平衡損失下帶約束的回歸系數(shù)的線(xiàn)性容許估計(jì)

曹明響, 孔繁超

(1.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽 合肥 230061;2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230039)

設(shè)有線(xiàn)性模型為:

其中,X為n×p階列滿(mǎn)秩陣;β∈Rp和σ2＞0為未知參數(shù);D(e)表示隨機(jī)變量e的方差。回歸系數(shù) β的最小二乘估計(jì)?β ?(X′X)-1X′Y 定義為使

達(dá)到最小的d值,最小值是建立后模型的一種擬合優(yōu)度。對(duì)于?β的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),人們主要是從估計(jì)的精度來(lái)考慮它的優(yōu)良性。從統(tǒng)計(jì)判決理論角度看,就是在損失函數(shù)

下,選取使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小的估計(jì)。作為(2)式和(3)式2種標(biāo)準(zhǔn)的綜合,文獻(xiàn)[1]提出了一個(gè)新的稱(chēng)為平衡損失函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn),即

其中,w∈[0,1]已知。(4)式既考慮了估計(jì)的精度,又考慮了模型擬合的優(yōu)良程度,所以它是一個(gè)更全面和合理的標(biāo)準(zhǔn)。

采用(4)式研究一些特定估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)已有一些結(jié)果,如文獻(xiàn)[2～4]等。文獻(xiàn)[5]對(duì)(1)式在(4)式下,得到了回歸系數(shù)的線(xiàn)性容許估計(jì)的充要條件。然而在實(shí)際問(wèn)題中,回歸系數(shù)通常帶有某些約束;文獻(xiàn)[6]研究了(5)式在(4)式下,回歸系數(shù)的線(xiàn)性容許估計(jì)的充要條件,但所給的結(jié)論有誤。

本文給出了正確的結(jié)論,并利用矩陣的向量化方法[7]研究了帶線(xiàn)性約束的多元線(xiàn)性模型在矩陣形式的平衡損失函數(shù)下,回歸系數(shù)的線(xiàn)性估計(jì)的可容許性[8]。

本文采用如下記號(hào):對(duì)任意矩陣A,A′、A-1、A-、rk A,tr A和 Μ(A)分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置、逆矩陣、廣義逆矩陣、秩、跡和A的列向量組成的線(xiàn)性空間。vec(A)表示將A的各列拉直所成的向量,稱(chēng)為A的向量化。A?B表示矩陣A和B的Kronecker乘積,A≥B表示A-B為非負(fù)定陣。

對(duì)于模型

其中,H為 l×p階矩陣,其他記號(hào)與(1)式中相同。

取線(xiàn)性估計(jì)類(lèi):

下面給出文獻(xiàn)[6]中的正確結(jié)論作為引理,它們的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

引理1 在(4)式和(5)式下,BY是β在 Λ Η中容許估計(jì)的充要條件是:

引理2 在(4)式和(5)式下,BY+a是β的在Λ Ι中容許估計(jì)的充要條件是(6)、(7)式和 a∈Μ((BX-Ip)(I-PH′))同時(shí)成立 ,其中 :

1 預(yù)備知識(shí)

考慮帶線(xiàn)性約束的多元線(xiàn)性模型為:

其中,Y、ε是n×q階隨機(jī)陣;X為n×p階列滿(mǎn)秩陣;p×q階矩陣 Θ和σ2＞0均為未知參數(shù);C為k×p階矩陣。取線(xiàn)性估計(jì)類(lèi)階常數(shù)陣},和 Dp×q均為常數(shù)陣}。對(duì)于(8)式,(4)式不再適用。這里給出矩陣形式的平衡損失函數(shù)為:

且相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為:

由于比較矩陣大小的標(biāo)準(zhǔn)有多種,這里給出其中一種最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)。

定義1 設(shè)G1(Y),G2(Y)都是參數(shù) Θ的估計(jì),若對(duì)任意滿(mǎn)足C Θ=0的 Θ有:

利用矩陣的向量化運(yùn)算,將(8)式轉(zhuǎn)化為一元線(xiàn)性模型為:

引理3

證明 僅證(1),(2)的證明類(lèi)似。由于

《全唐詩(shī)》中唐代明確涉及隋堤柳意象的詩(shī)歌有80余首,但從詩(shī)歌的創(chuàng)作時(shí)間上來(lái)看,初盛中晚各時(shí)段顯得十分不均衡。早在貞觀(guān)時(shí)期,唐太宗《春池柳》即有“年柳變池臺(tái),隋堤曲直回”[注]彭定求等:《全唐詩(shī)》(增訂本)卷1,北京:中華書(shū)局,1999年,第15頁(yè)。 的詩(shī)句,但這還不能算是明確的隋堤柳詩(shī)歌意象。整個(gè)初盛唐近140年的時(shí)間里,除了個(gè)別詩(shī)人,隋堤柳并未納入唐代詩(shī)人的抒情視野。直到安史之亂后,相關(guān)作品才開(kāi)始涌現(xiàn)。

由(11)式可得:

再由(11)式可得:

從而引理3得證。

證明 記 PX=X(X′X)-1X′,若 (Iq?A)vec(Y)∈Λ2Η,則易得:

由于

從而可得它們的風(fēng)險(xiǎn)之差為:

且(16)式對(duì)所有σ2＞0和滿(mǎn)足的 Θ都成立,等號(hào)恒成立當(dāng)且僅當(dāng)A=APX。

2 主要結(jié)果

由引理1可得:

其中

從而由矩陣的向量化運(yùn)算可得:

定理1得證。

由引理3的(2)和引理2,使用類(lèi)似定理1中的證明方法,可得下面的定理2。

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