基于實(shí)物期權(quán)的房地產(chǎn)項(xiàng)目投資決策模型

柯小玲，諸克軍，刁鳳琴

（中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，武漢 430074）

1 實(shí)物期權(quán)的基本思想

從本質(zhì)上講，實(shí)物期權(quán)是以期權(quán)概念定義的企業(yè)對投資的選擇權(quán)，即企業(yè)在面對一個(gè)未來項(xiàng)目時(shí)，有權(quán)利而非義務(wù)去決定是否投資[1]。相對金融期權(quán)，實(shí)物期權(quán)的標(biāo)的物不再是股票、外匯、期貨等金融資產(chǎn)，而是投資項(xiàng)目等實(shí)物資產(chǎn)，實(shí)物期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格就是投資項(xiàng)目的成本，實(shí)物期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格對應(yīng)于投資項(xiàng)目未來所能產(chǎn)生的現(xiàn)金流，到期時(shí)間為距最后決策點(diǎn)的時(shí)間。同金融期權(quán)一樣，實(shí)物資產(chǎn)的市場價(jià)格（項(xiàng)目的凈現(xiàn)值）是隨著市場變化而波動(dòng)的。當(dāng)市場價(jià)格（項(xiàng)目凈現(xiàn)值）大于執(zhí)行價(jià)格（投資成本）時(shí)，企業(yè)便執(zhí)行該期權(quán)，即選擇投資；當(dāng)市場價(jià)格（項(xiàng)目的凈現(xiàn)值）小于執(zhí)行價(jià)格（投資成本）時(shí)，企業(yè)便放棄、延遲或收縮投資。因此，實(shí)物期權(quán)不僅是一種與金融期權(quán)類似的處理投資靈活性的技術(shù)方法，更是一種思維方法。

2 模型的基本假設(shè)條件

由于實(shí)際問題比較復(fù)雜，為了使房地產(chǎn)投資決策模型可行，還需要做一些基本的假設(shè)。根據(jù)實(shí)物期權(quán)基本理論的要求，提出以下幾項(xiàng)基本假設(shè)：

（1）風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)。在實(shí)物期權(quán)定價(jià)中風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)是非常重要的，因?yàn)闆Q策者的主觀偏好可能會(huì)導(dǎo)致企業(yè)價(jià)值的扭曲，因此在房地產(chǎn)投資實(shí)物期權(quán)模型中使用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)是必要的。

（2）簡化代理假設(shè)。本文假設(shè)房地產(chǎn)項(xiàng)目中投資決策者和公司股東在項(xiàng)目決策時(shí)具有一致的目標(biāo)，無須考慮特殊的代理問題。

（3）隨機(jī)過程的假設(shè)。為了描述此類房地產(chǎn)經(jīng)濟(jì)變量的變化特征，本文假設(shè)房地產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)和柏松跳躍過程[2]。

(4)房地產(chǎn)建設(shè)成本假設(shè)。房產(chǎn)建筑理論造價(jià)包括直接費(fèi)、施工管理費(fèi)、勘察設(shè)計(jì)費(fèi)、土地直接開發(fā)費(fèi)和盈利等。為了方便研究，同時(shí)也為了能夠更貼切描述房地產(chǎn)企業(yè)的實(shí)際運(yùn)作過程，這里將假設(shè)房地產(chǎn)商品價(jià)格成本分為三大部分即土地出讓金、項(xiàng)目建設(shè)成本和房屋銷售費(fèi)用。

（5）無風(fēng)險(xiǎn)利率假設(shè)。為了使實(shí)物期權(quán)模型更貼近房地產(chǎn)市場的真實(shí)情況，模型計(jì)算中所需要的利率都采用投資項(xiàng)目當(dāng)年的國債利率（以項(xiàng)目投資期間為準(zhǔn)）。

3 房地產(chǎn)項(xiàng)目投資實(shí)物期權(quán)決策模型的構(gòu)建

根據(jù)前面的分析可以知道，現(xiàn)代房地產(chǎn)投資可以看做是一個(gè)美式永續(xù)期期權(quán)和有限期期權(quán)的綜合。在前一個(gè)期權(quán)中，房地產(chǎn)企業(yè)可以在任何時(shí)候啟動(dòng)投資，決定是否投資買地。在后一個(gè)期權(quán)中，房地產(chǎn)企業(yè)必須在獲得土地使用權(quán)兩年內(nèi)進(jìn)行項(xiàng)目投資開發(fā)。將我國房地產(chǎn)項(xiàng)目投資開發(fā)的一般程序繪制成流程，如圖1所示 (根據(jù)房地產(chǎn)開發(fā)的特點(diǎn)，時(shí)間以季度計(jì)算)。

假設(shè)房地產(chǎn)企業(yè)已經(jīng)完成了前期所有的工作，并且已經(jīng)一次性支付了土地出讓金，獲得了該項(xiàng)目用地的土地使用權(quán)。假設(shè)土地出讓金為I1；并假設(shè)整個(gè)項(xiàng)目從觀測市場到銷售完畢共需要N個(gè)季度，從觀測市場到?jīng)Q定投資支付土地出讓金共需要N1個(gè)季度，從支付土地出讓金到項(xiàng)目動(dòng)工共需要N2個(gè)季度，從項(xiàng)目動(dòng)工到項(xiàng)目竣工共需要N3個(gè)季度。根據(jù)我國的現(xiàn)行法規(guī)，從2007年之后不能銷售期房，必須樓房封頂即項(xiàng)目竣工后才能開始銷售樓房，因此，項(xiàng)目最早開始銷售也得是項(xiàng)目竣工的時(shí)候。假設(shè)從樓房開始銷售到銷售完畢共用N4個(gè)季度。根據(jù)我國房地產(chǎn)項(xiàng)目投資的實(shí)際情況可知：

在投資方面，假設(shè)房地產(chǎn)企業(yè)開發(fā)項(xiàng)目的資金全部來自于企業(yè)的權(quán)益資本，其中一部分用于支付土地出讓金，一部分用于支付房地產(chǎn)項(xiàng)目的建設(shè)成本。設(shè)平均每季度建設(shè)成本支出為，從商品房開始銷售到所有商品房全部銷售完畢的N4個(gè)季度里，房地產(chǎn)項(xiàng)目商品房的總銷售面積為已知的常數(shù)M，假設(shè)每季度的銷售量相同，則每季度的銷售收入為MS/N4。

假設(shè)房地產(chǎn)項(xiàng)目竣工時(shí)的商品房單位平方米的銷售價(jià)格S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則有：

式中σ為商品房市場價(jià)格的波動(dòng)率，α為房地產(chǎn)商品房單位價(jià)格S的預(yù)期增長率。

假設(shè)μ是該類房地產(chǎn)項(xiàng)目投資的市場整體平均收益率。我們把項(xiàng)目觀測點(diǎn)的時(shí)刻設(shè)為0，則項(xiàng)目真正收入是從第NN4+1個(gè)季度開始的，于是，得到項(xiàng)目整體收入的折現(xiàn)值為：

由于土地出讓金是已知的常數(shù)I1，則其相應(yīng)折現(xiàn)值為：e-uN1I1

根據(jù)房地產(chǎn)項(xiàng)目投資的相關(guān)理論，此時(shí)如果不考慮房地產(chǎn)投資項(xiàng)目的稅費(fèi)，則該項(xiàng)目凈現(xiàn)金流公式為：項(xiàng)目凈現(xiàn)金流=總銷售收入—土地出讓成本—建設(shè)成本—銷售費(fèi)用。

由于從投資決策觀測點(diǎn)開始觀測何時(shí)進(jìn)行投資的時(shí)間（買地的時(shí)間）不確定，可以把項(xiàng)目期權(quán)看成是銷售價(jià)格S的函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[3]：

4 房地產(chǎn)項(xiàng)目投資實(shí)物期權(quán)決策模型

根據(jù)前面的分析可以看到，市場是開放的，房地產(chǎn)開發(fā)企業(yè)可以選擇在任何時(shí)刻買地投資。用實(shí)物期權(quán)的理論來分析，房地產(chǎn)開發(fā)企業(yè)相當(dāng)于擁有了一個(gè)永續(xù)的美式買入期權(quán)。可以把這個(gè)買入期權(quán)設(shè)為F（S），此時(shí)房地產(chǎn)開發(fā)企業(yè)的決策點(diǎn)就是要選擇最佳投資時(shí)機(jī)T，使得項(xiàng)目投資的機(jī)會(huì)價(jià)值 F（S）最大，根據(jù)式(2)則有：

由于dV=a1dS

根據(jù)伊藤引理，可以得到：

假設(shè)r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，有貝爾曼方程[4]：

根據(jù)式（2）及式（5），且 E(dz)=0,E[(dz)2]=1，可以得到：

對于微分方程（7），可以根據(jù)房地產(chǎn)項(xiàng)目投資的經(jīng)濟(jì)含義給出其邊界條件。

首先，當(dāng)房地產(chǎn)項(xiàng)目所開發(fā)的商品房價(jià)格為0時(shí)，該房產(chǎn)項(xiàng)目也沒有投資的機(jī)會(huì)價(jià)值，則：

其次，假設(shè)當(dāng)商品房價(jià)格為S*時(shí)，是房地產(chǎn)項(xiàng)目投資的最優(yōu)決策點(diǎn)，則此時(shí)的項(xiàng)目立即投資的回報(bào)等于此時(shí)項(xiàng)目的凈現(xiàn)值，這也是貝爾曼方程停止區(qū)域的所謂的“價(jià)值匹配”條件，即：

最后，在投資臨界值S*處，投資機(jī)會(huì)函數(shù)與價(jià)值函數(shù)的斜率應(yīng)該相等，即所謂的“平滑粘貼”條件，則有：

利用微分方程的理論及相應(yīng)的邊界條件，可以得到方程式（10）的解的形式：

將式（11）代入式（7），可得到特征方程：

邊界條件（8）決定了K2=0，這是因?yàn)槿绻鸖變得非常小，項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)值 F（S）也會(huì)變得越小，當(dāng) S→0，F(xiàn)（S）→0。但由β2＜0，當(dāng) S→0 時(shí)，Sβ2→∞，所以 Sβ2的系數(shù) K2=0。

于是，可以得到：

將式（16）代入邊界條件式（9），解得：

將（18）代入式（10）得：

從而得到：

最后，結(jié)合式（9）和式（18）可以求得投資機(jī)會(huì)函數(shù)為：

根據(jù)前面的討論，結(jié)合該模型，可以得到投資規(guī)則如下：

當(dāng)房地產(chǎn)項(xiàng)目建成的商品房銷售價(jià)格時(shí)，期權(quán)溢價(jià)為0，房地產(chǎn)企業(yè)應(yīng)該選擇投資；當(dāng)房地產(chǎn)項(xiàng)目建成的商品房銷售價(jià)格時(shí)，期權(quán)溢價(jià)大于0，持有該項(xiàng)目投資期權(quán)是有價(jià)值的，此時(shí)房地產(chǎn)企業(yè)應(yīng)該選擇等待，而不是投資。

5 模型的實(shí)證檢驗(yàn)

本文選取的鄭州某房地產(chǎn)公司2007年開發(fā)的THXY小區(qū)建設(shè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目2007年5月動(dòng)工，2009年4月竣工，其基本情況見表1。

為了方便討論，我們將用THXY小項(xiàng)目投資決策模型的基本條件簡述如下：觀測市場的時(shí)刻設(shè)定為0，假設(shè)MT公司2005年初開始觀察市場，半年后（2個(gè)季度）決定投資項(xiàng)目，2005年6月支付了土地出讓金。按照國家和鄭州市有關(guān)房地產(chǎn)開發(fā)的規(guī)定，MT公司將會(huì)于2006年5月開始實(shí)施該項(xiàng)目的第一期住宅開發(fā)，2008年4月項(xiàng)目竣工并開始預(yù)售，2008年8月所有住宅商品房全部銷售完畢。

表1 THXY項(xiàng)目主要經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)

根據(jù) 項(xiàng)目情況可 知：N＝15，N1=2，N2=4，N3=8，N4=1，I=4182萬元，I2=3494.5萬元。I3=814.7萬元，M=343036。根據(jù)鄭州市房產(chǎn)交易中心提供的鄭州市歷年的房價(jià)，可以計(jì)算出價(jià)格期望增長率α=2.45%和價(jià)格波動(dòng)率σ=9.03%。而房地產(chǎn)項(xiàng)目的市場整體平均收益率（μ）的確定，利用清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院廖理和沈超[5]的計(jì)算方法，可以將μ的取值（季度）確定為μ=3.59%。最后，根據(jù)2005年6月（假設(shè)項(xiàng)目投資時(shí)間）的5年期國債利率確定出無風(fēng)險(xiǎn)利率r=3.81%。將以上變量代入房地產(chǎn)項(xiàng)目投資實(shí)物期權(quán)決策模型，可得：

可見，MT公司最優(yōu)執(zhí)行期權(quán)時(shí)的商品房臨界價(jià)格為S*=4391.45元/平方米，大于當(dāng)時(shí)立即開發(fā)的商品房的價(jià)格S=2841元/平方米，這就意味著商品房價(jià)格還有升值的空間，如果此時(shí)期權(quán)被執(zhí)行了，那么投資者將會(huì)蒙受利益損失。在這個(gè)案例中，實(shí)際情況是MT公司2007年5月才執(zhí)行期權(quán)，進(jìn)行項(xiàng)目投資開發(fā)，這與期權(quán)模型的判斷是相符的。

[1]陳元志,夏健明.戰(zhàn)略投資的實(shí)物期權(quán)觀[M].北京：中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社,2005,(9).

[2]陳溥才，郭鎮(zhèn)寧.房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目可行性研究與方案優(yōu)化策略[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社,2004.

[3]Miller L T,Park C S.Decision Marking Under Uncertainty——Real Options to The Resuce[J].The Engineering Economist,2002,47(2).

[4]Arama M,Kulatilaka N.Real Options:Managing Strategies Investment in an Uncertain World[M].Boston,Mass：Harvard Business School Press,1999.

[5]廖理，沈超.利用CAPM計(jì)算中國房地產(chǎn)行業(yè)資本成本[J].中國管理科學(xué)，2004,(4).