一維常系數(shù)對(duì)流方程的步長(zhǎng)定律和固有差分格式

李 娟

(北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院,北京100081)

一維常系數(shù)對(duì)流方程的步長(zhǎng)定律和固有差分格式

李 娟

(北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院,北京100081)

由常用差分格式得出的差分余項(xiàng)中的奇數(shù)次冪項(xiàng)和偶數(shù)次冪項(xiàng)分別會(huì)產(chǎn)生彌散(色散或頻散)和耗散效應(yīng)。但是利用泰勒展開(kāi)式并且使差分余項(xiàng)為零,可以得出一維常系數(shù)對(duì)流方程的步長(zhǎng)定律和固有差分格式,結(jié)論也適用于解類(lèi)似的變系數(shù)雙曲型方程和擬線(xiàn)性雙曲型方程。

偏微分方程;雙曲型方程;對(duì)流方程;數(shù)值解法;差分格式

雙曲型方程的一些常用數(shù)值解差分格式得出的差分方程會(huì)有差分余項(xiàng)存在,因此差分格式計(jì)算出的數(shù)值解有誤差。雖然可以采用更復(fù)雜、精度更高的差分格式來(lái)降低誤差,但是這樣仍然存在計(jì)算量大和誤差這兩個(gè)問(wèn)題,所以有必要尋求完全表示原微分方程的差分方程。通過(guò)利用泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開(kāi)[1],并且促使差分余項(xiàng)為零,可以解決因差分余項(xiàng)引起的彌散(色散或頻散)和耗散效應(yīng),使數(shù)值解與解析解保持一致。

1 Lax-Friedrichs差分格式的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開(kāi)

一維常系數(shù)對(duì)流方程:

其中u=u(x,t),a為常數(shù)且不為零。Lax-Friedrichs差分格式[2]:

其中,τ為時(shí)間步長(zhǎng),h為空間步長(zhǎng)。即得:

設(shè)u=u(x,t)是原微分方程(1)的光滑解,并且都在u(xi,tn)處由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得:

將上述三式代入(2)式中,并整理得:

2 差分余項(xiàng)的消除

由原微分方程(1)得:

將(4)式代入(3)中,并整理得:

R(xi,tn)即為差分余項(xiàng)。當(dāng)a2τ2-h2=0時(shí),R(xi,tn)=0,那么由差分方程(2)式得到的微分方程(5)等價(jià)于原微分方程(1)。分別將aτ=h和aτ=-h代入(2)式中得:當(dāng)aτ=h時(shí),=;當(dāng)aτ=-h時(shí),。實(shí)際上,也可以通過(guò)采用這種方法對(duì)迎風(fēng)格式(upwind)、Lax-Wendroff格式和Beam-Warming格式進(jìn)行分析從而得出相同的結(jié)果。

3 結(jié)論

一維常系數(shù)對(duì)流方程的固有差分格式:

對(duì)于?u/?t+a(x,t)?u/?x=0這樣的變系數(shù)雙曲型方程,雖然特征線(xiàn)dx/dt=a(x,t)是一條曲線(xiàn),但是u的值沿特征曲線(xiàn)保持不變,所以若已知a(x,t),那么將同一條特征線(xiàn)上相鄰兩時(shí)刻點(diǎn)的相對(duì)斜率(△x/△t)作為當(dāng)前步長(zhǎng)內(nèi)的常數(shù)a值,在每步內(nèi)看作常系數(shù)雙曲型方程,這樣計(jì)算出的值即為準(zhǔn)確解。對(duì)于?u/?t+u?u/?x=0這樣的擬線(xiàn)性雙曲型方程,滿(mǎn)足a=u0,即由初值確定常數(shù)a的一系列不同的一維對(duì)流方程,每一點(diǎn)仍可用常系數(shù)對(duì)流方程來(lái)解。

4 應(yīng)用

例 設(shè)方程

滿(mǎn)足邊界條件:u(1,t)=u(111,t)=0和初始條件:

解 選取τ=h=a=1,依據(jù)一維常系數(shù)對(duì)流方程的固有差分格式得t=0、t=43和t=86時(shí)x軸上各點(diǎn)的u值分別如圖1、圖2和圖3所示。

圖1 t=0時(shí)各點(diǎn)的u值

圖2 t=43時(shí)各點(diǎn)的u值

圖3 t=86時(shí)各點(diǎn)的u值

5 總結(jié)

本文得出一維常系數(shù)對(duì)流方程數(shù)值解法的步長(zhǎng)定律和固有差分格式,解決了其他差分格式因差分余項(xiàng)帶來(lái)的誤差,結(jié)果對(duì)于解類(lèi)似的簡(jiǎn)單變系數(shù)雙曲型方程和擬線(xiàn)性雙曲型方程也適用。實(shí)際上,差分方程穩(wěn)定與不穩(wěn)定的邊界就是原微分方程。

[1] 惲壽榕,涂候杰,梁德壽,等.爆炸力學(xué)計(jì)算方法[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1995:63-65.

[2] 陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社,2004:45-54.

O241.82

A

1671-2544(2010)03-0029-02

2010-03-03

李 娟(1984— ),男,湖北廣水人,北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院碩士研究生。