重新審視井碰概率

編譯:唐可偉 (西南石油大學(xué)研究生院)

審校:李甫 (西南石油大學(xué)研究生院)

重新審視井碰概率

編譯:唐可偉 (西南石油大學(xué)研究生院)

審校:李甫 (西南石油大學(xué)研究生院)

鑒于意外井碰導(dǎo)致的災(zāi)難性的人類和環(huán)境損害,一個(gè)關(guān)于井眼碰撞概率的評價(jià)提供了一種寶貴的風(fēng)險(xiǎn)管理方法。目前工業(yè)上使用的評估技術(shù)不少,但都有其局限性。解決問題的一個(gè)合理方法是開始就明確地估計(jì)井碰概率。本文提出了一種方法,以確定所鉆井特定井段與鄰井相交的可能性。通過對參考井上連續(xù)井段相關(guān)可能性的綜合考慮,可以得到總的碰撞概率。井碰概率的估計(jì)是基于已測井眼軌跡及測量不確定性的知識,并以位置協(xié)方矩陣的形式來表達(dá)。本文研發(fā)出一個(gè)更精確的碰撞概率評估方法,此方法克服了以往方法的限制。實(shí)例表明, 2口井在相交區(qū)域都是垂直的情況下,此新方法與平行和非平行井眼軌跡的分析結(jié)果相一致。

井碰概率 馬氏距離 數(shù)值積分 概率稀釋

1 介紹

近期的重點(diǎn)是模型的改進(jìn),此模型用于描述測量的精確性和測量數(shù)據(jù)的質(zhì)量控制。這些測量數(shù)據(jù)和合適的誤差模型為評估碰撞概率提供了基礎(chǔ)。Thorogood等人 (1990年和1991年)、Brooks和Wilson(1996年)、Roper和 Henly(1996年),以及Tsao等人 (1999年),已經(jīng)描述了通過對二維或三維概率密度函數(shù)積分來解決問題的方法。必須認(rèn)識到,井碰概率的數(shù)值估計(jì)不可能比推導(dǎo)它的數(shù)據(jù)更可靠。

2 問題描述

現(xiàn)有的資料包括2口井的測量數(shù)據(jù)以及與這些數(shù)據(jù)相關(guān)的不確定性,這些數(shù)據(jù)是以測量誤差模型或位置誤差的協(xié)方差矩陣形式表示的。該測量不確定性可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方法 (Brooks和 Wilson,1996年;Williamson,2000年;Torkildsen等人,2008年)估計(jì)參考井上的一點(diǎn)和目標(biāo)井上另外一點(diǎn)之間相對位置的不確定性。而兩點(diǎn)間的相關(guān)不確定性過去常用于評估井碰總的概率。這種不確定性以一些標(biāo)準(zhǔn)偏差表示,對某一給定的誤差分布,它們可以轉(zhuǎn)換為概率密度函數(shù)。碰撞概率的建立是通過整合表示參考井和目標(biāo)井中巨大風(fēng)險(xiǎn)的所有點(diǎn)的密度函數(shù)可能性來實(shí)現(xiàn)的。

3 基本原理

測點(diǎn)的位置以空間的點(diǎn)來表示。根據(jù)適當(dāng)模型(一般為最小曲率)在這些點(diǎn)之間進(jìn)行插值,給出了每個(gè)井眼軌跡假定的中線軌跡。如果參考井段的中線在目標(biāo)井井眼軌跡中線的一定范圍內(nèi),就會(huì)發(fā)生碰撞。這個(gè)臨界距離就是2口井半徑之和。因此,可以想象,目標(biāo)井就是一個(gè)半徑等于2口井半徑之和的圓柱體,如果參考井段的中線有可能穿過這個(gè)圓柱體,那么就會(huì)發(fā)生碰撞 (圖1)。通過為目標(biāo)井指定兩個(gè)直徑,并結(jié)合相關(guān)位置不確定性,我們只需要關(guān)注參考井中線上一點(diǎn)的唯一不確定區(qū)域。

圖1 相交井眼軌跡等價(jià)表示

目標(biāo)井的位置與參考井段從何處開始有關(guān),可以用一個(gè)圓柱體表示,其半徑是井半徑之和。當(dāng)沿著參考井段前行觀察時(shí),目標(biāo)井的相對位置以相反的方向變化。因此,當(dāng)沿著參考井向西移動(dòng)時(shí),目標(biāo)井的相對位置向東移動(dòng)。于是,提出了這樣的問題:參考井段應(yīng)該從哪個(gè)位置開始才穿過目標(biāo)井?這些位置的建立是通過沿著與參考井段相反軌跡來投影目標(biāo)井圓筒的。

當(dāng)將所有沿著參考井段的點(diǎn)都應(yīng)用到目標(biāo)井圓筒時(shí),其投影繪制出了一個(gè)體積,它是一個(gè)三維板,其中兩個(gè)相反的面受到目標(biāo)井管道形狀的限制,另外兩個(gè)面由與參考井段相反的形狀確定。而且,其厚度是所有井直徑的總和 (圖2)。在參考井段開始處,與目標(biāo)井相關(guān)位置相鄰的面是一個(gè)凹形圓柱體,而其反面則是一個(gè)凸形圓柱體。如果參考井段的初始位置恰好位于此體積內(nèi),就可能在參考井段內(nèi)發(fā)生碰撞。

圖2 目標(biāo)井相對位置波及的體積

為了估計(jì)井碰概率,對所有井使用相對不確定性,以創(chuàng)建參考點(diǎn)可能性區(qū)域。這個(gè)可能性區(qū)域可被認(rèn)為是一系列同心的橢球表面,每個(gè)面包含的點(diǎn)都與原點(diǎn)具有相同的標(biāo)準(zhǔn)差,得到三維概率密度函數(shù)的輪廓線。輪廓線由以下方程式表示

式中,r是一個(gè)矢量,它定義了相對于參考井段初始位置的目標(biāo)點(diǎn)的位置;C是目標(biāo)井中原點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)間定義相對不確定性的位置協(xié)方差矩陣;k是一個(gè)比例因子,它以一些標(biāo)準(zhǔn)差表示距離,也稱作馬氏距離 (圖3)。為了列舉出給定體積中一個(gè)點(diǎn)可能的位置,有必要確定誤差分布。工業(yè)上普遍的做法是利用高斯分布,這里也將這個(gè)高斯分布用到目前的例子中,此方法也適用于誤差分布。誤差分布定義了概率密度函數(shù),它將概率密度與馬氏距離聯(lián)系了起來。目標(biāo)體積里參考井段開始處的概率可以通過對體積上三維概率密度函數(shù)積分而建立,這樣得出碰撞概率的近似值。

3.1 基本解決辦法的局限

雖然實(shí)現(xiàn)起來有些困難,但這一過程還是提供了一種簡單而又完整的一般三維問題的解決方案。然而,由于在2口井中用到了不變的不確定區(qū)域,積分結(jié)果最多也只是一個(gè)近似值。如果不確定區(qū)域在目的層段上變化不大,那么對相交來說結(jié)果是合理的;如果確定2口井是平行的或者是并排的話,就不能采用這種簡單方法。在平行井的情況下,井碰危險(xiǎn)性的增加完全在于測點(diǎn)的不確定性,它必須在相對不確定性中有所變化。如果沒有測點(diǎn)的不確定性,那么測量的水平井就的確是平行的,沒有任何碰撞發(fā)生。

圖3 馬氏距離

4 模擬天體動(dòng)力學(xué)

研究油井相交與宇宙飛船碰撞有很多相似的地方。特別是,指出了天體運(yùn)動(dòng)學(xué)中短周期或線性相交與長周期或非線性相交之間的區(qū)別。短周期或線性相交中衛(wèi)星軌道的關(guān)鍵點(diǎn)假定是直的,而且不確定位置不變;長周期或非線性相交中必須認(rèn)為軌道是彎曲的或者不確定位置是變量。總的來說,非線性問題可以通過對三維概率密度函數(shù)積分來解決,而線性問題則可以降為二維問題。短周期的宇宙飛船的相遇和近似于常量的相對位置不確定性的直的井眼軌跡的相交,二者之間非常相似;同樣,長周期宇宙飛船的相遇和彎曲井或變化的相對不確定性的井眼軌跡的相交很相似。

航空與油田上的應(yīng)用最主要的區(qū)別是,參考井不僅僅要避免與目標(biāo)井中的一點(diǎn)相交,它必須得避免與整個(gè)目標(biāo)井井眼軌跡相交。這就意味著,幾乎所有的油井問題在相交區(qū)域都將涉及到彎曲的井眼軌跡或變化的位置誤差的協(xié)方差矩陣,因此必須將它們看做是需要三維積分來解決的非線性問題。

4.1 轉(zhuǎn)換為馬氏空間

目標(biāo)井的目的層段包括了一些被認(rèn)為碰撞概率很高的點(diǎn),這通常包括參考井段中6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)的點(diǎn)。對于參考井目標(biāo)點(diǎn)和與此相關(guān)的相對確定區(qū)域來說,目標(biāo)井中每個(gè)已測點(diǎn)都是可知的。對于可能性區(qū)域來說,點(diǎn)的位置才是重要的,而不在于它在空間的什么地方。當(dāng)移動(dòng)到2口井中另外一個(gè)點(diǎn)時(shí),相對不確定性可能會(huì)有所變化,因此相交的位置也可能會(huì)改變。如果能夠?qū)⒛繕?biāo)井中點(diǎn)的位置標(biāo)準(zhǔn)化,以使它們相對于變化的可能性區(qū)域是固定的,那么通過一個(gè)包括許多點(diǎn)的不確定體積就可以表示目標(biāo)井,所有的這些都被繪制在同樣的可能性區(qū)域里。位置的標(biāo)準(zhǔn)化是通過將橢圓體區(qū)域減小為球體區(qū)域來實(shí)現(xiàn)的,其結(jié)果圖圖2相似,但在空間上它是用標(biāo)準(zhǔn)差來衡量而不是單位長度。這個(gè)空間就是馬氏空間,其中從原點(diǎn)到任何點(diǎn)的距離就是馬氏距離k,相當(dāng)于從原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)量。

轉(zhuǎn)換為馬氏空間是通過重新調(diào)整橢圓體區(qū)域使主軸相等 (圖4)實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)過程對位置協(xié)方差矩陣C進(jìn)行波譜分解,分解成一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣V和一個(gè)縮放矩陣E,這里體積V是C的特征矢量,E是一個(gè)包含特征向量C的對角矩陣。

而且在正規(guī)空間A點(diǎn)與向量r相一致,并由與馬氏空間的Tr一致的點(diǎn)表示,這里的變換矩陣 T由公式給出。

T是真實(shí)空間和馬氏空間之間的轉(zhuǎn)換矩陣。這是一個(gè)仿射變換,在其變換下直線被保留,但角度可能改變,圓管表示的目標(biāo)井可能會(huì)變成橢圓。

圖4 轉(zhuǎn)換為馬氏空間

4.2 數(shù)值積分

概率密度與體積中表示目標(biāo)井的每個(gè)點(diǎn)相對應(yīng)。目前常見的做法是假定高斯誤差分布,盡管人們認(rèn)識到這未必是最佳的。

對與目標(biāo)井一致的整個(gè)體積的概率密度函數(shù)進(jìn)行積分得到了一個(gè)很有用的結(jié)果,這是目標(biāo)點(diǎn)的概率,這種情況下參考井段的原點(diǎn)可能與目標(biāo)井相一致。在參考井中,更多的還是關(guān)心鉆前特定井段井碰概率的增加。尤其是當(dāng)鉆進(jìn)時(shí),參考井段就是連接管道,或是立管到下個(gè)測點(diǎn)的距離。當(dāng)規(guī)劃好了一口井后,也許將用到更長的井段,以包含所有可能的碰撞。這樣,參考井段可能包括沿參考井的所有點(diǎn),這些點(diǎn)在6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)達(dá)到目標(biāo)井的測量位置。

因此,這個(gè)過程必須遵循沿參考井段的一系列點(diǎn)。在馬氏空間中,對于每個(gè)點(diǎn),目標(biāo)井中的目的層段是以體積表示的。該體積中加入了另外的體積元素,以前的步驟中沿參考井段并沒有這些元素,這意味著可能引起參考井段當(dāng)前階段潛在井碰的發(fā)生。在當(dāng)前階段,對這些新元素的概率密度函數(shù)的積分表明井碰發(fā)生可能性的增加。除目標(biāo)井初始位置以外,圖2中增加的陰影體積就是目標(biāo)體積,其在馬氏空間中繪出。

對所增加體積進(jìn)行評估最方便的做法就是將其分成體積元素。沿參考井每個(gè)步驟完成之后,就會(huì)增加一些新的元素。第一個(gè)方面,這些元素可能近似于六面體,與沿參考井的距離一樣長;第二方面表示目標(biāo)井的步長;第三方面表示井直徑之和。如果表示沿參考井段步長的尺寸被與目標(biāo)井正交的它的投影替代的話,體積元素可以處理成大致正交。當(dāng)保持這些元素大致等量綱時(shí),將允許使用沿著參考井段更長的步長。井碰概率可以計(jì)算為每個(gè)新元素與形心上概率密度乘積的總和。保證元素大致等量綱對計(jì)算效率有利,因此沿著目標(biāo)井的步長也許可以與井徑之和大致相等。有時(shí)候需要將體積元素進(jìn)一步細(xì)分,Alfano建議尺寸可以小到標(biāo)準(zhǔn)差的1%,以得到精確的結(jié)果。通過在最后一步包括半管表示目標(biāo)井,而在第一步去除半管的方法也可以提高結(jié)果的精度。這些橢圓半管可以通過多面體體積元素近似得到。

5 實(shí)例

上述方法可以解決大多數(shù)井眼軌跡相碰的問題。文中用了兩個(gè)簡單的實(shí)例來說明該方法適用于一系列廣泛的問題,其得到的結(jié)果也很容易理解。解析表達(dá)式也來自通行方法,以解決這些特殊情況。

5.1 非平行直井,不確定性恒定

如果沿著目的層段的相對不確定性變化較小,就不需要將其轉(zhuǎn)換到馬氏空間,可以直接在真實(shí)空間積分。如果在目的層段的目標(biāo)井垂直延長超過6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差,就可以認(rèn)為在每個(gè)方向上無限延伸,而對結(jié)果沒有明顯的影響。沿著目標(biāo)井上的積分得到了統(tǒng)一,井半徑可能被賦值給參考井段并投影到正交于目標(biāo)井的平面 (圖5)。在此平面上,對二維概率密度積分的面積是一個(gè)圓角矩形,其長等于參考井段,寬等于井直徑之和。此井段內(nèi)井碰概率是面積上二維概率密度函數(shù)的積分。如果參考井段足夠長和直,那么問題就可以變成一維;并且,如果假定為高斯誤差,則井碰概率是對高斯概率密度函數(shù)的積分:

式中無量綱井距和半徑分別是S0和R0。S是馬氏空間中無因次距離;R是馬氏00空間中無因次的半徑之和;S是參考井和目標(biāo)井點(diǎn)之間的距離,σ是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差下的相對位置不確定性,二者都是在與2口井正交的方向上測定的。Williamson(1998)、McNair(2005)和 Poedjono (2007)等人提出的方程 (4)是更精確的表達(dá)式。

圖5 與目標(biāo)井正交平面上的參考井段

5.2 并排直井,不確定性變化

第二個(gè)簡單的例子是并排的直平行井,這樣的情況在直井的近地表處產(chǎn)生。為了提供一個(gè)有用的例子,有必要沿著井眼軌跡改變相對不確定性。

此例中,假定測量誤差是方位對稱的,這樣在馬氏空間中目標(biāo)井看起來像個(gè)圓管。由于在重大危險(xiǎn)井段目標(biāo)井是直的,可以認(rèn)為它是無限延伸的,則三維表示可以變成與目標(biāo)井正交的二維表示,它看起來像一個(gè)圓。隨著沿參考井深度和相對不確定性的增加,當(dāng)它靠近初始位置時(shí),目標(biāo)井的投影似乎在縮小。這是因?yàn)橹睆胶途嚯x在真實(shí)空間中保持不變,但是測量單位 (標(biāo)準(zhǔn)差或位置不確定性)變大了。如果所有測量誤差都是對稱的,不確定性將與深度嚴(yán)格成正比。最后,取沿參考井足夠長的井段,目標(biāo)井映射的區(qū)域大致為一個(gè)扇形,張角為2sin-1[(rr+ro)/S],式中rr和ro分別是參考井和目標(biāo)井的半徑,S是名義中線距離。

這種解決方法可能出人意料,但它是基于準(zhǔn)確測量的。從直觀來說它是合理的,因?yàn)橐鸭俣ㄋ袦y量誤差都是對稱的。因此,雖然它們與所測量的矢量方向可能并不完全一致,但所有可能的井眼軌跡都是直線。朝向目標(biāo)井所在區(qū)域的井眼軌跡的方位角最終將與井眼軌跡碰撞。井眼軌跡的方位角朝向的可能性只是圓的很小的一部分,而圓是名義距離的井直徑之和所形成的,由方程式 (5)給出。雖然這個(gè)例子給出了一個(gè)很有用的確認(rèn)方法,但它在現(xiàn)實(shí)中卻具有局限性,因?yàn)閷?shí)際問題中將會(huì)強(qiáng)制給出一個(gè)參考井段的最大深度。

6 概率稀釋法

有時(shí)計(jì)算的井碰概率可能會(huì)因測量準(zhǔn)確度很差而使得數(shù)值估計(jì)結(jié)果失常。Thorogood(1990)和航空領(lǐng)域的Alfano(2003、2006a、2008)已經(jīng)提到過這個(gè)問題。以方程式 (4)舉例,假定2口井相交的測量距離為20 m,井半徑之和為0.3 m。如果相對不確定性的標(biāo)準(zhǔn)差是10 m,據(jù)計(jì)算井碰概率為3.2×10-3;當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差是20 m時(shí)井碰概率為7.×10-3,但是如果標(biāo)準(zhǔn)差為50 m時(shí),井碰概率又降為4.4×10-3。這個(gè)現(xiàn)象被稱為“概率稀釋”,由Alfano(2003、2008)提出。他指出,當(dāng)估計(jì)的概率落入概率稀釋區(qū)域內(nèi)時(shí),此概率就不能使用,因?yàn)闇y量質(zhì)量不足以提供一個(gè)有意義的井碰概率的估計(jì);同時(shí)他也建議到,應(yīng)該盡可能圍繞在產(chǎn)生最大井碰概率的地方設(shè)定不確定性進(jìn)行工作。

7 結(jié)論

(1)一般情況下,沿參考井層段和已有目標(biāo)井之間的井碰概率可以通過對與誤差分布一致的三維概率密度函數(shù)進(jìn)行積分得到。使用不變或變化的位置不確定性,這種方法可以應(yīng)用于很多問題,包括直的或彎曲的、平行或非平行的井眼軌跡。

(2)體積積分表示的空間由與原點(diǎn)相關(guān)的目標(biāo)井中的相對位置繪制出,此原點(diǎn)在參考井中沿目的層段前行。

(3)受三維限制的體積積分直接與沿參考井目的層段的反向軌跡有關(guān),與重大危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi) (超過6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差)的目標(biāo)井井眼軌跡有關(guān),還與在方向上和其他兩個(gè)方向正交的井徑之和有關(guān)。

(4)考慮到沿井段相對不確定性的變化,應(yīng)在馬氏空間進(jìn)行積分。真實(shí)空間和馬氏空間的轉(zhuǎn)換矩陣來源于2口井中點(diǎn)之間相對不確定性的協(xié)方差矩陣。

(5)數(shù)值積分可通過將目的體積打散成元素,再將所有概率密度函數(shù)值加起來而實(shí)現(xiàn)。這些概率密度函數(shù)值對應(yīng)于元素體積加權(quán)的元素形心。

(6)如果在重大風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)目標(biāo)井是直的,可通過與目標(biāo)井正交的二維空間進(jìn)行積分。

(7)已經(jīng)將簡化的代數(shù)表達(dá)用于描述2口直的平行井的井碰概率,這2口井主要使用系統(tǒng)高斯失調(diào)誤差進(jìn)行測量。

資料來源于美國《SPE 116155》

10.3969/j.issn.1002-641X.2010.9.013

2009-04-20)