模糊同余關(guān)系下的模糊粗糙群的運算

張金玲

(襄樊學院 數(shù)學與計算機科學學院, 湖北 襄樊 441053)

模糊同余關(guān)系下的模糊粗糙群的運算

張金玲

(襄樊學院 數(shù)學與計算機科學學院, 湖北 襄樊 441053)

以群上的模糊正規(guī)子群與群上的完備的模糊同余關(guān)系的對應出發(fā)，研究模糊同余關(guān)系下的模糊粗糙群的若干運算性質(zhì)，補充和豐富模糊集與粗糙集的交叉理論.

模糊正規(guī)子群；模糊同余關(guān)系；模糊粗糙群

Zadeh首先提出了模糊集的概念. 隨后Sanchez利用模糊思想對模糊關(guān)系進行了研究，Nemitz和Murali更將結(jié)果擴展到模糊等價關(guān)系的范疇. 而此后的 Samhan在具有代數(shù)運算的半群基礎(chǔ)上，引進了模糊同余的概念，把模糊等價關(guān)系與一定的代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合研究了商結(jié)構(gòu). 波蘭數(shù)學家Z.Pawlak首先提出了粗糙集理論，此后Pawlak粗糙集模型的推廣一直是粗糙集理論研究的主流方向. 自從1996年Banerjee and Pal.S.K等人在近似空間上定義了模糊集的粗糙集(即粗糙模糊集)后，這方面的推廣工作已有人做了嘗試性研究.

本文在此基礎(chǔ)上，通過群上的模糊正規(guī)子群與群上的完備的模糊同余關(guān)系的對應出發(fā)，研究了模糊同余關(guān)系下的模糊粗糙群的若干運算性質(zhì).

1 預備知識

定義 1.1[1]設G是一個群, 稱G上的模糊等價關(guān)系ρ為G上的一個模糊同余關(guān)系,若ρ滿足: 對? a,b, x ∈ G ,ρ( ax, bx) ≥ ρ( a, b)，ρ(xa, xb )≥ ρ(a, b).

引理 1.1[1]設ρ，θ是群G上的模糊同余關(guān)系，則是群G上的模糊同余關(guān)系的充要條件是.

引理 1.2[1]設ρ是群G上的一個模糊同余關(guān)系，則,?x∈ G 是G的模糊正規(guī)子群，且；反之，設N是群G上的一個模糊正規(guī)子群，在G上定義模糊關(guān)系，則是群G上的一個模糊同余關(guān)系，且，其中，.

于是，G /ρN= {[a ]ρN|? a∈ G} = {a N|? a∈ G}是 ρN關(guān)于群G的一個模糊劃分，稱為群G的一個模糊商集.

定義 1.3[1,6]稱群G上的一個模糊同余關(guān)系ρ稱為是完備的模糊同余關(guān)系, 如果對?a, b∈G，有.

下面給出的定義和結(jié)論都散見于相關(guān)的文獻中，作為后文主要結(jié)果的預備知識.

引理 1.3[1]設N是群G上的一個模糊正規(guī)子群，則由N決定的模糊同余關(guān)系Nρ是完備的模糊同余關(guān)系.

定理 1.1[1]設G是一個群,則群G上的所有的完備的模糊同余關(guān)系與G上的所有的模糊正規(guī)子群之間存在一一對應.

注：本文所提及完備的模糊同余關(guān)系均指由G上的某一模糊正規(guī)子群所決定的完備的模糊同余關(guān)系.

引理1.4[2]設ρ是論域U上的一個模糊同余關(guān)系，則 ?λ∈ [0,1]，= {(a, b) ∈ U × U |ρ( a, b)≥ λ}是U上的一個同余關(guān)系.

定義1.4 設ρ是論域U上的一個模糊等價關(guān)系，稱(U,ρ)為一個模糊近似空間. 對于U上的一個模糊子集A，則的λ?截集和強λ?截集分別定義如下：

引理1.5[3]設(U,)ρ為一個模糊近似空間，對于U上的一個模糊子集A，則

2 模糊粗糙群的運算

群中關(guān)于模糊正規(guī)子群同余的模糊粗糙群有著很好的一些運算性質(zhì).

引理2.1 設ρ，θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系，則Nρ∩θ= Nρ∩ Nθ.

證明 ?a∈ G, Nρ∩θ( a )= (ρ∩θ) (e, a ) =ρ( e, a ) ∩θ(e, a ) =Nρ(a ) ∩Nθ(a )=(Nρ∩Nθ)(a). 所以，.

對應地，有

引理2.1＊設 ρN，ρH是群G上分別由模糊正規(guī)子群N, H決定的模糊同余關(guān)系，則 ρN∩H=ρN∩ ρH.

證明 ?a, b ∈G,(ρ ∩ρ)(a, b )= ρ(a, b ) ∧ρ (a, b ) =N( a?1b ) ∧H( a?1b)=

NH N H (N ∩H )(a?1b)=. 所以，ρ=ρ ∩ ρ.N∩HNH

推論2.1 設 ρN是群G上的由模糊正規(guī)子群N決定的模糊同余關(guān)系，則 ρNρ=ρ.

證明 ?a, b ∈ G,ρNρ(a, b )= Nρ(a?1b ) =ρ(a, b). 所以， ρNρ=ρ.

引理2.2 設ρ，θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系，則?a∈G， a( Nρ∩ Nθ)= aNρ∩ aNθ.證明. 所以，a( Nρ∩ Nθ)= aNρ∩ aNθ.

引理2.2＊設是群G上分別由模糊正規(guī)子群N, H決定的模糊同余關(guān)系，則

證明 ?a∈G，[a ]ρN∩ρH=[a ]ρN∩H=a( N ∩H ) =aN∩aH =[a ]ρN∩[a]ρH. 所以，?a∈G， [a ]ρN∩ρH=[a]ρN∩[a]ρH.

推論2.2 設ρ，θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系，則?a∈G，.

證明 ?a∈ G,[ a ]ρ∩θ= a Nρ∩θ= a ( Nρ∩ Nθ) =(a Nρ) ∩ (aNθ) =[a ]ρ∩[a]θ. 所以，.

定理2.1 設ρ，θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系，則ρ∩θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系.

證明 因為ρ，θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系，所以，ρ，θ分別對應于群G的模糊正規(guī)子群Nρ, Nθ，從而，是群G的模糊正規(guī)子群，于是Nρ∩θ對應的模糊同余關(guān)系ρ∩θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系.

定理2.2 設ρ，θ是群G上的完備的模糊同余關(guān)系，則 ?A ∈ F( G)，則

引理2.3＊設是群G上的分別由模糊正規(guī)子群N, H決定的模糊同余關(guān)系，則 ρNH=ρNρH.

證明 ?a, b ∈ G, z ∈G ，記a?1z = x, z?1b =y ，則 xy=a?1b，且(a, b)=ρNH(a, b)，所以， ρNH=ρNρH.

引理2.4 設ρ，θ是群G上的模糊同余關(guān)系，則?a, b∈G，[a b]ρθ= [ a]ρ[ b]θ.

證明 ?a, b∈G，[ab ]ρθ= a bNρθ= a bNρNθ=aNρbNθ=[a ]ρ[b]θ，所以，[ab ]ρθ= [ a]ρ[ b]θ.

3 結(jié)語

上面所討論的模糊同余關(guān)系下的模糊粗糙群的運算性質(zhì)，可為進一步研究模糊同余關(guān)系下的模糊粗糙群的同態(tài)等結(jié)構(gòu)研究作出必要的準備. 在此后的學習和研究中，作者將致力于這方面的工作.

[1] 謝祥云, 吳明芬. 半群的模糊理論[M]. 北京: 科學出版社, 2005.

[2] KUROKI NOBUAKI, WANG PAUL P. The lower and upper approximations in a fuzzy group[J]. Information Sciences, 1996, 90(1): 203-220.

[3] 張振良, 張金玲, 肖旗梅. 模糊代數(shù)與粗糙代數(shù)[M]. 武漢: 武漢大學出版社, 2007.

[4] IWINSKI T. Algebraic approach to rough sets[J]. Bull. Polish Acad. Math, 1987, 35(2): 673-683.

[5] BISWAS R, NANDA S. Rough groups and rough subgroups[J]. Bull. Polish Acad. Math, 1994, 42(2): 251-254.

[6] 張文修, 吳偉志, 梁吉業(yè), 等. 粗糙集理論與方法[M]. 北京: 科學出版社, 2001.

[7] JACOBSON N. 基礎(chǔ)代數(shù)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.

The Operation of Fuzzy Rough Groups Based on Fuzzy Congruence Relation

ZHANG Jin-ling
(School of Mathematical & Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

In this paper, based on the corresponding relation between fuzzy normal subgroups and complete fuzzy congruence on a group, the operation properties of fuzzy rough groups based on fuzzy congruence relation were studied. Some interesting results were obtained which supplemented and enriched the cross theory concerned with both fuzzy sets and rough sets.

Fuzzy normal subgroups; Fuzzy congruence relation; Fuzzy rough groups

O115

A

1009-2854(2010)05-0005-03

2010-05-07

張金玲(1974— ), 女, 湖北宜城人, 襄樊學院數(shù)學與計算機科學學院副教授.

饒 超)