涉及Noor多重積分算子的解析函數(shù)的中間定理

魏 麗, 劉名生

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

涉及Noor多重積分算子的解析函數(shù)的中間定理

魏 麗, 劉名生*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

解析函數(shù); Noor積分算子; 多重變換; 從屬關(guān)系; 超屬; 中間定理

的函數(shù)所形成的函數(shù)類. 特別地, 記A=A(1).

f(0)=g(0),f(U)?g(U).

令ψ:3×U→并且h(z)、p(z)在U內(nèi)解析. 如果p(z)和φ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z)在U內(nèi)單葉,且滿足(二階)微分超屬

h(z)φ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z),

(1)

那么函數(shù)p(z)被稱為微分超屬式(1)的一個(gè)解. 對(duì)于U內(nèi)的解析函數(shù)q(z), 如果對(duì)任意滿足式(1)的p, 都有qp,則稱解析函數(shù)q(z)為微分超屬解的一個(gè)從屬或者就簡(jiǎn)稱為一個(gè)從屬.如果單葉函數(shù)滿足: 對(duì)式(1)的任一從屬q, 都有q則稱為最佳從屬.

(2)

記Dα: A→A, 定義算子Dαf(z), 使

其中“*”是Hamard乘積, 即

顯然D0f(z)=f(z),D1f(z)=zf′(z), 算子Dnf(z)被稱為f(z)的n階Ruscheweyh導(dǎo)數(shù).

(3)

則

文獻(xiàn)[2]、[3]研究了算子Inf(z). 下面引進(jìn)一種特殊的算子,定義如下:

(4)

(5)

1 定義和引理

在研究過(guò)程中, 我們需要下面的定義和結(jié)論.

θ(p(z))+zp′(z)φ(p(z))

θ(q(z))+zq′(z)φ(q(z)),

則p(z)q(z), 且q(z)是最佳控制.

ψp(z)+γzp′(z)ψq(z)+γzq′(z),

則p(z)q(z),且q(z)是最佳控制.

q(z)+γzq′(z)p(z)+γzp′(z),

則q(z)p(z),且q(z)是最佳從屬.

2 解析函數(shù)的從屬關(guān)系

定理1 設(shè)q(z)在U內(nèi)單葉,且0<α<1. 假設(shè)q(z)滿足

(6)

(1-n

(7)

其中冪函數(shù)取主值(下同), 則

且q(z)是最佳控制.

證明令

(8)

則由假設(shè)得p(z)是U內(nèi)的解析函數(shù). 利用式(5),由式(8)可得

于是由定理1的條件(7), 可得如下從屬關(guān)系:

在定理1中令n=1,得到如下推論.

推論1 令q(z)在U內(nèi)單葉,且0<α<1. 假設(shè)q(z)滿足式(6).如果fA, 且滿足U{0})和

(1-

則

且q(z)是最佳控制.

(9)

如果

則

且q(z)是最佳控制.

證明令

則p(z)是在U內(nèi)解析, 于是由式(5), 經(jīng)過(guò)計(jì)算得

取θ(w)=1和φ(w)=γ/w(w≠0),顯然θ在內(nèi)解析和φ在{0}內(nèi)解析且

并且, 我們令

且

由式(9)可知Q(z)在U內(nèi)單葉, 且

因此應(yīng)用引理1, 我們即證得定理成立.

(10)

則

且q(z)是最佳控制.

由定理已知條件知:

和

由式(10)知Q(z)是在U內(nèi)的星像函數(shù)且

則應(yīng)用引理1, 定理3得證.

3 解析函數(shù)的超屬關(guān)系

定理4 設(shè)q(z)為U內(nèi)的凸單葉函數(shù),且q(0)=1,,α>0. 假設(shè)fA滿足R{}>0, 且

(11)

令(1-n在U內(nèi)單葉解析. 如果f滿足:

n

(12)

則

且q(z)是最佳從屬.

證明令

則由式(11)知p(z)是U內(nèi)的解析函數(shù), 于是直接計(jì)算可得

n

由式(12)和引理3, 定理得證.

類似于定理4的證明, 我們得到下面的定理.

定理5 令q(z)是在U內(nèi)的凸單葉函數(shù),且q(0)=1,和0≤β≤1.假設(shè)fA且滿A∩Q .定義函數(shù):

ψ(n,β,δ;z)=1+α{→

(13)

如果ψ(n,β,δ;z)在U內(nèi)單葉, 且

1+ψ(n,β,δ;z),

則

且q(z)是最佳從屬.

應(yīng)用引理4, 我們可以得到下面的定理.

成立, 則

q(z),

且q(z)是最佳從屬.

由已知條件知:

令θ(w)=αw,φ(w)=γ/w(w≠0). 很容易知道θ(w)在內(nèi)解析且φ(w)在{0}內(nèi)解析, 且當(dāng)w{0}時(shí),φ(w)≠0. 另外,

應(yīng)用引理4, 定理得證.

4 中間定理

比較微分從屬和微分超屬的結(jié)論, 我們可以進(jìn)一步得到如下中間定理.

定理7 令q1(z)在U內(nèi)是凸單葉函數(shù)和q2(z)在U內(nèi)是單葉函數(shù),且q1(0)=q2(0)=1,且0<α<1.假設(shè)q1(z)滿足R{}>0且q2(z)滿足式(6). 如果式(11)成立,

(1-n

在U內(nèi)單葉. 若

nq2(z)+z(z),

則

且q1(z)、q2(z)分別是最佳從屬和最佳控制.

定理8 令q1(z)在U內(nèi)是凸單葉函數(shù)和q2(z)在U內(nèi)是單葉函數(shù),且q1(0)=q2(0)=1,α、≠0且0≤β≤1. 假設(shè)q2(z)滿足式(9),令fA∩Q . 定義函數(shù)ψ(n,β,δ;z)為式(13)且在U內(nèi)是單葉的. 如果:

則

且q1(z)、q2(z) 分別是最佳從屬和最佳控制.

在U內(nèi)單葉, 且

成立, 則

q1(z)q2(z)，

且q1(z)、q2(z)分別是最佳從屬和最佳控制.

注2 在定理9中取n=p=α=γ=1,δ=0, 便得文獻(xiàn)[9]中的相應(yīng)結(jié)果.

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Keywords： analytic functions; Noor integral operator; multiplier transformation; subordination; superordination; sandwich theorem

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

SANDWICHTHEOREMSOFANALYTICFUNCTIONSINVOLVINGNOOR-MULTIPLIERINTEGRALOPERATOR

WEI Li, LIU Mingsheng

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

2009-01-09

國(guó)家教育委員會(huì)博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20050574002)

魏麗(1985—)，女, 江西南昌人,華南師范大學(xué)2007級(jí)碩士研究生,Email: weiliflower@163.com；劉名生(1965—)，男, 江西大余人, 博士, 華南師范大學(xué)教授,Email:liumsh@scnu.edu.cn.

*通訊作者

1000-5463(2010)02-0009-05

O174.51

A