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    高維空間中一類正多面體的構(gòu)造與其體積

    2010-11-22 01:35:28
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2010年3期
    關(guān)鍵詞:單位向量歸納法維數(shù)

    林 磊

    (華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200241)

    高維空間中一類正多面體的構(gòu)造與其體積

    林 磊

    (華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200241)

    確定了在n維歐幾里德空間中兩向量間夾角均大于等于90度的非零向量組中向量的最大個數(shù),進(jìn)而確定了向量間夾角大于90度時的最大個數(shù).由此導(dǎo)出了n維歐幾里德空間中正n+1面體的構(gòu)造與其體積公式.

    正n+1面體;體積;n維歐幾里德空間

    在2006年華東師范大學(xué)攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題《高等代數(shù)》中有這樣一道填空題:

    如果α1,α2,…,αm是n維歐幾里德空間中一組非零向量,且滿足(αi,αj)≤0,?i≠j,則m的最大值是___________.

    我們首先來給出這道題的解答.

    解 m的最大值是2n.

    設(shè)m的最大值是t.令e1,…,en是n維歐幾里德空間V的任一規(guī)范正交基,即該組基滿足(ei,ej) =δi,j,i,j=1,…,n,則取V中2n個非零向量±e1,±e2,…,±en.容易看出這一向量組滿足題目的要求,于是得t≥2n.

    下面我們通過對維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法來證明t=2n.

    n=1時.若至少存在3個滿足性質(zhì)的非零向量α1,α2,α3∈V,則因dimV=1,故存在非零k,l∈,使得α2=kα1,α3=αl1.由于

    而(α1,α1)>0,因此k<0.同理得l<0.于是,(α2,α3)=kl(α1,α1)>0,這與條件(α2,α3)≤0相矛盾.故t≤2,從而t=2.于是,n=1時結(jié)論成立.

    假設(shè)n=k-1時結(jié)論成立,我們要證n=k時結(jié)論也成立(k>1).由上面的討論可知,只要證明在V中不存在2k+1個非零向量α1,α2,…,α2k+1,使得(αi,αj)≤0,?i≠j.假設(shè)α1,α2,…,α2k+1是V中滿足性質(zhì)的非零向量組,令α=α2k+1,W=(α)⊥,則W是V的k-1維子空間.設(shè)βi是αi在W中的正交投影,i=1,2,…,2k,則存在ki∈,使得αi=βi+kαi,i=1,2,…,2k.由于

    故ki≤0.某些βi可能等于0,由于αi≠0,故此時必有ki<0.若存在i≠j,使βi=βj=0,則(αi,αj) =(kiα,kjα)=kikj(α,α)>0,矛盾.故至多只能有一個βi等于0.不妨設(shè)β1,β2,…,β2k-1均不為0,則由于

    所以β1,β2,…,β2k-1是k-1維歐幾里德空間W中滿足性質(zhì)的非零向量組.但是由于這些向量共有2k-1個,這就與n=k-1時的歸納假設(shè)相矛盾.于是這樣的2k+1個非零向量α1,α2,…,α2k+1不存在,故n=k時結(jié)論也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知,該結(jié)論對任何n都成立.

    如果將上述問題中不同的向量間的內(nèi)積“≤0”的條件改為“<0”,情況會更加有趣,而討論將更為復(fù)雜.

    命題1 設(shè)α1,α2,…,αm是n維歐幾里德空間V中的向量,滿足(αi,αj)<0,對任意i≠j,則m的最大值等于n+1.

    證先證在V中存在滿足命題條件的n+1個向量.從而得m的最大值大于等于n+1.我們對V的維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法來構(gòu)造性地證明滿足命題條件向量組的存在性.

    當(dāng)n=1時,設(shè)α是V的基,則α1=α,α2=-α就是滿足條件的向量組.

    假設(shè)n=k-1時滿足條件的向量組存在,現(xiàn)在來考慮dimV=n=k>1的情形.在V中任取一單位向量,記作αk+1.考慮W=(αk+1)⊥,則W是k-1維的歐幾里德空間.根據(jù)歸納假設(shè),在W中存在k個向量β1,…,βk,使得(βi,βj)<0,對任意i≠j成立.于是,這些向量均非零,所以,不妨設(shè)它們都是單位向量.令則a>0.取實數(shù)l,使得0<l<a,則對任意i≠j,有 l2<-(βi,βj).取αi=βi-lαk+1,i=1,…,k,則

    從而α1,…,αk,αk+1就是滿足條件的向量組.于是,由歸納假設(shè)知,對任意的n維歐幾里德空間V,存在滿足條件的向量組.

    下面我們?nèi)詫的維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法來證明V中滿足命題條件的向量組最多只有n+1個,從而證得命題.

    對于1維歐幾里德空間,設(shè)α是V的基,αi=liα,i=1,2,3是V中任意3個非零向量,則非零實數(shù)l1,l2,l3中必有兩個數(shù)是同號的,不妨設(shè)它們是l1,l2,從而(α1,α2)=l1l2(α,α)>0.于是,在V中不存在向量個數(shù)大于2的滿足條件的向量組.

    假設(shè)V的維數(shù)等于k-1時,不存在k+1個滿足條件的向量組.考慮dimV=k>1時的情形.用反證法.假設(shè)V中存在k+2個非零向量β1,…,βk+2,滿足(βi,βj)<0,對任意i≠j.令W=(βk+2)⊥,則W是V的k-1維子空間.令αi為βi在W上的正交投影,i=1,…,k,k+1,則βi=αi-lβik+2,其中l(wèi)i∈,i =1,…,k,k+1.由于(βi,βk+2)=(αi-lβik+2,βk+2)<0,故li>0,i=1,…,k,k+1.若有某個αi=O,則存在另一j≠i,使得(βi,βj)=(-lβik+2,αj-lβjk+2)=lilj(βk+2,βk+2)>0,這與假設(shè)矛盾.因此,α1,α2,…, αk+1是W中的非零向量組,且(αi,αj)=(βi,βj)-lilj(βk+2,βk+2)<0,對任意i≠j,i,j=1,…,k+1.這與維數(shù)等于k-1時的歸納假設(shè)相矛盾.從而易得:當(dāng)V的維數(shù)等于k時,不存在k+2個滿足命題條件的非零向量.由數(shù)學(xué)歸納法得結(jié)論成立.

    事實上,我們還有比命題1更強(qiáng)的結(jié)論.

    命題2 在n維歐幾里德空間V中,存在n+1個單位向量α1,…,αn+1,使得對任意i≠j,(αi,αj)= -

    證該命題的證明與上述命題中存在性部分的證明相近.仍對V的維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.

    當(dāng)n=1時,設(shè)α是V的任一單位向量,則α1=α,α2=-α即滿足要求.

    假設(shè)當(dāng)n=k-1時結(jié)論成立,則當(dāng)n=k>1時,任取一單位向量α∈V,考慮W=(α)⊥,在k-1維歐幾里德空間W上,由歸納假設(shè),存在k個單位向量β1,…,βk,使得(βi,βj)=-,對任意i≠j.取則

    設(shè)P0P1…Pn是n維歐幾里德空間中的一個正n+1面體,則該正多面體的頂點間的距離都是相同的.故可取P1(1,0,…,0),P2(0,1,…,0),…,Pn(0,0,…,1).可知它們?nèi)蝺牲c間的距離相等,都等于2.現(xiàn)設(shè)P0=(a,a,…,a),則由|P0P1|=|P1P2|=2得

    為計算Ωn(在n中)的體積,先考慮由向量確定的平行2n面體Ω的體積|Ω|.由n級行列式的幾何意義(參見[2,P97])得,Ω的有向體積等于下列行列式D的值

    或等價地,因為Ωn就是n維空間中由P1,P2,…,Pn,P0張成的單純形,所以根據(jù)[3,P319]中關(guān)于單純形的體積公式,其體積為

    由于正n+1面體Ωn的棱長等于2,于是我們有

    定理3 在n維歐幾里德空間中,棱長為a的正n+1面體的體積

    最后考慮一些特例:取n=2,在平面上,邊長等于a的正三角形的面積等于a2.取n=3,在三維空間中,棱長等于a的正四面體的體積等于在四維空間里,棱長等于a的正五面體的體積等于.而在七維空間中,棱長等于a的正八面體的體積等于注意到此時a7的系數(shù)為有理數(shù).

    [1] 日本數(shù)學(xué)會.數(shù)學(xué)百科辭典(第2版)(中譯本)[M].北京:科學(xué)出版社,1984.

    [2] 陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2000.

    [3] 數(shù)學(xué)手冊[M].北京:高等教育出版社,1979.

    O151.24

    C

    1672-1454(2010)03-0181-04

    2007-10-30

    上海市重點學(xué)科(B407)以及國家級精品課程“高等代數(shù)與解析幾何”建設(shè)項目資助

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