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    分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的多項(xiàng)式相位信號(hào)DOA估計(jì)

    2010-09-26 01:22:24
    電訊技術(shù) 2010年12期
    關(guān)鍵詞:波達(dá)求根降階

    (重慶郵電大學(xué) 信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400065)

    1 引 言

    多項(xiàng)式相位信號(hào)(Polynomial Phase Signal,PPS)是信號(hào)處理領(lǐng)域中一個(gè)具有重要意義的非平穩(wěn)寬帶信號(hào),在通信、雷達(dá)、電子對(duì)抗、生物醫(yī)學(xué)、聲納、語(yǔ)音等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者大多是針對(duì)PPS的相位系數(shù)估計(jì)進(jìn)行研究,而對(duì)PPS的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方面的研究甚少。在現(xiàn)代電子通信領(lǐng)域中,精確估計(jì)PPS的DOA,實(shí)現(xiàn)超分辨測(cè)向顯得非常重要。線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)(LFM,又稱(chēng)chirp)是PPS的一個(gè)特例。當(dāng)前,LFM信號(hào)DOA估計(jì)經(jīng)典的方法有MUSIC、ESPRIT算法等,后來(lái)對(duì)MUSIC算法提出了一系列改進(jìn)算法,如求根MUSIC算法[1]、循環(huán)MUSIC算法、時(shí)頻MUSIC算法等,但這些算法都是針對(duì)窄帶LFM信號(hào)的。對(duì)于寬帶LFM信號(hào),國(guó)內(nèi)學(xué)者陶然、齊林等對(duì)分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRFT)的寬帶LFM的DOA估計(jì)[2]進(jìn)行了深入研究,并取得了較好的效果;鄭州大學(xué)的張艷紅提出了基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的寬帶LFM信號(hào)DOA估計(jì)[3],但是針對(duì)大于二階的多項(xiàng)式相位信號(hào),相關(guān)的研究卻很少。

    2 線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)的陣列模型

    陣列模型為M個(gè)陣元的均勻線(xiàn)陣(ULA),陣元間距為d,如圖1所示。假設(shè)有一LFM信號(hào)s(t),入射角為θ。如果把第一個(gè)陣元作為參考陣元,則第i個(gè)陣元上的觀測(cè)信號(hào)可以表示為

    xi(t)=st-τi+nit,i=1,2,3,…,M

    (1)

    其中:

    τi=i-1dsinθ/c

    (2)

    st=Aej2πf0t+πKt2+φ

    (3)

    式中,f0、K和φ分別為L(zhǎng)FM信號(hào)的初始頻率、調(diào)頻斜率和初始相位,ni(t)為第i個(gè)陣元相互獨(dú)立且與信號(hào)無(wú)關(guān)的高斯白噪聲,τi是信號(hào)s(t)在第i個(gè)陣元相對(duì)于第一個(gè)陣元的延時(shí),c為光速。

    圖1 均勻線(xiàn)陣結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The ULA and array model

    3 FRFT的DOA估計(jì)

    3.1 多項(xiàng)式相位變換實(shí)現(xiàn)對(duì)PPS的降階

    我們考慮多項(xiàng)式相位采樣信號(hào)模型為

    x(n)=s(n)+w(n)=

    (4)

    式中,0≤n≤N-1,N為采樣點(diǎn)數(shù),Δ為采樣間隔,am(m=1,2,3,…,M)為PPS的相位系數(shù),M和b0分別為PPS的階數(shù)和幅度,w(n)為均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲。對(duì)于上式的信號(hào)模型,τ為延時(shí)參數(shù),假設(shè)τ和M為正整數(shù)。

    PPS的一個(gè)重要性質(zhì)就是通過(guò)高階瞬態(tài)距(HIM)計(jì)算,可得如下信號(hào)形式[4]:

    (5)

    其中:

    (6)

    φ=(M-1)!(τΔ)M-1aM-1-

    0.5(M-1)M!(τΔ)MaM

    (7)

    M階多項(xiàng)式相位變換定義為DPM[s(n),τ]的離散時(shí)間傅氏變換,對(duì)一個(gè)振幅恒定的M階PPS應(yīng)用M階算子DPM將該信號(hào)變換成單個(gè)正弦信號(hào),且其頻率w0與最高次項(xiàng)系數(shù)aM有關(guān)。

    (8)

    3.2 FRFT實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)陣列的窄帶化處理

    信號(hào)x(t)的FRFT定義為[6]

    (9)

    式中,F(xiàn)RFT的變換核Kp(t,u)為

    (10)

    式中,n為整數(shù),α稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角度,且α=pπ/2,p為FRFT的階數(shù),F(xiàn)p·為FRFT的算子符號(hào),δt為單位沖激函數(shù)。

    信號(hào)xt的FRFT是線(xiàn)性變換,它和Wigner-Ville分布(簡(jiǎn)稱(chēng)WVD)的關(guān)系可解釋為時(shí)頻平面的旋轉(zhuǎn)算子,這一特性決定了FRFT特別適合于處理LFM類(lèi)信號(hào)。如圖2所示,與該斜直線(xiàn)相垂直的分?jǐn)?shù)階Fourier域(FRF域)上求信號(hào)的FRFT,則在該域的某點(diǎn)將出現(xiàn)明顯的峰值。而噪聲的能量均勻地分布在整個(gè)時(shí)頻平面內(nèi),在任何的FRF域上均不會(huì)出現(xiàn)能量聚集。因此,F(xiàn)RFT在某個(gè)FRF域中對(duì)給定的LFM信號(hào)具有最好的能量聚集[6]。

    圖2 LFM信號(hào)的時(shí)頻分布及其在FRF域上的投影Fig.2 LFM signal in the time-frequency distribution and projection of FRF domain

    對(duì)信號(hào)st進(jìn)行p階FRFT,在α,u平面上,運(yùn)用分級(jí)計(jì)算迭代搜索方法對(duì)spu進(jìn)行峰值點(diǎn)的二維搜索,即確定分?jǐn)?shù)階的搜索范圍a,b,確定初始步長(zhǎng)Δp1=0.1,估計(jì)出分?jǐn)?shù)階的初始值為p1;再進(jìn)行二次搜索范圍p1-0.1,p1+0.1,確定初始步長(zhǎng)Δp2=0.01,估計(jì)出分?jǐn)?shù)階的初始值為p2;再進(jìn)行三次搜索范圍p2-0.01,p2+0.01,確定初始步長(zhǎng)Δp3=0.001,直至達(dá)到所要求的精度。得到峰值點(diǎn)的位置αq和um,則可得信號(hào)的調(diào)頻斜率和初始頻率估計(jì)[6]:

    (11)

    也就是說(shuō),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α=-arccotK時(shí),spu有最佳的能量聚集。

    (12)

    式中,i=1,2,3,…,M。

    Ap=1,e-j2πτ2u1msinα,…,e-j2πτMu1msinαT

    (13)

    因此,可得到天線(xiàn)陣列的觀測(cè)信號(hào)在FRF域矢量表達(dá)式:

    Xp=Apsp+Np

    (14)

    其中:

    (15)

    (16)

    3.3 求根MUSIC算法實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)DOA估計(jì)

    式(14)中的矢量表達(dá)式的協(xié)方差矩陣為

    (17)

    式中,Rps和Rpn分別為信號(hào)和噪聲協(xié)方差矩陣。對(duì)上式協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解,可得λ1>λ2>,…,λQ>λQ+1=λQ+2=…,λm,其中,Q為信號(hào)源個(gè)數(shù),則信號(hào)子空間是由大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量組成的空間,而噪聲子空間是由小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量組成的空間。

    首先定義如下一個(gè)多項(xiàng)式[7]

    (18)

    式中,ei是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中小特征值對(duì)應(yīng)的M-Q個(gè)特征矢量,pz=1,z,…,zM-1T。

    由以上的定義可知:當(dāng)z=ejw,即多項(xiàng)式的根正好位于單位圓上時(shí),p(ejw)是一個(gè)空間頻率為w的導(dǎo)向矢量。由特征結(jié)構(gòu)類(lèi)算法可知,p(ejw)=p(z)就是信號(hào)的導(dǎo)向矢量,所以其與噪聲子空間是正交的。因此,多項(xiàng)式可定義為

    (19)

    因?yàn)槎囗?xiàng)式fz的階數(shù)為2M-1,所以有M-1對(duì)根,且每對(duì)根是相互共軛的關(guān)系。在這M-1對(duì)根中有Q個(gè)根z1,z2,…,zQ正好分布在單位圓上,即:

    zi=expjwi,1≤i≤Q

    (20)

    上式考慮的是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣精確可知時(shí)的情況,在實(shí)際應(yīng)用中也就是數(shù)據(jù)矩陣存在誤差時(shí),只需求式(19)的Q個(gè)接近于單位圓上的根即可。也就是對(duì)于等距均勻線(xiàn)陣,根據(jù)方向?qū)蚴噶緼p可知波達(dá)方向

    (21)

    由以上分析,可總結(jié)PPS波達(dá)方向估計(jì)的算法流程:

    (1)初始化,令m=M和xmn=xn,其中,0≤n≤N-1;

    (3)令

    (22)

    其中,0≤n≤N-1;

    (4)替換m=m-1,直到m=2為止;

    (5)對(duì)信號(hào)xmn進(jìn)行P階的FRFT;

    (6)在相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Fourier域,進(jìn)行峰值搜索,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度α不變和式(12),可確定峰值點(diǎn)的位置;

    (7)由式(13)、(14)、(15)確定信號(hào)在FRF域所對(duì)應(yīng)的方向向量;

    (8)利用求根MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì),估計(jì)最終信號(hào)的波達(dá)方向。

    4 仿真實(shí)驗(yàn)

    4.1 實(shí)驗(yàn)一

    設(shè)信號(hào)模型為

    xn=sn+wn=

    b0expja1n+a2n2+a3n3+wn

    (23)

    式中,0≤n≤N-1,a1=0.125,a2=0.25/N,a3=0.65/N2,采樣點(diǎn)N=360,延時(shí)τ=N/3,離散FFT時(shí)變換的長(zhǎng)度為120×100點(diǎn)。

    圖3給出了本文PPS分別在沒(méi)有噪聲和SNR=20 dB時(shí),瞬態(tài)矩后的信號(hào)實(shí)部幅值特性圖。從圖中可以看出,經(jīng)過(guò)瞬態(tài)矩后,沒(méi)有噪聲時(shí),信號(hào)為正弦信號(hào);當(dāng)SNR=20 dB時(shí),信號(hào)為正弦信號(hào)和新的噪聲。圖4給出了SNR=20 dB時(shí),經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式相位變換的譜線(xiàn)分析,從中可以得到該信號(hào)的頻率,也就是可以得到三階PPS的最高階相位系數(shù)a3。圖5給出了均方誤差(MSE) 隨信噪比(SNR)變化的曲線(xiàn)圖,從圖中可以看出,三階PPS在SNR≥6 dB時(shí),該方法的估計(jì)性能接近克拉美羅界(CRB),而隨著信噪比的降低,仿真結(jié)果與理論結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。

    圖3 三階PPS的瞬態(tài)矩Fig.3 Instantaneous moment of the third order PPS

    圖4 SNR=20 dB時(shí)的多項(xiàng)式相位變換譜線(xiàn)圖Fig.4 Spectrum of polynomial phase transform when SNR=20 dB

    圖5 a3估計(jì)值均方誤差和CRB隨信噪比變化圖Fig.5 MSE and CRB of a3 versus SNR

    4.2 實(shí)驗(yàn)二

    在實(shí)驗(yàn)一的基礎(chǔ)上,結(jié)合本文提出算法中的第三步降階的思想,設(shè)和實(shí)驗(yàn)一有相同的參數(shù),且入射角θ=70°,快拍數(shù)為τ。

    圖6給出了SNR=10 dB時(shí),PPS按本文提出的思想降階后的FRFT。從圖中可以看出,該信號(hào)具有很好的能量聚集性,從而把寬帶的PPS轉(zhuǎn)化為FRF域窄帶信號(hào)。在相應(yīng)的FRF域,用MUSIC算法,對(duì)信號(hào)進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì),如圖7所示,從圖中可以看出,能較為準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)的波達(dá)方向。圖8給出了陣元數(shù)分別為10和6時(shí),多項(xiàng)式相位變換結(jié)合FRFT的求根MUSIC算法的DOA估計(jì)均方誤差隨信噪比變化的曲線(xiàn)圖,從圖中可以看出,均方誤差隨SNR的減小而增加,在SNR>7 dB時(shí),能較為準(zhǔn)確地估計(jì)PPS的DOA,同時(shí),在SNR相同時(shí),陣元數(shù)為10比陣元數(shù)為6的估計(jì)性能要稍好些。

    圖6 PPS降階后分?jǐn)?shù)階Fourier域的信號(hào)Fig.6 PPS of order lowered in FRF domain

    圖7 基于FRFT的PPS的DOA估計(jì)Fig.7 DOA estimation of PPS based on FRFT

    圖8 陣元不同時(shí)DOA估計(jì)隨SNR的變化圖Fig.8 DOA estimation of different sensors versus SNR

    5 結(jié) 論

    本文提出了一種多項(xiàng)式相位信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)的方法,目前有關(guān)PPS的DOA估計(jì)的文獻(xiàn)很少,所以本文為以后在這方面的深入研究打下了一定的基礎(chǔ)。由于運(yùn)用了多項(xiàng)式相位變換降階,在SNR≥7 dB時(shí)能很好地估計(jì)出單分量PPS的DOA,但估計(jì)多分量的PPS的DOA問(wèn)題還有待解決。同時(shí),利用分級(jí)計(jì)算迭代搜索方法對(duì)FRF域的峰值點(diǎn)進(jìn)行二維搜索,計(jì)算量大大減小,所以該算法簡(jiǎn)單。

    參考文獻(xiàn):

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