例說(shuō)數(shù)學(xué)課堂的類(lèi)比創(chuàng)新教學(xué)

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(海鹽高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300) (臺(tái)州市第一中學(xué) 浙江臺(tái)州 318000)

例說(shuō)數(shù)學(xué)課堂的類(lèi)比創(chuàng)新教學(xué)

●王鵬鋒●湯香花

(海鹽高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300) (臺(tái)州市第一中學(xué) 浙江臺(tái)州 318000)

1 問(wèn)題的提出

翻開(kāi)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)教科書(shū)，首先呈現(xiàn)的是教材的主編、北京師范大學(xué)劉紹學(xué)教授撰寫(xiě)的“主編寄語(yǔ)”.在這篇寄語(yǔ)中，劉先生對(duì)為什么要學(xué)數(shù)學(xué)，如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)等問(wèn)題提出了自己的看法，并建議：在對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)正確認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，要摸索自己的學(xué)習(xí)方法學(xué)數(shù)學(xué)，做到類(lèi)比地學(xué)、聯(lián)系地學(xué).既要從一般概念中看到它的具體背景，不使概念“空洞”，又要在具體例子中想到它蘊(yùn)含的一般概念，以使事物有“靈魂”．在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，該如何類(lèi)比、聯(lián)系一般概念與具體背景呢？

2 一個(gè)教學(xué)片斷

不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀存在的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容．建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問(wèn)題是同樣重要的．在處理問(wèn)題的方式、方法上,兩者是否具有相似性？學(xué)生能否利用數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)習(xí)類(lèi)比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，不斷提高數(shù)學(xué)思維能力？為此，筆者設(shè)計(jì)以下題組：

1.(1)已知x=2，y=3，求x+y與x-y的值；

(2)已知x+y=5，x-y=-1，求x與y的值．

2．(1)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足1≤x≤2，3≤y≤4，求x+y與x-y的取值范圍；

(2)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足4≤x+y≤6，-3≤x-y≤-1，求x與y的取值范圍．

對(duì)于這2個(gè)問(wèn)題，學(xué)生的看法是：第(2)小題是第(1)小題的逆運(yùn)算，問(wèn)題2是由問(wèn)題1類(lèi)比得到的，因此不等式的解題方法可以參考等式的解題方法．但在嘗試解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生們提出疑問(wèn)：在等式運(yùn)算中，條件與結(jié)論可以交換，但在不等式運(yùn)算中，當(dāng)結(jié)論變?yōu)闂l件時(shí)，所得結(jié)論卻與原來(lái)的條件不同，解題方法正確嗎？

問(wèn)題意識(shí)指的是學(xué)生面臨需要解決的問(wèn)題時(shí)的一種清醒、自覺(jué)，并伴之以強(qiáng)烈的困惑、疑慮及想要去探究的內(nèi)心狀態(tài)．正是這種內(nèi)心狀態(tài)驅(qū)使著學(xué)生積極地思維，不斷地產(chǎn)生解決問(wèn)題的辦法，不斷地提出新的問(wèn)題．

生B：類(lèi)比加減消元法解方程，得到y(tǒng)的取值范圍縮小了．

師：x與y的取值范圍能繼續(xù)縮小嗎？

類(lèi)比地學(xué)，能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，有助于學(xué)生批判性地思考，幫助學(xué)生重建知識(shí)結(jié)構(gòu)．

生C：采用特值法．

這說(shuō)明生B的解答是正確的．

因此

1≤x-y≤3，

與已知-3≤x-y≤-1矛盾，這說(shuō)明生A的解答是不正確的．

利用相等關(guān)系去分析不等關(guān)系，學(xué)生容易理解，但又產(chǎn)生了新的問(wèn)題：在不等式的解題過(guò)程中，生A的每一個(gè)步驟都很合理，解答為什么是不正確的？

提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度去看舊的問(wèn)題，有助于學(xué)生聯(lián)系地學(xué)，從而找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)．

生D：在等式中，x與y的值是確定的，可以通過(guò)代入x的值去求y的值．而在不等式中，x與y之間存在的是一種不等關(guān)系，當(dāng)x取得最大(小)值時(shí)，y并不能同時(shí)取得最大(小)值．生A解法的問(wèn)題正在于此，由于忽略了x與y的相互制約關(guān)系，所得出的取值范圍比實(shí)際的范圍要大．生B的解法整體上保持了x與y的相互制約關(guān)系，從而得出的范圍是準(zhǔn)確的．

3 體驗(yàn)學(xué)習(xí)方法

筆者認(rèn)為，學(xué)生要獲取重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的方法，做到類(lèi)比地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)．

3.1 問(wèn)題拓展

在不等式求解過(guò)程中，必須在整體上保持x與y的相互制約關(guān)系，即根據(jù)不等式的性質(zhì)，將所求代數(shù)式用已知代數(shù)式表示．因此學(xué)生容易將問(wèn)題拓展為：

已知4≤x+y≤6，-3≤x-y≤-1，求3x+4y的取值范圍．

解法1由

3x+4y=

可得

解法2設(shè)3x+4y=m·(x+y)+n·(x-y)，

則

解得

3.2 問(wèn)題創(chuàng)新

聯(lián)系等式中的運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方，學(xué)生會(huì)類(lèi)比不等式的加減運(yùn)算性質(zhì)，嘗試得到不等式的乘、除、乘方、開(kāi)方的運(yùn)算性質(zhì)，將問(wèn)題創(chuàng)新為：

類(lèi)比加減運(yùn)算的解法，學(xué)生嘗試將問(wèn)題化歸為如何在整體上保持x與y的相互制約關(guān)系，即根據(jù)不等式的性質(zhì)，將所求代數(shù)式用已知代數(shù)式表示．得到如下解題過(guò)程：

因?yàn)?/p>

又

所以

學(xué)生通過(guò)體會(huì)各種運(yùn)算之間的聯(lián)系與區(qū)別，總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，在課堂生成中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究的方法．

3.3 問(wèn)題延伸

例1設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx有2個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].

(1)求b,c滿(mǎn)足的約束條件，并在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出滿(mǎn)足這些條件的點(diǎn)(b,c)的區(qū)域；

(2009年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題Ⅰ)

解(1)略．

(2)由題意得

又

(2)

消去b可得

因?yàn)?/p>

x2∈[1,2]，且c∈[-2,0],

所以

另解由題意得

x1+x2=-2b,x1·x2=c,

因?yàn)閤1∈[-1,0],x2∈[1,2],所以