孿生素?cái)?shù)問題研究

譚松柏 譚學(xué)先

(湖南省益陽市電業(yè)局,湖南 益陽 413000)

孿生素?cái)?shù)問題研究

譚松柏 譚學(xué)先

(湖南省益陽市電業(yè)局,湖南 益陽 413000)

大于 3的素?cái)?shù),含在 6n-1、6n+1兩數(shù)列中。通過對數(shù)列序號 n的研究,發(fā)現(xiàn)了 6n-1及 6n+1兩列數(shù)中的合數(shù)項(xiàng)所對應(yīng)序號 n的分布規(guī)律——集中分布在模 p數(shù)表的兩列數(shù)中。通過利用模p數(shù)表的特性篩去所有合數(shù)項(xiàng)所對應(yīng)序號 n的方法,最終得出了“孿生素?cái)?shù)有無限多”以及“大于 8的偶數(shù)都可表為二素?cái)?shù)之和,且偶數(shù)越大,表為二素?cái)?shù)和的表法個(gè)數(shù)就越多。當(dāng)數(shù)值相近時(shí),能被 6整除的偶數(shù),比不能被 6整除的偶數(shù),上述表法個(gè)數(shù)幾乎多,一倍”的結(jié)論。

數(shù)列;序號;素?cái)?shù);合數(shù);偶數(shù);模 P

一、自然數(shù)的分類及素?cái)?shù)、偶數(shù)的類型與相關(guān)名詞、符號的定義

現(xiàn)將大于 3的自然數(shù)分成 A,B,C,D,E及 F六列算術(shù)數(shù)列,其通項(xiàng)分別為:(6n-2),(6n-1),(6n),(6n+1),(6n+2),(6n+3),(n=1,2,…m)。對于一個(gè)任意大的自然數(shù) X來說,其序號m的精確計(jì)算通式為m=[X/6+0.4],適當(dāng)舍入后可簡略為 m=X/6。

以上 A、C、E及 F四列數(shù)中,因含因數(shù) 2或 3而都為合數(shù),故大于 3的素?cái)?shù),都包含在 B、D兩列中,即 6n-1和 6n+1兩種類型,以下分別稱為Ⅰ型數(shù)和Ⅱ型數(shù)。其中的素 (合)數(shù)項(xiàng)及序號 n的都分別標(biāo)以Ⅰ、Ⅱ的 下標(biāo),并分別稱為Ⅰ、Ⅱ型素?cái)?shù)、合數(shù)、序號等。按 P代表素?cái)?shù)、C代表合數(shù)的慣例,則有 PI(C I)=6n IP(n IC)-1,PII(C II)=6n IIP(n IIC)+1,其中 PI即為Ⅰ型素?cái)?shù),C II即為Ⅱ型合數(shù)…,余類推。

當(dāng) 6n-1和 6n+1同時(shí)為素?cái)?shù)時(shí),此二素?cái)?shù)即為孿生素?cái)?shù),該序號 n我們稱作雙重素?cái)?shù)序號,記做 np。

二、I、II型合數(shù)的因式分解規(guī)律

任一 I型或 II型合數(shù)作完全的因式 (數(shù))分解,則最終得到的將是一系列的 I、II型素?cái)?shù) (PI和 /或 PII)的乘積。即有:

以上可表述為:I型數(shù) ×II型數(shù) =I型數(shù);I型數(shù) ×I型數(shù)=II型數(shù);II型數(shù) ×II型數(shù) =II型數(shù)。

根據(jù)上述 I、II型數(shù)的特點(diǎn)并結(jié)合 (1)式,我們可得出 C I和C II的因式 (數(shù) )分解規(guī)律,即:

三、合數(shù)序號 n IC、n IIC的分布規(guī)律

四、模數(shù)為素?cái)?shù) P的數(shù)表 (簡稱模 P數(shù)表)及其特性

1.將通項(xiàng)序號 1,2…m排成列數(shù)固定為 P的數(shù)表即稱為模 P數(shù)表,下面表 (一)與表 (二 )分別是 P為 I型素?cái)?shù) 5和 II型素?cái)?shù) 7的情形:

表 (一) 模 5(PI)數(shù) 表表中僅列出模 PI的主要列數(shù)據(jù)

表 (二) 模 7(PII)數(shù) 表表中僅列出模 PII的主要列數(shù)據(jù)

2.模 P數(shù)表的性質(zhì)

據(jù)模 P數(shù)表的構(gòu)造及運(yùn)用《同余定理》、《孫子定理》等數(shù)學(xué)原理推理,就可得到模 P數(shù)表的以下性質(zhì):

性質(zhì) 1 模 P數(shù)表的每列數(shù)都是模數(shù) P的同 (剩)余類;

性質(zhì) 2 模 P數(shù)表都有兩列 (其中一列的首項(xiàng)除外)集中分別分布著含有素因子 P的Ⅰ型與Ⅱ型合數(shù)序號 [表 (一)、表 (二)中全列帶有底紋者,該性質(zhì)的根據(jù)為式 (9)—(12)];

性質(zhì) 3模 P′數(shù)表中的各列元素,每列都是均勻分布在模P″數(shù)表的各列中。此性質(zhì)簡稱“均布性質(zhì)”。

3.模 P數(shù)表的應(yīng)用

要篩掉第 1節(jié) B與 D兩列數(shù)中所有≯X的合數(shù)的序號,就要建立分別由素?cái)?shù) 5,7,…到素?cái)?shù) Pk的連續(xù)相鄰的 k個(gè)素?cái)?shù)為模的一群數(shù)表進(jìn)行篩選。其中最大素?cái)?shù) Pk的取值范圍為Pk 2≯X,或 Pk≯X1/2。

證明如下:

證 設(shè) C=Pk×PX(Pk≤PX),C≯X,,因每個(gè)模 P數(shù)表都有兩列為含素因子 P的合數(shù)序號,即 C的序號同時(shí)存在于模Pk與模 PX兩個(gè)數(shù)表中,僅需用模 Pk數(shù)表即可篩選掉合數(shù) C的序號。因此我們?nèi)缬蒙鲜鲇?5,7,…,Pk等素?cái)?shù)分別為模的數(shù)表,就可篩選掉B與 D兩列數(shù)中所有不大于 X的合數(shù)的序號。證畢。

5孿生素?cái)?shù)問題

由給定的 X即可得其序號 m=X/6,確定 m后即可確定一個(gè) n=1,2,3,…,m的序號數(shù)列。在此數(shù)列中首先篩去全部的 n Ic,剩下的就全部是 n Ip;然后再在此數(shù)列中篩去一次全部的 n IIc,最后剩下的序號就全部是雙重素?cái)?shù)序號 np了,而這些剩余序號的數(shù)量即就是≯X范圍內(nèi)孿生素?cái)?shù)的數(shù)量了。

利用模 Pi(5≤Pi≤X1/2;i=1,2,…,k)數(shù)表群完成篩選過程。先用模 5數(shù)表篩選,即篩去m個(gè)序號中的 1/5個(gè)Ⅰ型合數(shù)序號 (即其中 1列,見數(shù)表性質(zhì) 2),再篩去 m個(gè)序號中的 1/5個(gè)Ⅱ型合數(shù)序號,故經(jīng)過模 5數(shù)表篩選后,剩下了 3列共 m(1-2/5)個(gè)序號。依模 P數(shù)表性質(zhì) 3—“均布性質(zhì)”,這篩剩的3列共 m(1-2/5)個(gè)序號,每列都均勻分布在模 7數(shù)表的 7列中。即模 7數(shù)表的每列中分布有模 5數(shù)表篩剩的 m(1-2/5)×1/7個(gè)序號,按同樣的方式篩去 2列后,即剩下 5列共 m(1-2/5)(1-2/7)個(gè)序號。依此繼續(xù) .…,故用模 Pi(5≤Pi≤X1/2;i=1,2,…,k)數(shù)表群逐個(gè)篩完后,即得到了不大于 m的雙重素?cái)?shù)序號 np,亦即≯X的孿生素?cái)?shù)的對數(shù),設(shè)其為 R(X)。因每個(gè)模 P數(shù)表,其中有一列的首個(gè)素?cái)?shù)序號當(dāng)作合數(shù)序號篩去了,因而使篩剩的素?cái)?shù)序號就比實(shí)際值要少,故計(jì)算所得結(jié)果為雙重素?cái)?shù)序號 np個(gè)數(shù)的下界,即:

因素?cái)?shù)有無限多,故連乘積必隨 X的增大而增大,當(dāng) X→∞時(shí),R(X)→∞,故得出結(jié)論:孿生素?cái)?shù)有無限多。

六、哥德巴赫猜想的一點(diǎn)思考

“孿生素?cái)?shù)問題”與“哥德巴赫猜想”是相互關(guān)聯(lián)的問題。求“雙重素?cái)?shù)序號”時(shí),是在 1到 m的序號數(shù)列中分別篩去合數(shù)序號 n I,與 n II,從而得到 nP。研究“哥德巴赫猜想”,其方法實(shí)質(zhì)上是非常類似的,即:設(shè)偶數(shù) E為 6n型偶數(shù),記為 E6,可得到模 Pi(5≤Pi≤E1/2;i=1,2,…,k)數(shù)表群;又 E6=(6n′-1)+(6n″+1),因此可得 n′與 n″兩列共 n-1對序號 ,每對序號和均等于 n,故稱 n′與 n″,互為“配對序號”,即:

在 n′列中篩去Ⅰ型合數(shù)序號,在 n″列中需篩去Ⅱ型合數(shù)序號,剩下仍可配對的序號就對應(yīng)一個(gè)哥德巴赫數(shù)。按照上述孿生素?cái)?shù)的篩選方法,即可得到以下與(13)類似的結(jié)果:

設(shè) G(E6)為表偶數(shù) E6為兩個(gè)素?cái)?shù)和的表法個(gè)數(shù),則有:

對于 6n-2型偶數(shù),記為 E-2,有:E-2=(6n′-1)+(6n″-1),由于 n′對 n″與 n″對 n′是對稱重復(fù)的 ,故“表法個(gè)數(shù) ”將有不超過一半是重復(fù)的,因而有:

由此可認(rèn)為凡大于 2的偶數(shù)都可表為二素?cái)?shù)之和,且偶數(shù)越大,表為二素?cái)?shù)和的表法個(gè)數(shù)就越多。當(dāng)數(shù)值相近時(shí),能被6整除的偶數(shù),比不能被 6整除的偶數(shù),上述表法個(gè)數(shù)幾乎多,一倍。

[1] 閔嗣鶴,嚴(yán)士健 .初等數(shù)論[M].北京人民教育出版社,1982.

[2] 華羅庚 .數(shù)論導(dǎo)引[M].北京科學(xué)出版社,1957.

[3] 潘承洞,潘承彪 .哥德巴赫猜想[M].科學(xué)出版社,1984.

[4] 熊全淹 .初等整數(shù)論[M].湖北教育出版社出版,1982.

[5] 柯召,孫琦 .數(shù)論講義[M].高等教育出版社,2001.

A Research on Tw in Pr im es

TAN Song-bo;TAN Xue-xian
(Hunan Yiyang Electric O ffice,Y iyang 413000,Huan)

Any p rimesbigger than 3 are inc luded in the 2 sequencesof6n-1 and 6n+1.Through a carefulanalysison the seriesnumbern,it is discovered that in the2 sequencesof6n-1 and 6n+1,those nsaccording to the term sare composite numberare concentrated in two sequences of the number list inmodulusp.Through away to sieve outall the nswhich the term sare composite number,it is demonstrated that:“tw in p rim es are unlim ited”and“Any even numberbigger than 8 can be the sum of two p rim esand the bigger the even number,themore the p rimematches,and when the even numbers are in form of6n,the amountof p rimematchesare nearly doublemore thanwhatwhen the even numbersare formed in 6n-2 and 6n+2?”.

sequence,series num ber,p rim e num ber,composite num ber,even num ber,modu lus P

G424

A

1671-5004(2010)06-0152-03

2010-11-05

譚松柏 (1930-),男,湖南益陽電業(yè)局高工,研究方向:電氣自動(dòng)化。