,所以要進(jìn)行正切的積分運(yùn)算,可以嘗試化為熟悉的正、余弦公式 .

即先將原式轉(zhuǎn)化

2.3.4 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)都不完整,巧妙構(gòu)造將它們補(bǔ)全

此題的關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)都是構(gòu)造因式補(bǔ)充完整的,算是一類(lèi)特殊的習(xí)題,很考驗(yàn)我們的數(shù)學(xué)思維 .

3 關(guān)鍵函數(shù)在第二類(lèi)換元積分法中的應(yīng)用

4 在分部積分法中的關(guān)鍵函數(shù)

可以看出,分部積分法的關(guān)鍵是確定哪個(gè)函數(shù)為u,哪個(gè)部分為 dv,選擇恰當(dāng),可以使函數(shù)的求解事半功倍,但如果選擇不恰當(dāng),可能反而會(huì)使函數(shù)變得更為復(fù)雜 .其實(shí)這里的u可以理解為本文提出的關(guān)鍵函數(shù),而 dv一般是由輔助函數(shù)和湊微分得到 .

這樣右端的不定積分顯然比左端更難求 .

5 結(jié)論

關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)并不是一種嚴(yán)格定義,而是解決積分運(yùn)算的一種新的思想,這種思想的有效運(yùn)用確實(shí)對(duì)積分運(yùn)算產(chǎn)生了重要作用,在高等數(shù)學(xué)這樣的高度抽象的學(xué)科中,創(chuàng)造性的運(yùn)用一些新的思維方式理解問(wèn)題、分析問(wèn)題,或許是大學(xué)生,尤其是高職學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)課的一個(gè)新途徑 .

[1]新世紀(jì)高職高專(zhuān)教材編審委員會(huì).新編高等數(shù)學(xué)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2004.

[2]王信存.復(fù)合函數(shù)的整體化思維[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(2):86-88.

[3]王信存.一種新的函數(shù)分類(lèi)方法—分部積分法中關(guān)鍵函數(shù)的確定[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(6).

Key Function and Assistance Function——A Tra in of Thought of Solving Integration Calculation

WANG X in-cun

(Eastern L iaon ing Un iversity Normal College,Dandong,Jil in 118003,China)

This paper defines the conceptsof key function and assistance function and uses examples to explain their functions in integration calculation and classifies the different fcr ms of key function and assistance function.

key function;assistance function;integration calculation

O174

A

1672-9021(2010)02-0004-05

王信存 (1973-),男,遼東丹東人,遼東學(xué)院師范學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研部講師,碩士,主要研究方向:數(shù)值逼近與數(shù)字圖像處理 .

遼寧省十一五教育科學(xué)規(guī)劃課題 (職教 32—14)

2009-12-10

[責(zé)任編輯普梅笑 ]