一維緊鄰時(shí)間隨機(jī)環(huán)境下可逗留隨機(jī)游動(dòng)的有關(guān)性質(zhì)

宋明珠

(銅陵學(xué)院教務(wù)處,安徽銅陵 244000)

一維緊鄰時(shí)間隨機(jī)環(huán)境下可逗留隨機(jī)游動(dòng)的有關(guān)性質(zhì)

宋明珠

(銅陵學(xué)院教務(wù)處,安徽銅陵 244000)

給出了可數(shù)狀態(tài)空間中時(shí)間隨機(jī)環(huán)境下可逗留隨機(jī)游動(dòng)的一個(gè)統(tǒng)一模型,對于一維緊鄰時(shí)間隨機(jī)環(huán)境下的隨機(jī)游動(dòng),在一定的條件下,討論它的極限性質(zhì)和中心極限定理,該結(jié)論類似于空間隨機(jī)環(huán)境下的隨機(jī)游動(dòng)的有關(guān)結(jié)論.

時(shí)間隨機(jī)環(huán)境;隨機(jī)游動(dòng);極限定理;中心極限定理

1 引言與定義

自從Solomem[1]最早引入一維獨(dú)立空間隨機(jī)環(huán)境下隨機(jī)游動(dòng)的概念以來,該理論一直是人們熱點(diǎn)研究的問題.Kalicow[2]給出了該隨機(jī)游動(dòng)在d維,一般環(huán)境下的統(tǒng)一模型,并得到了其常返暫留準(zhǔn)則.近年來出現(xiàn)了一大批有關(guān)該模型下的隨機(jī)游動(dòng)的各種極限理論,Zetouni[3]參考前人的結(jié)果,整理成一套完整的體系,其內(nèi)容包括常返暫留準(zhǔn)則、強(qiáng)大數(shù)定律、中心極限定理、大偏差原理等.在該理論完善的同時(shí),Cogburn[4]和Orey[5]等人發(fā)展了另一類隨機(jī)環(huán)境下的馬氏鏈的理論,與Zetouni[3]中空間隨機(jī)環(huán)境不同的是,他們討論的是時(shí)間隨機(jī)環(huán)境.本文在前人的基礎(chǔ)上給出了一維緊鄰時(shí)間隨機(jī)環(huán)境下隨機(jī)游動(dòng)(簡稱時(shí)間RWIRE)的統(tǒng)一模型,并在一定條件下,給出其相關(guān)性質(zhì).

時(shí)間RWIRE的定義主要包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：首先是環(huán)境,它是隨著時(shí)間的推移而得到的一列隨機(jī)變量,但不隨空間位置的變化而變化;其次是在給定的環(huán)境下隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率由環(huán)境決定的非齊次馬氏鏈.現(xiàn)在考慮其統(tǒng)一的模型.對任何正整數(shù)i∈,令Ui表示X上支撐為V的概率全體,其中X為可數(shù)空間,V?X.稱Ui中任一元素為時(shí)刻i的轉(zhuǎn)移律,它指的是一個(gè)函數(shù)ρi:X→[0,1]且滿足

(a)ρi(x)≥0,?x∈V;

(b)ρi(x)=0,?x?V;

對任意的w∈Ω,定義在時(shí)間環(huán)境w下的隨機(jī)游動(dòng)Xn,n≥0是以X為狀態(tài)空間,轉(zhuǎn)移概率為下式?jīng)Q定的隨機(jī)變量序列:

現(xiàn)令X=Z,Z為整數(shù),V={-1,0,1},則由該X和V,按上述的定義可以得到一個(gè)時(shí)間隨機(jī)游動(dòng),稱此時(shí)間RWIRE為一維緊鄰時(shí)間RWIRE,即對環(huán)境w={(αn,γn,βn),n≥0},有

在給定的環(huán)境下,Xn,n≥0為非齊次的馬氏鏈,其轉(zhuǎn)移概率依賴于最近的位置和環(huán)境,而環(huán)境只與時(shí)間有關(guān).

以下恒設(shè)Xn,n≥0是一維緊鄰的時(shí)間RWIRE.

2 極限性質(zhì)的證明

令Tn=min{k≥0;Xk=n},τn=Tn-Tn-1,n≥1,T-n,τ-n定義類似.

引理1 若對幾乎所有的環(huán)境,Xn,n≥0在此環(huán)境下某一性質(zhì)成立,則一維緊鄰時(shí)間RWIRE幾乎必然具有此性質(zhì).

3 中心極限定理的證明

引理5[8]設(shè)環(huán)境ω關(guān)于P是獨(dú)立同分布的,

[1] Solomon F.Random walks in random enviroment[J].Ann.Prob.,1975,3(1)：1-31.

[2] Kalikow S.A generalized random walks in random environments[J].Ann.prob.,1981,9：735-768.

[3] Zetonui O.Lecture notes on RWRE[DB].2001,available at http：www.wee.technion.ac.il/aeitouni/ps/notesl.ps.

[4] Cogburn R.The ergodic tehory of Markov chains in random environments[J].Z.Wahrsch.Verw.Gebiete.,1984, 66(2)：109-128.

[5] Orey S.Markov chains with stochastically transtion probabilities[J].Ann.prob.1991,19(3)：907-928.

[6] 張曉敏,等.時(shí)間隨機(jī)環(huán)境下的隨機(jī)游動(dòng)的漸進(jìn)行為[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2004,17(2)：295-300.

[7] Stone C J.The growth of a random walk[J].Ann.Math.Statist.,1969,40：2203-2206.

[8] 吳文忠.隨機(jī)環(huán)境中一維緊鄰隨機(jī)游動(dòng)的極限性質(zhì)[D].安徽師范大學(xué),2005.

Some Properties for One-dimensional Nearest-neighbor Random Walks in Time-Random Environments

SON G Ming-zhu
(Educational Administration Office of Tongling University,Tongling,Anhui 244000,China)

A general model of random walk in time-random environments in any denumerable space is given in this paper,in the case of one-dimensional nearest-neighbor random walk,we derive limit theorem and acenter limit theorem of this random walk under some conditions,which are similar to the corresponding results in the case of classical random walk.

time-random environments;random walks;limit theorem;center limit theorem

O211.62

A

1672-1454(2010)03-0084-04

2007-09-04;[修改日期]2008-02-29

銅陵學(xué)院院級科研項(xiàng)目(2009tlxy23)