基于 Surfer軟件的兩種數(shù)據(jù)插值方法研究

馬英蓮,彭樹宏,錢 靜

(1.中國科學(xué)院新疆生態(tài)與地理研究所,新疆烏魯木齊 830011;2.新疆第二測繪院,新疆烏魯木齊 830002)

基于 Surfer軟件的兩種數(shù)據(jù)插值方法研究

馬英蓮1,2,彭樹宏1,錢 靜1

(1.中國科學(xué)院新疆生態(tài)與地理研究所,新疆烏魯木齊 830011;2.新疆第二測繪院,新疆烏魯木齊 830002)

對(duì) Surfer中的兩種數(shù)據(jù)網(wǎng)格化插值方法——改進(jìn)謝別德插值法和徑向基函數(shù)插值法進(jìn)行研究,采用特定的數(shù)學(xué)曲面函數(shù)進(jìn)行插值分析和計(jì)算,從理論上分析這兩種數(shù)學(xué)插值方法在不同數(shù)據(jù)源下生成的 Grid表面模型的差異,并對(duì)如何獲取有效數(shù)據(jù)源來提高數(shù)據(jù)網(wǎng)格化的插值效果進(jìn)行總結(jié)。

Surfer;Grid表面模型;改進(jìn)謝別德插值法;徑向基函數(shù)插值法

一、引 言

在當(dāng)前的各種制圖軟件中,美國 Golden軟件公司的 Surfer軟件以其生成圖像質(zhì)量高、生成快速、易于修改、使用方便、成圖直觀、快捷等特點(diǎn),在繪制等高線、向量圖、3D表面圖等方面應(yīng)用廣泛,并受到越來越多使用者的青睞。目前該軟件的最高版本是 Golden Software Surfer8.0(以下簡稱 Surfer8.0),其中提供了 12種插值方法來創(chuàng)建 Grid表面模型,包括了克里金插值法、反距離加權(quán)插值法、改進(jìn)謝別德插值法、徑向基函數(shù)插值法等,基本上包括了目前所有的插值方法,可以滿足不同應(yīng)用的插值需求。

與ArcGIS的統(tǒng)計(jì)分析擴(kuò)展模塊中提供的五種插值方法相比,Surfer 8.0提供的內(nèi)插方法在對(duì)中、小離散數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理方面有明顯的優(yōu)勢,但在其空間分析方面不及ArcGIS空間分析擴(kuò)展模塊,在參考文獻(xiàn)[1]中就 ArcGIS和 Surfer下生成的 Grid表面模型進(jìn)行了比較,并提供了兩種環(huán)境下 Grid文件相互轉(zhuǎn)換的具體方法,在應(yīng)用過程中可以結(jié)合數(shù)據(jù)源選用合理的插值法[1]。

在 Surfer軟件的使用中,有研究工作者對(duì) Surfer提供的各類插值方法進(jìn)行了許多應(yīng)用性的研究,并證實(shí)了當(dāng)數(shù)據(jù)源間隔較小時(shí)插值方法對(duì)插值精度影響較小,當(dāng)數(shù)據(jù)源間隔較大時(shí)克里金與局部多項(xiàng)式插值精度較優(yōu),稀疏源數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)網(wǎng)格化精度由高到低排列順序?yàn)椤案倪M(jìn)謝別德法、徑向基函數(shù)插值法 ＞Kriging、局部多項(xiàng)式插值法 ＞反距離加權(quán)插值、線性插值三角網(wǎng)法、移動(dòng)平均植插值”[2-3]。所以本文就較優(yōu)的兩種插值方法——改進(jìn)謝別德法和徑向基函數(shù)插值法進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,并對(duì)這兩種數(shù)學(xué)插值方法在不同數(shù)據(jù)源中生成的 Grid表面模型特性進(jìn)行研究,為實(shí)際工作中的數(shù)據(jù)源采集和分類提供參考依據(jù)。

二、數(shù)學(xué)曲面函數(shù)的選取和數(shù)據(jù)源的構(gòu)建

為能選取合適的數(shù)學(xué)曲面函數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格化插值,本文首先分析改進(jìn)謝別德法、徑向基函數(shù)插值法插值的基本概念及特點(diǎn)。

改進(jìn)謝別德法是在反距離加權(quán)插值法的基礎(chǔ)上,利用最小二乘準(zhǔn)則,引入節(jié)點(diǎn)函數(shù) (插值點(diǎn)的二次多項(xiàng)式)的數(shù)據(jù)插值方法,其公式為

其中,Zj為待求網(wǎng)格數(shù)據(jù)值;,hij為權(quán)導(dǎo)數(shù);為網(wǎng)格點(diǎn)至離散點(diǎn)的距離;δ為平滑因子;Qj為二次曲面函數(shù);k為權(quán)的方次。

其具體特點(diǎn)是:①利用節(jié)點(diǎn)函數(shù)的二次曲面擬合值來代替離散點(diǎn)值,提高了內(nèi)插值精度和曲面的光滑度;②修改了反距離加權(quán)插值法的權(quán)函數(shù),使其只在局部范圍內(nèi)起作用,克服了反距離加權(quán)插值法增加點(diǎn)后重新計(jì)算權(quán)函數(shù)的缺陷;③利用了局部最小二乘法來消除或減少所生成等值線的“牛眼”外觀,可以說改進(jìn)謝別德法是改進(jìn)了的反距離加權(quán)插值法。

2.徑向基函數(shù)插值法

徑向基函數(shù)插值法是多個(gè)數(shù)據(jù)插值方法的組合,它引入了平滑因子,以插值點(diǎn)與離散點(diǎn)之間的距離視為單一的變量函數(shù),并以此函數(shù)作為基函數(shù),利用基函數(shù)來確定權(quán)重值進(jìn)行插值的數(shù)據(jù)插值方法,其公式為

其中,Zj為網(wǎng)格數(shù)據(jù)值;λi為權(quán)導(dǎo)數(shù);B(hi)為基函數(shù)(距離基函數(shù));hi為插值點(diǎn)到第 i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離。其基函數(shù)的類型主要有五種[3],本文就目前廣泛使用到的復(fù)二次函數(shù)作為基函數(shù)進(jìn)行討論分析,其中 R參數(shù)是平滑因子。

其具體特點(diǎn)是:插值點(diǎn)與離散點(diǎn)之間的距離作為變量,并引入光滑系數(shù),提高了插值精度,同時(shí)也增加了數(shù)據(jù)的計(jì)算量。

從這兩種數(shù)據(jù)網(wǎng)格化插值的特征中不難看出,改進(jìn)謝別德法和徑向基函數(shù)插值法在數(shù)據(jù)網(wǎng)格化過程中都提供了光滑曲面的效果,這種光滑效果在數(shù)據(jù)源間隔較小時(shí)比其他插值方法有明顯的優(yōu)勢。

急性胸痛在急診內(nèi)科中是一種常見的疾患[1-2]，指的是突發(fā)性胸痛，病情嚴(yán)重者甚至?xí)＜暗交颊叩纳踩玔3]，當(dāng)出現(xiàn)急性胸痛時(shí)，應(yīng)立即去醫(yī)院進(jìn)行X線檢查、心電圖檢查，及時(shí)確診并接受對(duì)癥治療。急性胸痛的病因復(fù)雜，確診難度大，常見的病因包括張力性氣胸、急性主動(dòng)脈夾層、急性冠脈綜合征、急性肺動(dòng)脈栓塞等，及時(shí)鑒別急性胸痛的病因，對(duì)于挽救患者的生命及改善預(yù)后存在重要意義[4]。超聲心動(dòng)圖是一種操作簡單且無創(chuàng)的檢查方法[5]，本文旨在探討其應(yīng)用于急性胸痛診斷中的效果，擇取我院收治的急性胸痛患者80例開展本次研究，具體內(nèi)容見正文闡述。

為能滿足這兩種插值法的最佳效果,可以構(gòu)建一個(gè)光滑曲面性質(zhì)的雙曲拋物面面函數(shù),其具體形式如下

這個(gè)函數(shù)能很好地反映曲面的光滑效果,為使曲面出現(xiàn)大的變化,且使得插值分析有對(duì)比性,可使 Z值為正,相當(dāng)于兩組拋物線曲面相交,故可以將曲面函數(shù)表達(dá)為

下面是獲取源數(shù)據(jù),獲取思路是根據(jù)這組曲面函數(shù)特性,在靠近 x=2y+18.24直線附近和偏離該直線附近選取插值點(diǎn),觀察這條變化線是怎樣影響曲面插值變化的。

獲取數(shù)據(jù)源的具體方法如下：①利用 Surfer自帶的網(wǎng)格函數(shù)編輯功能編輯出函數(shù),函數(shù)式為:Z= ABS((POW(x-10,2))/20-(POW(y-20,2)/ 10)),并生成 Grid文件;②利用函數(shù)自動(dòng)生成的Grid表面模型數(shù)據(jù),在 Grid圖形文件中畫出直線 x =2y+18.24;③以靠近和偏離該直線為原則,隨機(jī)獲取兩組數(shù)據(jù);④把選取的 Grid表面模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為 XLS文件,以此作為插值的數(shù)據(jù)源。

三、數(shù)據(jù)源與插值效果的分析

依照上一節(jié)獲取數(shù)據(jù)源的方法,可以得到兩組隨機(jī)數(shù)據(jù),為方便觀察取點(diǎn)數(shù)為 50點(diǎn),它們是隨機(jī)生成的具有雙曲拋物面曲面性質(zhì)的離散數(shù)據(jù)點(diǎn),故根據(jù)這兩組離散數(shù)據(jù)的分布情況,可以畫出數(shù)據(jù)的分布圖,以及離散數(shù)據(jù)與直線 x=2y+18.24之間的關(guān)系,如圖 1所示。

圖1 離散數(shù)據(jù)分布圖

為了能夠找到與曲面函數(shù) (4)的最佳擬合模型,可以利用改進(jìn)謝別德插值法、徑向基函數(shù)插值法分別生成兩組數(shù)據(jù)源的等直線圖,得到圖 (2),該圖是兩種插值方法下,生成等高值為 20 m的等值線圖。

圖2 兩種插值法下的等值線圖

為了比較插值效果,首先從橫向上看,從圖 2中可以看到在利用離散數(shù)據(jù) 1插值的過程中,由于缺少在直線 x=2y+18.24附近急劇變化的數(shù)據(jù)源點(diǎn),使得插值結(jié)果與目標(biāo)曲面函數(shù)的實(shí)際情況偏離較大,且在使用徑向基函數(shù)插值法時(shí)還生成了負(fù)插值數(shù)。而離散數(shù)據(jù) 2中的插值結(jié)果也恰好從反面證實(shí)了這一點(diǎn),這使得離散數(shù)據(jù) 2的插值結(jié)果更接近于目標(biāo)曲面函數(shù)(4),如圖 3所示,這說明了急劇變化線附近的源數(shù)據(jù)點(diǎn)有助于提高插值精度。

圖 3 徑向基函數(shù)插值法透視投影曲面圖

然而我們又會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)矛盾的現(xiàn)象,在離散數(shù)據(jù) 2中左下方變化線附近集中了大量的源數(shù)據(jù)點(diǎn),而在離散數(shù)據(jù) 1中左下方變化線附近只有少量的源數(shù)據(jù)點(diǎn),但生成的等值線都較為平緩,與曲面函數(shù)(4)的擬合程度較低,這與前面得出的結(jié)論是矛盾的。

為分析出產(chǎn)生這一矛盾的原因,再對(duì)圖 2作縱向的比較,會(huì)發(fā)現(xiàn)在使用徑向基函數(shù)插值法時(shí)數(shù)據(jù)源 1和數(shù)據(jù)源 2都有負(fù)插值數(shù)生成 (見圖 3),但目標(biāo)曲面函數(shù)的值都是正數(shù),而且使用改進(jìn)謝別德法也沒有產(chǎn)生負(fù)插值數(shù)。故從插值方法的性質(zhì)入手分析,從式(1)和式 (2)中可以看出,改進(jìn)謝別德法是利用節(jié)點(diǎn)函數(shù)的二次曲面擬合值來代替離散點(diǎn)值,只是在局部范圍內(nèi)起作用;而徑向基函數(shù)插值法是以插值點(diǎn)與離散點(diǎn)之間的距離作為變量,在全局范圍內(nèi)起作用。

故從本質(zhì)上說徑向基函數(shù)插值法在數(shù)據(jù)插值的過程中自動(dòng)偏向了式 (3),由此而產(chǎn)生了負(fù)插值數(shù);而改進(jìn)謝別德法的插值雖然也在向式 (3)靠近,但由于受密集(稀疏)插值數(shù)據(jù)源點(diǎn)范圍約束,與范圍內(nèi)已知的插值點(diǎn)相互約束形成了較為平直的曲面。由此可以知道,在進(jìn)行數(shù)據(jù)網(wǎng)格化插值時(shí),靠近變化線的已知插值點(diǎn)的數(shù)量并不是越多越好。

四、結(jié) 論

本文通過特定的數(shù)學(xué)曲面函數(shù)生成的兩組隨機(jī)離散變量,利用改進(jìn)謝別德插值法和徑向基函數(shù)插值法在 Surfer環(huán)境下進(jìn)行數(shù)據(jù)插值分析,總結(jié)出以下結(jié)論：①在變化線附近的源數(shù)據(jù)點(diǎn)有助利于提高插值精度;②在進(jìn)行數(shù)據(jù)網(wǎng)格化插值時(shí),靠近變化線的已知插值點(diǎn)的數(shù)量并不是越多越好。

以上結(jié)論可以在實(shí)際的生產(chǎn)過程中加以利用,如在地形測量工作過程中,測量坡向變化較大的溝谷地形,為節(jié)省工作量并達(dá)到測量效果,可以在溝谷兩側(cè)較均勻地采集數(shù)據(jù)點(diǎn);在進(jìn)行地質(zhì)填圖工作的過程中,在對(duì)向斜脊或背斜脊范圍內(nèi)的地層編錄或采樣時(shí),應(yīng)當(dāng)合理地平均分配工作量。當(dāng)然,本文沒有對(duì)變化線周圍的數(shù)據(jù)點(diǎn)密度作定量的分析,更沒有提供可靠的數(shù)據(jù)源密度參考值,這些都需要感興趣的研究者作進(jìn)一步的詳細(xì)研究。

[1] 白世彪,閭國年,楊一鵬.關(guān)于 ArcGIS和 Surfer格網(wǎng)文件的轉(zhuǎn)換方法[J].測繪通報(bào),2005(2)：48-50.

[2] 羅亦泳,張立亭,陳竹安,等.基于 Surfer的數(shù)據(jù)網(wǎng)格化與體積計(jì)算精度分析[J].測繪科學(xué),2009(5)：97-99.

[3] 陳歡歡,李星,丁文秀.Surfer 8.0等值線繪制中的十二種插值方法 [J].工程地球物理學(xué)報(bào),2007,4(1)：52-57.

A Study of Two Data Interpolation M ethods Based on Surfer Software

MA Yinglian,PENG Shuhong,Q IAN Jing

0494-0911(2010)08-0054-04

P208

B

2010-01-26

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目亞類青年科學(xué)基金項(xiàng)目(40701050)

馬英蓮(1972—),女,新疆沙灣人,博士生,高級(jí)工程師,研究方向?yàn)槎窟b感與數(shù)據(jù)挖掘。