一種唯相波束賦形的快速方法

杜海龍,閆魯濱

(中國(guó)空間技術(shù)研究院總體部,北京 100094)

0 引 言

在星載天線中,賦形波束天線有著廣泛的應(yīng)用。例如用于固定衛(wèi)星服務(wù)的星載通信天線要求具有覆蓋服務(wù)區(qū)域的賦形波束,以提高服務(wù)區(qū)域內(nèi)的增益,減小對(duì)服務(wù)區(qū)域外的干擾;遙感衛(wèi)星的星載數(shù)傳天線需要具有地球匹配波束,以彌補(bǔ)星地間傳輸途徑的空衰變化;星載SAR為了滿足成像幅寬的要求,需要寬波束天線;低軌移動(dòng)通信系統(tǒng)(銥星系統(tǒng)、全球星系統(tǒng))的賦形多波束天線等。相控陣天線波束賦形靈活、快捷,因此在星載天線中有極大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

天線波束賦形的方法可以劃分為兩類:第一類是單元的激勵(lì)幅度和相位同時(shí)調(diào)整,即幅度、相位同時(shí)加權(quán);第二類是只調(diào)整單元的激勵(lì)相位,即相位加權(quán)。幅度、相位加權(quán)會(huì)得到更好的賦形結(jié)果,但幅度加權(quán)要求增加幅度控制的硬件設(shè)備,增加了系統(tǒng)的復(fù)雜程度。而僅相位加權(quán)只利用相控陣的移相器,不需要另外增加硬件設(shè)備,因此具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

相控陣天線的唯相加權(quán)波束賦形是一個(gè)非線性的優(yōu)化問(wèn)題,可以采用各種優(yōu)化算法來(lái)完成。常規(guī)的方法是以單元的激勵(lì)相位作為優(yōu)化變量,通過(guò)優(yōu)化算法來(lái)完成,如Davis將最小二乘法應(yīng)用于唯相加權(quán)的陣列波束賦形[1];Haupt用遺傳算法實(shí)現(xiàn)唯相加權(quán)的自適應(yīng)零點(diǎn)生成[2];Khzmalyan采用單坐標(biāo)最小化的方法實(shí)現(xiàn)唯相加權(quán)波束賦形和自適應(yīng)零點(diǎn)生成[3]。常規(guī)的方法當(dāng)單元的數(shù)量較多時(shí),優(yōu)化變量也就很多,這樣導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程非常耗時(shí),優(yōu)化的結(jié)果也不是很理想。文獻(xiàn)[4]中提出了一種用于唯相加權(quán)波束賦形的級(jí)數(shù)展開(kāi)方法,這種方法通過(guò)把單元的激勵(lì)相位用一組系數(shù)待定的基函數(shù)展開(kāi),使得優(yōu)化變量由單元的激勵(lì)相位轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)中的待定系數(shù)。這樣就可以極大地減少優(yōu)化變量的數(shù)量,使得優(yōu)化過(guò)程能夠快速完成并且能夠收斂到理想的結(jié)果。文獻(xiàn)[4]中給出了一維線陣的處理方法,但在實(shí)際應(yīng)用中,多數(shù)是處理平面陣的問(wèn)題。本文發(fā)展了一維陣的方法,給出了二維平面陣的處理方法,通過(guò)對(duì)波束展寬賦形的數(shù)值仿真,結(jié)合線陣和平面陣驗(yàn)證了這種方法的有效性。文中還通過(guò)一個(gè)48個(gè)單元的相控陣的實(shí)驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證了用這種方法得到的結(jié)果的正確性。

1 唯相加權(quán)波束賦形的級(jí)數(shù)展開(kāi)法

唯相加權(quán)波束賦形的核心問(wèn)題是尋找一組最優(yōu)的激勵(lì)相位分布使陣列的輻射方向圖逼近指定的方向圖。對(duì)于最優(yōu)的相位分布可以通過(guò)一組基函數(shù)來(lái)展開(kāi),這樣最優(yōu)相位分布對(duì)應(yīng)一組固定的展開(kāi)系數(shù)。因此唯相加權(quán)波束賦形可以轉(zhuǎn)化為尋找一組最優(yōu)的展開(kāi)系數(shù)的問(wèn)題,通過(guò)這組展開(kāi)系數(shù)來(lái)確定陣列的激勵(lì)相位分布。當(dāng)陣列的單元數(shù)量較多時(shí),展開(kāi)系數(shù)的個(gè)數(shù)要遠(yuǎn)少于單元的數(shù)量,因此通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法可以減少波束賦形時(shí)優(yōu)化變量的數(shù)量,使得算法能快速收斂。具體討論如下。

1.1 線陣唯相加權(quán)波束賦形的級(jí)數(shù)展開(kāi)法

對(duì)于一個(gè)等幅激勵(lì)的N元直線陣,其遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖為

式中 fa(θ)為單元方向圖,φn為單元的激勵(lì)相位,d為單元間距,λ為波長(zhǎng),A為激勵(lì)幅度,θ為陣軸法向與觀察方向的夾角。常規(guī)的波束賦形方法是以φn為優(yōu)化變量進(jìn)行優(yōu)化賦形的。因此優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)就是陣列中單元的數(shù)量N。

在級(jí)數(shù)展開(kāi)法中,單元的激勵(lì)相位用一組基函數(shù)展開(kāi),如下式

式中wm為待定系數(shù);Gm(x)為第m個(gè)基函數(shù),可以取三角函數(shù)、切比雪夫函數(shù)等;xn為第n個(gè)單元在陣列中的相對(duì)位置,可以通過(guò)下式確定

通過(guò)(2)式的變換,單元的激勵(lì)相位僅與級(jí)數(shù)中的待定系數(shù)wm有關(guān),因此波束賦形時(shí),優(yōu)化變量就由φn變?yōu)閣m。優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)就由N變?yōu)镸 。對(duì)于大型陣列M是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N的,因此這種級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法可以起到減少優(yōu)化變量數(shù)量的目的,通過(guò)減少優(yōu)化變量的個(gè)數(shù),使得波束賦形能夠快速完成。

1.2 平面陣唯相加權(quán)波束賦形的級(jí)數(shù)展開(kāi)法

以矩形柵格排列的等幅激勵(lì)的平面陣為例,其遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖為

式中 fa(θ,φ)為單元方向圖,φmn為單元的激勵(lì)相位,d x、dy分別為 x方向和y方向的單元間距,λ為波長(zhǎng),A為激勵(lì)幅度,(θ,φ)為觀察方向在球坐標(biāo)系下的分量。單元的激勵(lì)相位用級(jí)數(shù)展開(kāi),可以表示為

式中wpq為待定系數(shù);Gm(x)、Gn(y)為關(guān)于 x、y的基函數(shù),同樣可以取三角函數(shù)、切比雪夫函數(shù)等;xm、yn為第(m,n)個(gè)單元在陣列中的相對(duì)位置,可以通過(guò)下式確定

通過(guò)(5)式的變換,優(yōu)化變量由φmn轉(zhuǎn)化為wpq,和線陣類似可以起到減少優(yōu)化變量的目的。

2 仿真分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

下面以線陣和平面陣的波束展寬賦形為例,分別采用常規(guī)的以單元激勵(lì)相位為優(yōu)化變量的方法和級(jí)數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行仿真分析。

波束展寬要求在展寬區(qū)滿足給定的增益起伏,在副瓣區(qū)要求小于給定的副瓣電平,同時(shí)還應(yīng)使展寬區(qū)內(nèi)增益盡可能高,因此采用了下面的適應(yīng)度函數(shù)[5]

式(7)中首先對(duì)陣列增益進(jìn)行采樣,i為采樣點(diǎn),fi為第i點(diǎn)的陣列增益。波束展寬區(qū)內(nèi)采樣2S+1點(diǎn),(7)式中第一式對(duì)應(yīng)展寬區(qū)的平均陣列增益,第二式對(duì)應(yīng)最高副瓣電平,第三式對(duì)應(yīng)展寬區(qū)內(nèi)最大的增益起伏,第四式中w1和w2為調(diào)節(jié)參數(shù)。這樣由(7)式確定的適應(yīng)度函數(shù)就兼顧到了主瓣增益、主瓣區(qū)的起伏電平和副瓣電平,因此可以得到很好的優(yōu)化效果。

2.1 線陣的波束展寬仿真

以64元的均勻直線陣為例,單元間距d=λ/2,各單元激勵(lì)幅度為1。要求波束展寬后的波束寬度BW0=8°,最大起伏電平±0.5 dB,相對(duì)最大副瓣電平SLL0=-10 dB,采用唯相加權(quán)賦形,假定相位對(duì)稱。這里采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化賦形。遺傳算法是一種模擬自然界生物進(jìn)化的隨機(jī)搜索算法,遺傳算法按照優(yōu)勝劣汰的原理從上一代種群中選擇優(yōu)秀的個(gè)體,然后利用交叉、變異操作產(chǎn)生新的個(gè)體,逐代演化來(lái)逼近最優(yōu)解。遺傳算法是一種全局優(yōu)化算法,而且對(duì)適應(yīng)度函數(shù)也沒(méi)有特殊要求,非常適合解決唯相加權(quán)波束賦形這類復(fù)雜的非線性優(yōu)化問(wèn)題。

圖1為采用常規(guī)方法賦形的結(jié)果,這時(shí)優(yōu)化變量有32個(gè)。圖2為采用級(jí)數(shù)展開(kāi)法的賦形結(jié)果,級(jí)數(shù)展開(kāi)采用了切比雪夫多項(xiàng)式,根據(jù)(2)式,單元的激勵(lì)相位為

上式中取前6項(xiàng)基函數(shù),因此優(yōu)化變量有6個(gè)。

圖1 采用常規(guī)方法的線陣波束展寬賦形Fig.1 Beam widening of linear array by conventional method

圖2 采用級(jí)數(shù)展開(kāi)法的線陣波束展寬賦形Fig.2 Beam widening of linear array by series expansion method

兩種方法采用的是同樣的適應(yīng)度函數(shù)和同樣的優(yōu)化算法,因此兩種方法的運(yùn)算量是相同的。算法的運(yùn)算速度取決于計(jì)算機(jī)的性能,因此兩種方法的優(yōu)劣只能通過(guò)其收斂曲線判別。圖1(b)和圖2(b)分別為一維線陣常規(guī)方法和級(jí)數(shù)展開(kāi)法的收斂曲線。通過(guò)圖1(b)和2(b)的比較,在收斂到同樣的適應(yīng)度函數(shù)值時(shí),常規(guī)方法需要進(jìn)化近240代,而級(jí)數(shù)展開(kāi)法僅需60代,這表明級(jí)數(shù)展開(kāi)法的收斂速度要明顯快于常規(guī)方法。常規(guī)方法的賦形結(jié)果與級(jí)數(shù)展開(kāi)法的結(jié)果相近,這可以通過(guò)圖1(a)和圖2(a)的比較得出。

2.2 平面陣的波束展寬仿真

以一16×16的矩形柵格排列的平面陣為例,單元間距d x=d y=λ,單元激勵(lì)幅度為1,要求綜合出俯仰和方位面內(nèi)寬度為10°的平頂方向圖,最大起伏電平±1 dB,相對(duì)最大副瓣電平SLL0=-10 dB,采用僅相位加權(quán)賦形,相位對(duì)稱分布。

圖3為采用常規(guī)方法賦形的結(jié)果,這時(shí)優(yōu)化變量有64個(gè)。圖4為采用級(jí)數(shù)展開(kāi)法的賦形結(jié)果,級(jí)數(shù)展開(kāi)采用了切比雪夫多項(xiàng)式,根據(jù)(5)式,單元的激勵(lì)相位為

上式中取P=5,Q=5,共25個(gè)優(yōu)化變量。從圖3(b)和圖4(b)的比較可以看出在收斂到相同的適應(yīng)度函數(shù)值時(shí),常規(guī)方法進(jìn)化了近400代而級(jí)數(shù)展開(kāi)法僅需50代,這表明級(jí)數(shù)展開(kāi)法的收斂速度遠(yuǎn)快于常規(guī)方法。從圖3(a)和圖4(a)的比較可以看出由于常規(guī)方法的優(yōu)化變量太多,在迭代500次后,常規(guī)方法得到的增益要比級(jí)數(shù)展開(kāi)法低1.5 dB。由此可見(jiàn)本文所提出的方法在波束賦形應(yīng)用中的優(yōu)越性。

圖3 采用常規(guī)方法的平面陣波束展寬賦形Fig.3 Beam widening of planar array by conventional method

圖4 采用級(jí)數(shù)展開(kāi)法的平面陣波束展寬賦形Fig.4 Beam widening of planar array by series expansion method

3 級(jí)數(shù)展開(kāi)法波束展寬賦形的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證級(jí)數(shù)展開(kāi)法得到的結(jié)果的有效性,以圖5所示的現(xiàn)有相控陣進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)相控陣為兩行48個(gè)單元的多模喇叭陣列,喇叭尺寸為寬邊三個(gè)波長(zhǎng),窄邊一個(gè)波長(zhǎng)。由于試驗(yàn)相控陣的限制,僅進(jìn)行了E面方向圖展寬賦形,展寬波束寬度設(shè)計(jì)為10°。圖6中給出了測(cè)試結(jié)果與計(jì)算結(jié)果的比較,從圖中可以看出測(cè)試結(jié)果和計(jì)算結(jié)果吻合的很好,主瓣區(qū)內(nèi)的差異主要是由于實(shí)驗(yàn)相控陣各通道間的幅相誤差造成的。

4 結(jié) 論

圖5 實(shí)驗(yàn)相控陣Fig.5 Experimental phased array

圖6 實(shí)驗(yàn)相控陣展寬波束方向圖Fig.6 Widening pattern of experimental phased array

本文發(fā)展了線陣唯相加權(quán)波束賦形級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法,給出了二維平面陣的唯相加權(quán)波束賦形的級(jí)數(shù)展開(kāi)法。級(jí)數(shù)展開(kāi)法通過(guò)減少波束賦形時(shí)優(yōu)化變量的數(shù)量使得波束賦形能夠快速完成。通過(guò)對(duì)線陣和平面陣的波束展寬賦形的仿真分析,表明級(jí)數(shù)展開(kāi)法的收斂速度明顯快于常規(guī)的方法。設(shè)計(jì)進(jìn)行的48元相控陣的實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了由級(jí)數(shù)展開(kāi)法得到的結(jié)果的正確性。

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