阻尼對地鐵引起地面振動計算的影響

李守繼, 樓夢麟

(1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院,安徽合肥 230009;2.同濟大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室,上海 200092)

0 引 言

近年來,隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展,一方面,地鐵在城市交通中得到愈來愈廣泛的應(yīng)用[1];另一方面,由于生活水平的提高,人們對環(huán)境要求愈來愈高。因此,地鐵對環(huán)境的影響越來越大。地鐵運行引起的振動雖不致造成建筑物結(jié)構(gòu)破壞,但可能造成裝飾物開裂脫落;較大振動會影響人們的生理和生活,影響精密儀器等對振動敏感設(shè)備的正常工作[2]。因此,地鐵振動對環(huán)境的影響引起人們越來越廣泛的關(guān)注,受到各國研究人員的高度重視[3]。

同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室振動與地面運動觀測室曾多次利用ALTUS-K2測振儀,在上海多條地鐵周邊場地進行了現(xiàn)場振動測量,獲得地鐵引起地面振動的加速度時程記錄。結(jié)果表明,地鐵引起地基土振動的頻率成分非常復(fù)雜,主要為中高頻振動[4]。

目前,人們在進行結(jié)構(gòu)動力計算分析時,阻尼多采用Rayleigh比例阻尼模型[5],該模型采用2個控制頻率來確定阻尼比例系數(shù)。一般來說,在土層動力反應(yīng)的時域計算中,多采用土層的低階自振頻率,特別是第1階自振頻率來確定 Rayleigh比例阻尼模型中的2個比例系數(shù)。這一方法應(yīng)用于較淺土層地震反應(yīng)的計算是可行的,已有研究[6]表明,在深覆蓋土層地震反應(yīng)分析中采用這一方法時,存在嚴重低估土層地震反應(yīng)的可能性。這是因為土層地震反應(yīng)計算中輸入地震波的主要成分的迫振頻率遠高于土層的基頻,以土層基頻來確定的Rayleigh比例阻尼矩陣將大幅提高高階振型的阻尼比,抑制高階振型對土層地震反應(yīng)的貢獻。類似地,在計算由地鐵運行引起的土層振動分析中也同樣存在激振頻率遠高于土層或地下結(jié)構(gòu)低階自振頻率的情況,如何合理確定阻尼矩陣是應(yīng)重視的問題。本文試圖應(yīng)用Caughey阻尼模型[7]與 Rayleigh阻尼模型來討論阻尼模型在地鐵引起土層振動分析中的影響。

1 Caughey阻尼模型

1.1 阻尼比與頻率的關(guān)系

人們進行結(jié)構(gòu)動力計算分析時,之所以采用(1)式所示的 Rayleigh阻尼矩陣[7],是為了滿足正交條件,從而使求解動力方程時能夠解耦。

式中,系數(shù)a0和a1由2個控制頻率確定。

而由結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可組合成無數(shù)個滿足正交條件的矩陣?？梢宰C明,自由振動振型關(guān)于k(m-1k)b矩陣和m(m-1k)b矩陣均正交,因此正交的阻尼矩陣(用矩陣形式表示)可寫成如下形式:

式中,ab為任意系數(shù);當 b取任意項,即形成Caughey阻尼公式。當b僅取0和1兩項時,即得(1)式所示的Rayleigh阻尼公式。

又第n振型的廣義阻尼為:

當阻尼由(2)式給出時,由(3)式可得:

則

比較(3)式和(4)式,有:

取b為0及其附近的共i個整數(shù),并給定相應(yīng)的i個阻尼比ξi和相應(yīng)的ωi,則利用(5)式解得對應(yīng)的i個ab值。利用解得的ab值,可建立以頻率 ω為自變量,ξ為因變量的函數(shù),即

1.2 阻尼比隨頻率變化特征

為討論2種阻尼模型對不同振型阻尼比的影響,假定振動體系各階振型的實際阻尼比是相同的,所考察的振動體系的振型阻尼比分別為0.01、0.03和 0.05三種情況。

圖1所示繪出采用 Rayleigh阻尼模型(即i=2,b分別取0和1)時,由(6)式描述的振型阻尼比隨頻率變化的曲線,其中對應(yīng)控制頻率分別取 ω1=2π?1,ω2=2π?80。采用 Caughey阻尼模型時,取 i=7,b分別為 -1、0、1、2、3、4 和 5,對應(yīng)控制頻率分別取 ω1=2π?1,ω2=2π?2,ω3=2π?10,ω4=2π?30,ω5=2π?50,ω6=2π?70 和ω7=2π?80,則由(6)式描述的振型阻尼比隨頻率變化的曲線如圖2所示。

圖1 由2個基本頻率決定的阻尼比-頻率曲線

圖2 由7個基本頻率決定的阻尼比-頻率曲線

1.3 控制頻率的確定

由上述曲線可見,阻尼比-頻率曲線波動大小與控制頻率個數(shù)、兩相鄰控制頻率之間的間距大小和控制起始頻率大小等因素有關(guān)?？刂祁l率的個數(shù)i太少,如取2個控制頻率,即Rayleigh比例阻尼時,控制頻率之間部分的計算阻尼比小于實際的振型阻尼比,如圖1所示。顯然,當結(jié)構(gòu)以控制頻率之間的頻率振動時,振動反應(yīng)計算值比實際反應(yīng)值要小。

一般來說,兩相鄰控制頻率之間的間距越大,其間阻尼比誤差越大。但當控制頻率的個數(shù)i太大時,又會出現(xiàn)與實際不符的阻尼比小于零的情況。

綜上計算分析,對于0～80 Hz頻率范圍的振動,按圖2所示選取的7個控制頻率來確定振動體系的阻尼矩陣比較合適。由此建立的Caughey阻尼模型為:

式中,系數(shù)ai由 7個控制頻率 f-1=1 Hz、f0=2 Hz、f1=10 Hz、f2=30 Hz、f3=50 Hz、f4=70 Hz和f5=80 Hz按(8)式得到。

2 算 例

下面通過工程實例來驗證。利用上海典型土層參數(shù),建立包括地鐵隧道在內(nèi)的分層土層有限元計算模型。采用Caughey阻尼和Rayleigh阻尼2種方法,計算比較在地鐵引起復(fù)雜頻率振動的激勵下,土層的振動響應(yīng)。

2.1 土層計算參數(shù)、激勵和計算方法

2.1.1 計算參數(shù)

考慮比較結(jié)果的相對性及便于計算,將上海市典型土層計算參數(shù)[8]按厚度加權(quán)進行適當歸并,并且取深度為150 m得表1所列。表中平均剪切模量是根據(jù)彈性波傳播理論指出的剪切波速vs、介質(zhì)剪切模量G和介質(zhì)彈性模量E之間存在下列關(guān)系[9],計算得到:

式中,ρ為介質(zhì)密度;μ為泊松比。

2.1.2 激 勵

輸入激勵為對地鐵引起的軌道實測豎向振動加速度,時程取時間步長為0.005 s而得到,時程曲線如圖3所示,圖4所示為其Fourier幅值譜。

表1 土層計算參數(shù)

2.1.3 計算方法

由建立的Caughey阻尼模型和土層有限元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣[10],利用Newmark逐步積分法計算土層有限元各節(jié)點的位移、速度和加速度響應(yīng)。

2.2 計算模型

根據(jù)施工工程所在地的上海地鐵一號線某處隧道橫截面尺寸[11](如圖5所示)和前述土層計算參數(shù)等,建立土層二維有限元計算模型,如圖6所示。

考慮對稱性、計算條件并忽略另一方向行駛列車隧道的影響,計算模型為以豎向?qū)ΨQ軸的整體模型的一半,橫向尺寸取300 m,豎向尺寸取150 m,滿足模型最小范圍應(yīng)取3H ×H(H為基巖深度)的要求[12]。模型底部為固定約束;對稱軸,即圖6所示模型右邊界,僅水平方向約束;左邊界無約束。

圖3 激勵加速度時程曲線

圖4 激勵加速度Fourier幅值譜曲線

圖5 地鐵隧道橫截面圖

圖6 土層有限元計算模型示意圖

2.3 計算結(jié)果及分析

表2列出計算土層前10階自振頻率;表3列出圖6所示土層表面A點、B點(距A點30 m)、C點(距A 點60 m)、D點(距A 點90 m)和 E點(距A點120 m),阻尼分別按(7)式Caughey阻尼和Rayleigh阻尼算得的振動響應(yīng)峰值加速度。

表2 計算土層自振頻率

表3 計算節(jié)點峰值加速度 m/s2

圖7和圖8分別繪出圖6所示土層表面A點和E點,按Caughey阻尼(圖中記為柯西阻尼法)和Rayleigh阻尼(圖中記為瑞雷阻尼法)算得的豎向振動響應(yīng)加速度時程曲線。

計算分析表明,按Caughey阻尼方法計算得到的地面位移、速度和加速度響應(yīng)均要比按Rayleigh阻尼方法算得的結(jié)果大;按2種阻尼方法算得的A點、B點、C點、D點和E點豎向振動位移最大誤差分別為 3%、9%、18%、31%和38%;速度最大誤差分別為 11%、26%、45%、64%和52%;加速度最大誤差分別為34%、46%、59%、67%和72%;相同情況下,加速度誤差比位移和速度誤差均要大。

圖7 A點豎向振動響應(yīng)加速度時程曲線

圖8 E點豎向振動響應(yīng)加速度時程曲線

3 結(jié) 論

本文利用2種阻尼模型,計算分析了地鐵引起地面振動的位移、速度和加速度響應(yīng)。計算結(jié)果表明:

(1)對于頻率分布較廣的中高頻振動,需合理選擇控制頻率來確定阻尼比,從而使振動在整個頻率范圍內(nèi)的阻尼比與事先確定的控制阻尼比之差滿足要求。

(2)當土體受到頻率分布較廣的中高頻振動激勵,計算土體響應(yīng)時,阻尼采用傳統(tǒng)的Rayleigh阻尼,將會使計算結(jié)果偏小。

(3)目前,計算地鐵引起土體的振動響應(yīng),多采用Rayleigh阻尼。本文首次嘗試利用Caughey阻尼計算地鐵引起土體的振動響應(yīng)。由于地鐵振動頻率分布非常廣,土體特性復(fù)雜,如何選擇更符合實際的阻尼模型還有待進一步深入研究。

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