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    不可導(dǎo)點(diǎn)的一些注記

    2010-11-07 08:41:26谷振濤白俊霞劉琦
    中國科技信息 2010年14期
    關(guān)鍵詞:假想極值最值

    谷振濤白俊霞劉琦

    1.山東英才學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 250104;2.膠南市科學(xué)技術(shù)局 266400

    不可導(dǎo)點(diǎn)的一些注記

    谷振濤1白俊霞1劉琦2

    1.山東英才學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 250104;2.膠南市科學(xué)技術(shù)局 266400

    對(duì)于高等數(shù)學(xué)中求極值或最值部分,需要研究函數(shù)在定義域內(nèi)的不可導(dǎo)點(diǎn),來確定其是否為極值點(diǎn)或最值點(diǎn)。因此,如何快速來確定函數(shù)在哪些點(diǎn)不可導(dǎo)就顯得尤為重要。該文對(duì)于如何快速確定函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)給出了一些辦法。

    不可導(dǎo)點(diǎn);導(dǎo)數(shù);最大值

    高等數(shù)學(xué)中無論是求極值、最值還是判斷單調(diào)區(qū)間都需要考察函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。如何快速準(zhǔn)確地判定所考察的函數(shù)在哪些點(diǎn)不可導(dǎo),這需要一些行之有效的辦法,而不能僅靠直覺。

    1、用導(dǎo)函數(shù)的定義域來判定不可導(dǎo)點(diǎn)

    當(dāng)x≠0時(shí),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

    當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在.在(-∞,0)內(nèi),y’<0,因此函數(shù)在 (-∞,0]上單調(diào)減少.在(0,+∞)內(nèi),y’> 0,因此函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)增加。

    在上例的求解過程中通常教材中都不會(huì)具體給出如何判定x=0是不可導(dǎo)點(diǎn),可以默認(rèn)通過定義進(jìn)行判斷該點(diǎn)不可導(dǎo)。

    2、用導(dǎo)數(shù)的定義來判定不可導(dǎo)點(diǎn)

    這種判定方法顯得直接,而容易操作,但是這里也有一個(gè)難點(diǎn),如何先判定哪些點(diǎn)可能是不可導(dǎo)點(diǎn),然后才能對(duì)這些可疑的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)定義來判斷在該點(diǎn)函數(shù)是否可導(dǎo)。這里的預(yù)先劃定懷疑范圍也會(huì)帶來一些麻煩,如果可疑點(diǎn)是可導(dǎo)點(diǎn),則似乎我們做的定義判別是無用功,因此用導(dǎo)數(shù)定義來判斷一個(gè)點(diǎn)是否是可導(dǎo)點(diǎn),針對(duì)一些具體的題目是可以的.但是通常在一些較為綜合的題目中,這個(gè)方法就顯得很笨拙。

    解 利用導(dǎo)數(shù)的定義

    下面看一個(gè)較為綜合的題目。

    在這個(gè)題目中,我們其實(shí)可以憑直覺,得到x=1,x=2很可能是不可導(dǎo)點(diǎn),然后可以用定義來判定其是否為不可導(dǎo)點(diǎn)。

    但是在這樣一個(gè)綜合性的題目中,我們用定義來判定不可導(dǎo)點(diǎn),顯得既麻煩,又沒有效率,但是求最大值的規(guī)則要求我們必須驗(yàn)證這些點(diǎn)的身份。(當(dāng)然這個(gè)題目我們?yōu)榱饲蟮米钪?,不需要?yàn)證x=1, x=2是否可導(dǎo)點(diǎn),直接將其作為可疑最值點(diǎn)與端點(diǎn)和駐點(diǎn)進(jìn)行比較即可)。

    我們自然尋求一些便于判斷函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的快捷辦法。

    3、假想延拓法判定不可導(dǎo)點(diǎn)

    討論函數(shù)在x=1處是否可導(dǎo),利用(1)式.我們假想

    則其在(-3,1.5)上的導(dǎo)函數(shù)為f’(x) =2x-3。當(dāng)然導(dǎo)函數(shù)在x=1處的形式也是f’(x)=2x-3,因此立即得知函數(shù)f(x)=x2-3x+2在x∈[-3,1]左可導(dǎo),且

    利用(2)式,假想

    則在(0.5,2)上的導(dǎo)函數(shù)為f’(x) =-2x+3。當(dāng)然導(dǎo)函數(shù)在x=1處的形式也是f’(x)=-2x+3,因此,立即得知函數(shù)f(x) =-x2+3x-2,x∈[1,2]在x=1右可導(dǎo),且。

    于是我們得到在x=1處左右導(dǎo)數(shù)存在不相等,因此函數(shù)在x=1處不可導(dǎo),類似可得函數(shù)在x=2處也不可導(dǎo)。

    注意:雖然假想延拓法看似復(fù)雜,但是理解其內(nèi)涵之后,運(yùn)用起來相當(dāng)簡單,另外假想延拓法也要注意一些條件,比如函數(shù)在所討論點(diǎn)連續(xù),在該點(diǎn)的左右鄰域里均是初等函數(shù)。

    4、關(guān)于以上方法的比較應(yīng)用

    例4 設(shè)函數(shù)

    為了使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo),a,b應(yīng)該取何值。

    解法一:據(jù)已知f(x)在x=1處可導(dǎo),因此

    因而必有a+b-1=0以及a=2,由此解得b=-1。

    解法二:據(jù)已知函數(shù)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo),因此在x=1處左右導(dǎo)數(shù)均存在.根據(jù)假想延拓法知函數(shù)在x=1處左導(dǎo)數(shù)為f’_(1)=2,于是再根據(jù)假想延拓法知函數(shù)在x=1處右導(dǎo)數(shù)為f’+(1)=a=f’_(1) =2再根據(jù)函數(shù)在x=1處連續(xù),得a+b=1,解得b=-1

    顯然應(yīng)用假想延拓法能迅速解決問題。

    [1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(第六版)[M]. 上海: 同濟(jì)大學(xué)出版社.2007.

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社. 2001.

    TPO172.1

    10.3969/j.issn.1001-8972.2010.14.105

    谷振濤(1982-),男,山東萊蕪人,山東大學(xué)在職碩士研究生,助教,主要從事研究方向:高等數(shù)學(xué),數(shù)值分析,數(shù)學(xué)建模.

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