利用極坐標(biāo)計(jì)算一個(gè)三重積分

隋 英，孫常春

（沈陽建筑大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

利用極坐標(biāo)計(jì)算一個(gè)三重積分

隋 英，孫常春

（沈陽建筑大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

“先一后二法”和“先二后一法”是三重積分化成三次定積分進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)，本文在極坐標(biāo)下通過一個(gè)三重積分的計(jì)算對(duì)這兩種方法進(jìn)行了詮釋.

三重積分；先一后二法；先二后一法

三重積分計(jì)算的思想是化三重積分為三次定積分，即：將三重積分先化成一次定積分與一次二重積分，從而再進(jìn)一步將三重積分化成三次定積分.三重積分化成一次定積分與一次二重積分的計(jì)算分兩種情況：先計(jì)算一個(gè)定積分，然后再計(jì)算一個(gè)二重積分，叫“先一后二法”，也叫“投影法”；先計(jì)算一個(gè)二重積分，再計(jì)算一個(gè)定積分，叫“先二后一法”，也叫“截面法”.本文介紹了這兩種方法的具體解法，并通過一個(gè)三重積分的計(jì)算詮釋了這兩種方法的使用.

1 “先一后二法”

具體的解法是：

1.1 投影：已知閉區(qū)域Ω的下曲面為S1：z=z1(x,y)，上曲面為S2：z=z2(x,y)，其中z1(x,y)，z2(x,y)都是Dxy上的連續(xù)函數(shù).把閉區(qū)域Ω投影到x o y面上，得到一個(gè)平面閉區(qū)域Dxy.

1.2 定限：過Dxy上的任意一點(diǎn)(x,y)做平行于z軸的直線，這條直線通過曲面S1穿入Ω內(nèi)，穿入點(diǎn)的豎坐標(biāo)為z1(x,y)；然后通過曲面S2穿出Ω外，穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)為z2(x,y).在這種情況下，積分區(qū)域Ω可表示為：

然后計(jì)算F(x,y)在閉區(qū)域Dxy上的二重積分

閉區(qū)域Dxy上的二重積分可利用直角坐標(biāo)計(jì)算也可利用極坐標(biāo)計(jì)算，從而將三重積分轉(zhuǎn)化成三次定積分進(jìn)行計(jì)算.

也可以把Ω投影到y(tǒng) o z面上或x o z面上，這樣就可以把三重積分轉(zhuǎn)化成按其他順序的三次積分.

2 “先二后一法”

具體的做法是：

2.1 定限：把閉區(qū)域Ω投影到z軸上，得到閉區(qū)域Ω位于區(qū)間[c1,c2]上.在(c1,c2)上任取一點(diǎn)z作垂直于z軸的截面，截得的區(qū)域記作Dz.于是得到：

2.2 計(jì)算：將三重積分轉(zhuǎn)化成先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分的計(jì)算，即

即：“先二后一法”適用于被積函數(shù)為z的函數(shù)，截面Dz的面積可簡(jiǎn)單地表示成z的函數(shù)的情況，或者具有特殊的積分域的情形.因此，該方法在使用上具有一定的局限性.

3 兩種方法的應(yīng)用

方法一 “先一后二法”

把Ω1投影到x o y面上，得到一個(gè)平面閉區(qū)域：D x y={(x,y)|x2+y2≤4}.

方法二 “先二后一法”

本題使用了兩種方法進(jìn)行計(jì)算：“先一后二法”中二重積分的計(jì)算利用極坐標(biāo)，這個(gè)做法的實(shí)質(zhì)是就是柱面坐標(biāo)求三重積分公式的推導(dǎo)過程.“先二后一法”中二重積分的計(jì)算也同樣采用了極坐標(biāo)，很明顯，采用該方法更為簡(jiǎn)單.本題在極坐標(biāo)下，對(duì)“先一后二法”和“先二后一法”作了進(jìn)一步的探討.同時(shí)應(yīng)注意使用時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情形來選擇累次積分的合適順序，從而選擇更合理、便捷的解題方法.

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版[M]，北京：高等教育出版社,2007.

〔2〕朱寶彥,劉玉柱.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M]，北京：北京大學(xué)出版社，2008.

〔3〕車向凱，等.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程[M]，沈陽：東北大學(xué)出版社，1997.

O172.2

A

1673-260X（2010）08-0005-02