不等式證明的方法探究

孫鳳芝，李 偉

(1.大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712；2. 沈陽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，遼寧 沈陽 11000)

0 引言

不等式證明的基本方法很多,主要有比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)法、換元法、判別式法等十多種方法,現(xiàn)在國內(nèi)外有許多教師、學(xué)者對不等式的證明方法進行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié),并結(jié)合豐富的教學(xué)經(jīng)驗,許多方法已經(jīng)在教學(xué)實踐中得到廣泛應(yīng)用,并且已經(jīng)取得了非常顯著的成效。但是有關(guān)不等式證明的高等數(shù)學(xué)的方法的研究一直缺乏系統(tǒng)的理論層面的提升.下面主要從導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的凸性、泰勒公式、排序不等式、構(gòu)造法等高等數(shù)學(xué)的層面對不等式證明方法進行了探討。

1 利用概念證明不等式

1.1 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

用導(dǎo)數(shù)證明不等式,關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù),然后在相應(yīng)區(qū)間上用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識判別其單調(diào)性,再利用單調(diào)性得到所證明的不等式。

則f′(x)=1cosx>0,g′(x)=sec2x-1>0,

即x>sinx,x

注:這個三角不等式在相關(guān)教材中是用幾何方法證明的。這里是構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來證明,簡單、快捷。

1.2 利用函數(shù)的凸性證明不等式

相關(guān)定理:設(shè)f(x)為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在I上f(x)為凸函數(shù)的充要條件是f″(x)≥0,x∈I。

例2：利用函數(shù)的凸性證明:

證明:設(shè)f(x)=t″,則f′(t)=ntn-1,f″(t)=n(n-1)tn-2

當(dāng)n>1時,f″(t)>0(t>0),所以f(t)是凸函數(shù),依定義,有

f(λt1+(1-λ)t2)<λf(t1)+(1-λ)f(t2)

1.3 利用泰勒公式證明不等式

泰勒定理:若函數(shù)f(x)滿足下列條件

1)在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)；

2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)f(x)有n+1階導(dǎo)數(shù),則對任何x,x0,至少存在一點ξ∈(a,b),使

證明:設(shè)f(x)=x2,

即f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)

將不等式兩邊相加,得

泰勒公式是用一個次多項式來逼近函數(shù)f(x)，而此多項式具有形式簡單,易于計算等優(yōu)點。所以把泰勒公式應(yīng)用到不等式證明中,使問題簡單化。

2 應(yīng)用重要不等式證明不等式

數(shù)學(xué)家利用不等式的基本理論和一些重要的數(shù)學(xué)方法,推導(dǎo)出幾個數(shù)學(xué)中最著名的不等式。這些不等式簡明優(yōu)美,而且有著廣泛的應(yīng)用。

排序不等式:設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn,則有

a1bn+a2bn-1+…+anb1(倒序積和)≤a1br1+a2br2+…+anbrn(亂序積和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(順序積和)

其中r1,r2,r3…rn是1,2,…n的一個排列。

證明:考察右邊不等式,并記s=a1br1+a2br2+…+anbrn。

不等式s≤a1b1+a2b2+…+anbn的意義是:當(dāng)r1=1,r2=2,…rn=n時,s達到最大值a1b1+a2b2+…+anbn。因此,首先證明an必須與bn搭配,才能使和s達到最大值。也即,設(shè)rn

證明:設(shè)b1,b2,…bn是a1,a2,…an的一個排列,且b1≤b2≤b≤…≤bn。

注:排序不等式在不等式證明中占有重要的地位,和柯西不等式十分相似,它的使用是根據(jù)需要合理的構(gòu)造出兩組適當(dāng)?shù)臄?shù)a1,a2,…an和b1,b2,…bn或者在不改變題目要求的前提下,規(guī)定大小關(guān)系。

3 構(gòu)造法證明不等式

構(gòu)造法證明不等式其實質(zhì)是將不等式進行等價轉(zhuǎn)化,它以構(gòu)造方程﹑數(shù)列﹑向量﹑圖形等作為主要手段。

(tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)

證明:構(gòu)造方程

(tanγ-2tanα)x2-2(tanαtanβ)x+(2tanβ-tanγ)=0

1)tanγ-2tanα=0,因為tanαtanβ≥0,所以不等式成立。

2)tanγ-2tanα≠0,當(dāng)x=-1時,

(tanγ-2tanα)+2(tanγ-2tanβ)+(2tanβ-tanγ)=0。

所以x=-1是方程的根。

所以 △=4(tanαtanβ)2-4(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)≥0

所以 (tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)。

注:形如β2-AC≥0(或≤0)型不等式可嘗試用構(gòu)造二次方程來解。

4 結(jié)語

證明不等式的方法靈活多樣,根據(jù)待證不等式的特點,找到一種適當(dāng)?shù)姆椒墒箚栴}迎刃而解。以上對不等式證明方法從導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的凸性、泰勒公式、排序不等式、構(gòu)造法等高等數(shù)學(xué)的層面進行了一些探討,還將在以后的研究中不斷完善。

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