人血液介電譜Cole-Cole數(shù)學(xué)模型的解析

王 力 馬 青 陳 林 宮 宇 豐明俊

(寧波大學(xué)醫(yī)學(xué)院，寧波 315211)

引言

生物電磁頻譜特性是生物電磁學(xué)研究的基本問題［1］，隨著醫(yī)學(xué)電阻抗成像技術(shù)的發(fā)展，對人體組織電磁特性的研究也成為生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)之一。血液是人體較易獲得的組織，它包括血細(xì)胞和血漿，主要完成運(yùn)輸氧氣和營養(yǎng)物質(zhì)的作用，了解血液的電學(xué)頻譜特性可以幫助我們認(rèn)識電磁場的生物效應(yīng)的機(jī)理以及電磁成像所需的頻譜基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，具有重要的理論意義和潛在的應(yīng)用價(jià)值。在人血液頻譜特性研究方面，相關(guān)學(xué)者研究了1～500 MHz頻段243例健康人紅細(xì)胞介電特性［2］，溫度和細(xì)胞比容對射頻段人全血細(xì)胞介電譜的影響［3－5］，人血液電頻譜特性［6－7］以及利用阻抗譜方法觀察人紅細(xì)胞聚集特性［8－9］等。但是，利用 Cole－Cole方程的數(shù)值計(jì)算，對人血液介電譜、Cole－Cole圖、電導(dǎo)率虛部頻譜、介電損耗因子頻譜和損耗角正切頻譜等五個(gè)圖譜進(jìn)行綜合的曲線擬合研究報(bào)道較少。本研究在分析人血液介電譜的數(shù)據(jù)特征基礎(chǔ)上［10］，應(yīng)用 Cole－Cole 數(shù)學(xué)方程對上述五個(gè)圖譜進(jìn)行了曲線擬合，確定了 Cole－Cole模型參數(shù)，為進(jìn)一步觀察疾病狀態(tài)下(如:貧血、紅細(xì)胞增多癥)血液細(xì)胞介電性質(zhì)變化，提供可借鑒的分析方法。

1 材料與方法

1.1 血液采集

30例受試者為寧波市城區(qū)的干部、工人、公司職員等，其中男性21例，女性9例，共計(jì)70例血液樣本;平均年齡57.5歲(43～72歲)。受試者為無心、腦血管病史的健康成年人，于早晨8～9時(shí)空腹抽取肘靜脈血3～5 mL，加肝素抗凝，待阻抗測量。

1.2 阻抗測量

采用Agilent 4294A阻抗分析儀(Agilent公司，日本)，在104～108Hz、頻率范圍取128個(gè)頻率點(diǎn)，設(shè)定每個(gè)頻率點(diǎn)自動(dòng)循環(huán)掃描測量3次，交流驅(qū)動(dòng)信號源電壓500 mV、電流20 mA。測量池用504膠粘合透明有機(jī)玻璃管與鉑金片構(gòu)成的平行板電容器型Pt電極，電極圓盤直徑13 mm，電極間距10.4 mm，容積約1.38 mL。在25℃經(jīng)過KCl標(biāo)準(zhǔn)溶液校正，測量池常數(shù) CO=0.097 pF、雜散電容 C1=3.13 pF。采用C－G并聯(lián)模式測量128個(gè)頻率的血樣電容C和電導(dǎo)G，為克服在高頻段測量電極產(chǎn)生的電感效應(yīng)，對實(shí)測數(shù)據(jù)(C，G)進(jìn)行了校正:

角頻率 ω=2πf，電極自感系數(shù) L=1.26 nH，根據(jù) ε=Cs/Co和κ=(εν/Co)Gs轉(zhuǎn)換成不同頻率的介電常數(shù)ε和電導(dǎo)率κ，真空介電常數(shù)εv=8.854 pF/m。測量室溫為(25±1)℃。每個(gè)血樣測量時(shí)間 ＜1 min。

1.3 血細(xì)胞壓積測量

將阻抗測量后的血樣加入血細(xì)胞比積管(長度75 mm，外徑1.5 mm)，經(jīng) SH120微量血液離心機(jī)，12000 r/min，5 min離心，測量全血原液柱長L和離心后紅色血細(xì)胞柱長 l，血細(xì)胞壓積 =(l/L)×100%，30例人血液樣本的血細(xì)胞壓積為41.68%±5.19%。

2 Cole－Cole方程及其曲線擬合的殘差分析

2.1 兩項(xiàng)式Cole-Cole方程

生物細(xì)胞介電頻譜可以采用 Cole－Cole方程表征［11］:

式中復(fù)介電常數(shù) ε*= ε － jκ/(ωεv)= ε′－ jε″，ε、κ分別是介電常數(shù)和電導(dǎo)率，j、εv分別是虛部單位和真空介電常數(shù)，ω是角頻率，f是測量頻率，εh是高頻極限介電常數(shù)，Δε1、Δε2分別是第 1、第 2 弛豫的介電增量，β1、β2是第1、第2弛豫分布系數(shù)(0＜β＜1)，κl是低頻極限電導(dǎo)率，ε′、ε″是介電常數(shù)的實(shí)數(shù)部和虛數(shù)部:

采用表1的擬合參數(shù)對人血液介電行為進(jìn)行了曲線擬合分析。在104Hz～108Hz范圍，建立了人血液介電頻譜的數(shù)學(xué)模型參數(shù)。

表1 Cole-Cole方程的曲線擬合數(shù)值Tab.1 Fitting valuesfortheparametersofCole-Cole equation

2.2 人血液細(xì)胞介電頻譜曲線擬合的誤差分析

采用殘差分析方法對圖1～圖3曲線擬合程度進(jìn)行評價(jià)。

在文獻(xiàn)［12］基礎(chǔ)上，對相對殘差(relative residual error)稍作修改，定義為

其中，obs為觀測數(shù)值，theory為理論數(shù)值。在104～108Hz范圍，采用表1參數(shù)對人血液介電頻譜曲線擬合的殘差分析結(jié)果見表2。

3 結(jié)果

3.1 人血液介電譜及其理論擬合

表2 在104～108Hz頻率范圍，人血液介電頻譜Cole-Cole方程曲線擬合的殘差值Tab.2 The residual error of curve fitting for dielectric spectra of human blood with Cole-Cole equation at the frequency range of 104～108Hz

圖1表示血液樣本的血細(xì)胞懸浮液的介電譜，橫坐標(biāo)為外加交流電場頻率f，縱坐標(biāo):左側(cè)是介電常數(shù)ε，用三角點(diǎn)線表示，右側(cè)是電導(dǎo)率κ，表示成方形點(diǎn)線，實(shí)線表示 Cole－Cole公式計(jì)算的理論曲線，工字線是標(biāo)準(zhǔn)差。隨頻率增加，介電常數(shù)ε逐漸減小，電導(dǎo)率κ逐漸增加的頻率譜特征稱為介電弛豫曲線(dielectric dispersion curve)。從圖1看出，在頻率104～105Hz的低頻段，當(dāng)電磁場作用于細(xì)胞外相時(shí)，血液中的細(xì)胞對低頻電場具有高絕緣性和低導(dǎo)電性的電容阻礙作用，介電常數(shù)低頻極限量εl表現(xiàn)為高值，電導(dǎo)率低頻極限量 κl表現(xiàn)為低值，即 κl和εl反映細(xì)胞外血漿的低導(dǎo)電性和高絕緣性;在f=105～107Hz的中頻段，由于細(xì)胞膜上固有偶極子的變化速率低于電場變化速率，當(dāng)外施電場頻率增加時(shí)，介電常數(shù)由高值向低值變化(εL→εh)和電導(dǎo)率由低值向高值變化(κl→κh)的 β介電弛豫特征，β色散譜能夠從宏觀上反映細(xì)胞膜極化電荷的微觀變化以及細(xì)胞膜的容抗特性隨電場頻率的變化規(guī)律［13］，即細(xì)胞膜的電容性充、放電的介電弛豫過程;在頻率f＞107Hz的高頻段，介電常數(shù)高頻極限量εh為低值，電導(dǎo)率高頻極限量κh為高值，說明血液對高頻電場具有低絕緣性和高導(dǎo)電性的容性短路特性，電磁場作用于細(xì)胞內(nèi)部，由此反映出高頻段參數(shù)可以代表細(xì)胞內(nèi)相信息，即 κh和 εh反映細(xì)胞內(nèi)血紅蛋白的導(dǎo)電性和絕緣性。由于低頻段的電極極化(electrode polarization)存在，低頻段介電常數(shù)的理論曲線未能完全吻合，產(chǎn)生了介電常數(shù)殘差R(ε)=0.39%大于電導(dǎo)率殘差 R(κ)=0.13%，但是，R(ε)小于 0.50% 。

圖1 人血液介電常數(shù)和電導(dǎo)率的頻率依賴曲線Fig.1 The frequency dependence of permittivity and conductivity of human blood

3.2 人血液復(fù)數(shù)平面圖及其理論擬合

復(fù)數(shù)平面圖以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的實(shí)部(ε’，κ’)為橫坐標(biāo)，虛部［ε″=(κ － κl)/ωεv，κ″=(ε － εh)ωεv］為縱坐標(biāo)，又稱Cole－Cole圖(圖2)。

圖2 人血液復(fù)數(shù)平面圖。(a)介電常數(shù);(b)電導(dǎo)率Fig.2 The complex plots of human blood.(a)the permittivity;(b)the conductivity

圖2(a)表示人血液介電常數(shù)的復(fù)數(shù)平面圖。圖中隱含著頻率參數(shù)，當(dāng)頻率從低向高增加時(shí)，呈現(xiàn)出從右向左的半圓曲線特征。半圓曲線交橫坐標(biāo)的左截距是高頻極限介電常數(shù)εh，曲線圓弧的右截距是低頻極限介電常數(shù)介電增量 Δε=εl－εh= Δε1+ Δε2=7100，大于大鼠［14］和小鼠［15］血液。圓弧最高點(diǎn)的頻率是第一特征頻率fC1=500 kHz，低于大鼠［14］和小鼠［15］血液，此時(shí)曲線擬合的殘差R(ε″)=0.23% ，產(chǎn)生在低頻段。

圖2(b)代表人血液電導(dǎo)率的實(shí)部κ′與虛部 κ″的關(guān)系曲線，稱復(fù)數(shù)電導(dǎo)率κ*的復(fù)數(shù)平面圖。在0.01～100 MHz頻段，曲線由左向右形成半圓弧特征。曲線圓弧最高點(diǎn)的頻率為第二特征頻率fC2=2.7 MHz，小于大鼠［14］和小鼠［15］血液。圓弧曲線交橫坐標(biāo)的左截距是低頻極限電導(dǎo)率 κl=4.15 mS/cm，小于大鼠［14］和小鼠［15］血液。圓弧曲線交橫坐標(biāo)的右截距是高頻極限電導(dǎo)率κh。在高頻段引起R(κ″)=1.85% 。

3.3 人血液的 ε″、κ″和tgδ頻譜及其理論擬合

圖3(a)是人血液介電損耗因子ε″頻譜。曲線表現(xiàn)單峰特點(diǎn)，主峰頻率對應(yīng)的第一中心特征頻率fC1，其峰值為介電損耗峰值，發(fā)生在 105Hz ～ 106Hz頻率段。圖3(b)表示人全血電導(dǎo)率虛部 κ″=(ε－εh)ωεv與頻率的關(guān)系曲線，呈單峰型，峰頂對應(yīng)的頻率點(diǎn)為第二中心特征頻率 fC2，其峰值產(chǎn)生在106～107Hz頻段。

圖3 人血液 ε″，κ″，tgδ 頻譜。(a)介電損耗因子;(b)電導(dǎo)率虛部;(c)損耗角正切Fig.3 The ε″，κ″and tgδ of human blood.(a)the loss factor;(b)the imaginary part of the conductivity;(c)the loss tangent

圖3(c)表示人血液介電損耗角正切 tgδ=ε″/ε′與電場頻率的關(guān)系曲線，又稱介電損耗角正切頻率譜。曲線接近正態(tài)分布，曲線主峰 tg δmax位于107Hz～108高頻段，表明人血液介電損耗角正切最大值發(fā)生在107Hz以上的高頻段。

4 討論

血液細(xì)胞電特性包括時(shí)域的和頻域的電特性:1)血細(xì)胞時(shí)域電特性主要指血細(xì)胞的跨膜電位和離子電流隨時(shí)間變化的現(xiàn)象。細(xì)胞跨膜電位可通過微電極測量，此方法具有損傷性;跨膜離子電流通過膜片鉗技術(shù)［16］測量，由于血細(xì)胞中紅細(xì)胞占了99%，其形態(tài)較小(直徑為6～8 μm)，而膜片鉗記錄電極尖端為1 μm，如采用全細(xì)胞模式記錄(在電極尖端吸破細(xì)胞膜，記錄全細(xì)胞膜離子電流)，也具有損傷細(xì)胞的缺點(diǎn)。故微電極技術(shù)和膜片鉗技術(shù)，不太適合于血液細(xì)胞電特性研究。2)血細(xì)胞頻域電特性研究，利用血細(xì)胞不產(chǎn)生動(dòng)作電位(主動(dòng)響應(yīng))的特點(diǎn)，使用非損傷性的細(xì)胞外電極，將變頻交流電場施加于血液，由于血液細(xì)胞屬于不均勻的電介質(zhì)，細(xì)胞膜將細(xì)胞外血漿與細(xì)胞內(nèi)血紅蛋白分開，構(gòu)成具有不同電特性(介電常數(shù)和電導(dǎo)率)的細(xì)胞外相－細(xì)胞膜相－細(xì)胞內(nèi)相的三相兩界面(細(xì)胞外液－細(xì)胞膜界面、細(xì)胞膜－細(xì)胞質(zhì)界面)結(jié)構(gòu)。當(dāng)外加電場作用于細(xì)胞時(shí)，界面限制電荷的轉(zhuǎn)移導(dǎo)致電荷積累，在兩種電特性不相同的介質(zhì)間發(fā)生了界面極化現(xiàn)象，稱為 Maxwell－Wagner 效應(yīng)［17］，此效應(yīng)在交流電磁場作用于生物細(xì)胞時(shí)普遍存在。通過交流阻抗方法測量被動(dòng)極化的血細(xì)胞介電頻譜的弛豫曲線，結(jié)合Cole－Cole數(shù)學(xué)模型的非線性數(shù)值計(jì)算來獲取血液細(xì)胞的頻域電特性(如:介電常數(shù)、電導(dǎo)率和特征頻率等)是研究細(xì)胞被動(dòng)電特性的常用方法。

4.1 全血細(xì)胞介電譜

血液細(xì)胞在外加交流電場的激勵(lì)下，隨著電場頻率的增加，其介電常數(shù)逐漸減小和電導(dǎo)率逐漸增加的介電弛豫的頻率譜特征構(gòu)成了血細(xì)胞介電譜。由于血液細(xì)胞膜是由脂質(zhì)和蛋白質(zhì)為主體構(gòu)成的，具有近乎絕緣的電性質(zhì)，在104～108Hz范圍，血液介電行為表現(xiàn)為β弛豫散射。在外交流電場作用下，電荷移至并儲存在細(xì)胞和細(xì)胞液(細(xì)胞外液、細(xì)胞內(nèi)液)的相界面，破壞了原有的雙電層而形成新的電荷的非均勻分布，這種電荷不對稱構(gòu)造正好像兩個(gè)平行電極板間夾著電介質(zhì)物質(zhì)的電容器，這一特性引起了血液細(xì)胞在低頻時(shí)呈現(xiàn)高阻抗、低導(dǎo)通的電容阻斷狀態(tài)，經(jīng)過中頻段的細(xì)胞膜充放電，向高頻的低阻抗、高導(dǎo)通的容性短路狀態(tài)的弛豫變化過程。此過程采用兩項(xiàng)式 Cole－Cole方程的模擬仿真，具有兩個(gè)亞弛豫分布系數(shù)(β1和 β2)、兩個(gè)亞弛豫介電增量(Δε1和 Δε2)、兩個(gè)亞弛豫散射特征頻率(fC1和fC2)。由此可見，β色散譜能夠從宏觀反映細(xì)胞膜的極化電荷的微觀變化情況。

4.2 人血液復(fù)數(shù)平面圖

圖2中，理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的擬合程度極高，表明兩項(xiàng)式Cole－Cole方程仿真參數(shù)設(shè)定的合理性，其主要原因在于:1)當(dāng)交流電場作用在血漿與細(xì)胞膜的界面時(shí)，電荷積累的極化過程表現(xiàn)為第一個(gè)特征性圓弧，在圓弧最高處頻率點(diǎn)是第一特征頻率fC1，反映此交界面的介電弛豫的中心特征頻率，見圖2(a)所示;2)當(dāng)交流電場作用在細(xì)胞膜與細(xì)胞內(nèi)血紅蛋白的交界面時(shí)，產(chǎn)生的極化弛豫過程表現(xiàn)為第二個(gè)圓弧特征，圓弧曲線最高處頻率點(diǎn)是第二特征頻率fC2，反映細(xì)胞膜相與細(xì)胞內(nèi)相弛豫的中心特征頻率(圖2b)。在104～108Hz范圍的血液細(xì)胞介電譜具有兩個(gè)亞弛豫色散，表現(xiàn)出兩個(gè)中心特征頻率。通過繪制Cole－Cole復(fù)平面圖，能夠比較直觀的得出血液細(xì)胞的中心特征頻率。中心特征頻率(fC1、fC2)是細(xì)胞對交流電磁場響應(yīng)的標(biāo)志性參數(shù)，也是細(xì)胞頻域電生理特性的特色性指標(biāo)，具有重要的生理學(xué)意義和學(xué)術(shù)價(jià)值。

4.3 血液細(xì)胞的 ε″、κ″和 tgδ 頻譜

血液細(xì)胞的 ε″頻譜、κ″頻譜和 tgδ頻譜均呈單峰狀。圖3a的ε″頻譜反映當(dāng)外加電場頻率等于血液感應(yīng)偶極子的最大介電吸收頻率fC1時(shí)，偶極損耗達(dá)到最大值形成介電損耗峰，它主要產(chǎn)生在細(xì)胞外相－細(xì)胞膜相的交界面，fC1表征此界面的頻率響應(yīng)特性。圖3b的峰值頻率反映細(xì)胞膜相－細(xì)胞內(nèi)相界面的頻響特性。δ是介電損耗角，它表征介質(zhì)損耗的能量與其貯存能量之比，通常以介質(zhì)損耗角正切 tgδ=ε″/ε表示。從圖3c得出血液細(xì)胞 tg δ頻譜峰值 tg δmax發(fā)生在高頻段。

通過對以上五幅圖進(jìn)行的數(shù)值擬合和綜合分析得出:血液細(xì)胞介電弛豫效應(yīng)滿足 Cole－Cole公式;經(jīng)過曲線擬合建立的Cole－Cole介電參數(shù)(表1)能夠反映血液細(xì)胞對交變電場介電響應(yīng)的數(shù)據(jù)特征，可以反映出血液細(xì)胞的頻域被動(dòng)電生理學(xué)特征。

5 結(jié)論

本研究通過兩項(xiàng)式 Cole－Cole數(shù)學(xué)方程的非線性數(shù)值計(jì)算，對10 kHz～100 MHz人血細(xì)胞懸浮液介電弛豫進(jìn)行了曲線擬合的殘差分析，結(jié)論如下:1)人血液細(xì)胞介電行為可以利用 Cole－Cole數(shù)學(xué)方程，通過介電頻譜、Cole－Cole圖、介電損耗因子頻譜、電導(dǎo)率虛部頻譜及損耗角正切頻譜等5個(gè)頻譜進(jìn)行綜合分析，且曲線擬合程度良好，總擬合殘差＜3%。2)經(jīng)過曲線擬合建立的 Cole－Cole介電參數(shù)能夠反映人全血對交變電場介電響應(yīng)的規(guī)律和血液細(xì)胞頻域電生理學(xué)數(shù)據(jù)特征，具有重要的生理意義?？蛇M(jìn)一步探討鐮狀細(xì)胞貧血(sickle cell anemia)、缺鐵性貧血(iron deficiency anemia)、遺傳性溶血性貧血(hereditary hemolytic anemia)、紅細(xì)胞增多癥(polycythemia)的血液細(xì)胞頻域電特性變化，為臨床診斷應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

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