一類二階變系數(shù)線性微分方程的新解法

丁 楠

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 滁州239000）

一類二階變系數(shù)線性微分方程的新解法

丁 楠

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 滁州239000）

本文研究了二階變系數(shù)線性微分方程的解法.通過尋找特解和變量代換的辦法得到了一種新的求解一類二階變系數(shù)線性微分方程通解的方法.

二階變系數(shù)線性微分方程，特解，通解

0 引言

二階線性微分方程具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，在文獻(xiàn)［1］中，作者對二階常系數(shù)線性微分方程的通解求法作了詳細(xì)介紹，但對二階變系數(shù)線性微分方程通解，沒有提供太多的求法.討論二階變系數(shù)線性微分方程的解法，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的能力和解題能力.本文通過尋找特解和變量代換的方法得到了二階變系數(shù)線性微分方程通解的求法.

1 主要結(jié)果

設(shè)n階變系數(shù)線性非齊次微分方程

對應(yīng)的齊次方程為

定理1 若方程（2）的特解為Y＊（x），則方程（1）的通解為Y（x）＝u（x）Y＊（x）.

定理2 對于n階變系數(shù)線性齊次方程

有以下結(jié)論：

（1）若an－1（x）＋xan（x）＝0，則特解為y＝x；

（2）若a0（x）＋a1（x）＋… ＋an（x）＝0，則特解為y＝ex；

（3）若（－1）na0（x）＋（－1）n－1a1（x）＋…＋an（x）＝0，則特解為y＝e－x；

（4）若rna0（x）＋rn－1a1（x）＋…＋an（x）＝0，則特解為y＝erx.

上述尋找特解的方法要求系數(shù)要滿足一定的條件，有時(shí)并不好實(shí)現(xiàn).而對于一些二階變系數(shù)線性微分方程可通過變量代換化為常系數(shù)方程，從而很容易求解.

考慮二階變系數(shù)齊次線性微分方程

令t＝u（x），則

代入方程（3）得

若系數(shù)p（x），q（x）滿足：

（a）u″（x）＋p（x）u＇（x）＝0；

（b）［u＇（x）］2＋λq（x）＝0，其中λ為常數(shù)，

則整理（a），（b）得，e－2∫p（x）dx＋λq（x）＝0.這樣，我們就證明了以下結(jié)果.

2 應(yīng)用舉例

例1 求方程xy″＋2（1－x）y＇＋（x－2）y＝2ex的通解.

解因?yàn)閤＋2（1－x）＋（x－2）＝0，則方程有特解y1＝ex.于是，方程有形如y＝u（x）ex的通解.將y＝u（x）ex代入方程得

即

解方程（4）得

例2 求方程

xy″＋（2x＋1）y＇＋（x＋1）y＝（x2＋x－1）e－x的通解.

解 因?yàn)閤－（2x＋1）＋（x＋1）＝0，則方程有特解y1＝e－x.于是，方程有形如y＝u（x）e－x的通解.將y＝u（x）e－x代入方程得

即

解方程（5）得

于是，原方程的通解為

例3 解方程y″－y＇cotx＋4ysin2x＝0

代入方程得

即

方程（6）為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為y＝c1cos2t＋c2sin2t.故原方程的通解為

例4 解方程xy″－y＇－4x3y＝x3ex2

解p（x）＝－1／x，q（x）＝－4x2.顯然，存在常數(shù)λ＝1／x，使得e－2∫p（x）dx＋λq（x）＝0.令t＝x2，則

代入方程得

即

3 結(jié)論

本文討論的仍然是一些具有特殊形式的二階變系數(shù)線性微分方程，對于一般形式的二階變系數(shù)線性微分方程的求解還有待于進(jìn)一步研究.

［1］王高雄.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006：120－156.

［2］陳惠汝，劉紅超.二階變系數(shù)線性微分方程的變量代換解法［J］.高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，21，（3）：21－22.

［3］張金戰(zhàn).二階變系數(shù)線性微分方程的特解［J］.甘肅高師學(xué)報(bào)，2007，12（2）：14－15.

［4］周 玲，張玲玲.關(guān)于二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法［J］.安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，25（3）：11－13.

［5］孟紅麗，李文清.一類二階變系數(shù)齊次線性微分方程的通解［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，35（4）：726－729.

［6］范小勤，李金洋.變系數(shù)二階線性微分方程的求解［J］.高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，22（3）：41－42.

A New Solution to a Class of Second Order Linear Differential Equations with Variable Coefficients

Ding Nan
（Department of Mathematics，Chuzhou University，Chuzhou 239000，China）

In this paper，we present a new method of solving a class of second order linear differential equations with variable coefficients by means of searching special solution and variable substitution.

second order linear differential equations with variable coefficients；special solution；general solution

O175.1

：A

：1673－1794（2010）05－007－02

丁 楠（1981－），女，碩士，講師，研究方向：微分方程穩(wěn)定性理論。

安徽省應(yīng)用數(shù)學(xué)省級教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目，滁州學(xué)院院級教學(xué)項(xiàng)目（2009jyy025）

2010－06－15