中心化子與局部中心化子探討

陳 琳，蔣雪勤，趙占平

（1. 安順學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系，貴州 安順 561000；2. 黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

中心化子與局部中心化子探討

陳 琳1，蔣雪勤2，趙占平2

（1. 安順學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系，貴州 安順 561000；2. 黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

令X是實數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的Banach空間，Α是X上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)，I是Α中的單位元，設(shè)φ:Α→Α是可加映射，文章證明了如果存在正整數(shù)n，使得φ滿足2φ(An+1)?φ(An)A?Aφ(An)∈FI且對任意A∈Α都成立，則存在λ∈F，使得對任意A∈Α有φ(A)=λA；文章還證明了套代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)上的線性局部左（右）中心化子是左（右）中心化子．

中心化子；局部中心化子；標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)；套代數(shù)

0 引言

設(shè)?是一個環(huán)，如果對任意A，B∈?，A?B={0}蘊含A=0或B=0，則稱環(huán)?是素環(huán)；如果對任意A∈?，A?A={0}蘊含A=0，則稱環(huán)?是半素環(huán)．設(shè)映射φ: ?→?是可加映射，若對任意A，B∈?有φ(A B)=φ(A)B （ φ(A B)=Aφ(B)），則稱φ是左（右）中心化子；若 φ(A2)=φ(A)A （ φ(A2)=Aφ(A)），則稱φ是左（右）Jordan中心化子；若對任意A∈?，存在?上的一個左（右）中心化子 φA使得 φ(A)=φA(A)，則稱φ是左（右）局部中心化子．Beidar證明了如果映射φ在半素環(huán)上既是左中心化子又是右中心化子，那么φ為中心化子[1]；Zalar證明了半素環(huán)上的Jordan中心化子是左（右）中心化子[2]；Vukman證明了 2-撓自由半素環(huán)上滿足 2φ(A2)=Aφ (A)+ φ(A)A的可加映射是左（右）中心化子[3]；文獻(xiàn)[4]在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上證明了滿足 φ(Am+n+1)? Amφ (A)An∈FI的可加映射φ是中心化子．按照文獻(xiàn)[4]中的證明方法，本文將在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上刻畫滿足

的可加映射φ的結(jié)構(gòu)．

關(guān)于局部映射（局部導(dǎo)子，局部同構(gòu)，2-局部導(dǎo)子）的研究已有大量成果，文獻(xiàn)[5]研究了因子 Von-Neumann代數(shù)上范數(shù)連續(xù)的線性局部導(dǎo)子問題，文獻(xiàn)[6]研究了J-子空間格代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)上的線性局部中心化子問題．受此啟發(fā)，本文研究套代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)上的線性局部中心化子．

1 標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的中心化子

設(shè)X代表域F上的Banach空間，L(X)表示X上所有有界線性算子的全體，F(xiàn) (X)代表 L(X)中所有有限秩算子構(gòu)成的子空間，Α是包含單位算子和 F(X)的 L(X)的閉子代數(shù)．

引理1[7]設(shè)?是一個特征不為2的素環(huán)，若φ為?上的交換映射，則存在c∈C（?的擴(kuò)展中心）和可加映射ψ: ?→C，使得對任意A∈?有

定理 1 若 φ:Α → L(X)為可加映射，如果存在正整數(shù)n，使得φ滿足 2φ(An+1)? φ(An)A ? Aφ (An)∈FI且對任意A∈Α成立，則存在λ∈F使得對任意A∈Α有 φ(A)=λA.

證明：1)先證明 φ(P)=Pφ (P)=φ(P)P=Pφ (P)P對任意的冪等元P∈Α成立．取冪等元P∈Α，由假設(shè)知存在λP∈F使得

(1)式兩邊分別左乘、右乘P，得

(2)式與(3)式相減得

(4)式兩邊分別左乘、右乘P，可得

將此式代入(2)式得 0

Pλ=，因此

2)證明存在λ∈F使得 φ(I)=λI對任意的冪等元P∈Α有 φ(P)=λP .由(5)式和φ的可加性得

即 φ(I)P=Pφ(I)對任意冪等元P∈Α都成立．因為Α包含所有的有限秩冪等算子，由P∈Α的任意性可得φ(I)=λI .在等式 φ(P)=φ(P)P中用I?P代替 P，不難得到 φ(P)=λP.

3)證明對于所有的 A∈F(X)都有 φ(A)=λA.設(shè)A∈F(X)，取冪等元 P∈F(X)使得 AP=PA=P.在假設(shè)條件中用A+P代替A得

按照每一項所含因子P的個數(shù)重新整理(6)式得

在假設(shè)條件中分別用 A + 2 P，A + 3P，…，A +nP代替A，得到以 fi(A，P)為變量的線性方程組，其系數(shù)矩陣為范德蒙矩陣

其行列式不為零，故方程組有唯一的非零解，特別地有，存在 λA，P∈FI使得

由于 Pφ (P)=φ(P)P，則(7)式兩邊分別左乘、右乘P可得

又由于 φ(P)=λP，于是(7)式可變?yōu)?/p>

另一方面，由(7)式和(9)式可得

由(10)和(11)式得 φ(A)=λA+ αP + βI，其中

于是[φ(A)，A]=0.由于 F(X)+ FI是素的，且φ為可交換映射，由引理 1可知，存在c∈F以及可加映射ψ: F(X)+ FI → F使得對任意 A∈F(X)有

特別地，對任意一秩冪等算子x?f，有

由 2)可知 φ(x?f)=λx?f，因此(c ? λ)x?f∈FI，c=λ．由于任意一秩冪零算子都可以表示成兩個一秩冪等算子的差，由φ的可加性得，對任意一秩冪零算子x?f∈F(X)有φ(x?f)=λx?f.下面證明對所有非一秩冪零算子 x?f∈F(X)有φ(x?f)=λx?f.因x?f是非一秩冪零算子，〈 x，f〉≠0，一方面，由假設(shè)條件知存在λx?f∈F，使得

另一方面，〈x，f〉nx?f算子是一秩算子，由(12)式得

從而 ψ(x?f)=0，即 φ(x?f)=λx?f.這就證明了對任意一秩算子 x?f∈F(X)都有φ(x?f)=λx?f.又因為有限秩算子可表示成有限個一秩算子的和，由可加性得 φ(A)=λA.

4)證明對所有A∈Α均有 φ(A)=λA .定義映射φ1:Α→Α為 φ1(A)=φ(A)? λA，顯然 φ1是可加的且滿足

由3)知 φ1在 F(X)上的值為零，以下證明 φ1在Α上的值仍為零．設(shè)A∈Α且 P∈F(X)為一秩投影，令

則BP=PB=0且 B ? A∈F(X)，故 φ1(B)=φ1(A).由(15)式并注意到 φ1(P)=0，知存在 λB，P，∈FI使得

(16)式兩邊分別左乘、右乘P后再相加，可得

由(17)、(18)式得 Pφ1(B)+ φ1(B)P=λ0I=λ0P，故λ0=0，又由(17)式得 Pφ1(B)P=0，所以 φ1(B)=φ1(A)=0，因此對任意A∈Α有 φ(A)=λA.

定理1證畢．

2 套代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)上的線性局部中心化子

設(shè)H代表無限維Hilbert空間，B(H)表示H上全體有界線性算子構(gòu)成的集合．一個套?是B(H)中一族全序正交的投影，包含0和I且在強算子拓?fù)湎率情]的．對任意的 P∈，P?=sup{Q∈?，Q＜P}，與套?對應(yīng)的套代數(shù)記為τ(?)，其定義為Α表示包含所有有限秩算子的τ(?)的一個閉子代數(shù)．

引理2[8]設(shè)一秩算子x?f屬于套代數(shù)τ(?)，則存在P∈?使得 x∈P，y∈.

引理3[8]設(shè)A∈Α，若對任意的一秩算子B都有AB=0，則A=0.

定理2 套代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)Α上的線性局部左（右）中心化子φ是左（右）中心化子．

證明：只證左中心化子情況．對A∈Α，P 是冪等元，存在Α上的左中心化子φA，P使 φ(A P)=φA，P(A)P.對B∈Α，

φ(A P)(B ?PB)=φA，P(A P(B ?PB))=φA，P(0)=0，所以 φ(A P)(I ? P)B=0，由引理3知 φ(A P)(I ? P)=0，即 φ(A P)=φ(A P)P.對A，P⊥，存在Α上的左中心化子因為

所以 φ(A)P=φ(A P)P，進(jìn)而 φ(A)P=φ(A P).對Α中任意一秩算子B=x?y，由引理 2知存在N∈?使x∈N，y∈N.下面分兩種情況討論：

(ii)如果〈x，y〉=0，又分兩種情況．若P=P?，則P+B是冪等元，因為

故 φ(A B)=φ(A)B.若P≠P?，令 x1∈P?x，x2=(P ? P?)x，y1=(P ? P?)y，y2=P⊥，顯然 x1?y，x2?y1，x2?y2∈Α并且 x2⊥y1，類似于P=P?情況的討論，可得

φ(A x1?y)=φ(A)x1?y，φ(A x2?y2)=φ(A)x2?y2；對x2?y1，若x2=0，則 x2?y1=0，顯然

所以 φ(A x2?y1)=φ(A)x2?y1，再考慮φ的線性和

一秩算子B=x?y對任意A∈Α都有 φ(A B)=φ(A)B.對任意A，B∈Α，對Α中任意一秩算子C，則BC至多是一秩的，從而 φ(A BC)=φ(A B)C=φ(A)BC，又由引理3得 φ(A B)=φ(A)B．

定理2證畢．

[1] Beidar K，Martindal W，Mikhalev A．Rings with generalized identities[M]．NewYork：Marcel Dekker Inc，1996．

[2] Zalar B．On centralizers of semiprime rings[J]．Comment. Math. Univ. Carolinae，1991，32：609―614．

[3] Vukman J．Centralizers of semiprime rings[J]．Comment. Math. Univ. Carol.，2001，42：237―245．

[4] Qi X，Du S，Hou J．Characterization of Centralizers[J]．Acta Math. Sinica，2008，51：509―516．

[5] Zhang Jian-hua．Local derivation of nest subalgebras of Von Neumann algebras[J]．Linear Algebra Appl.，2004，392：61―69．

[6] Wei Qiong，Li Peng-tong．Centralizers of J-subspace lattice algebrs[J]．Linear Algebra Appl.，2007，426：428―437．

[7] Bresar M．Centralizing mappings and derivation in prime rings[J]．J. Algebra,1993，156：385―394．

[8] Davidson K．Nest algebras[M]．Pitman Research Notes in Mathematics Series. 191,Longmans Scientific and Technical，1988．

〔責(zé)任編輯 張繼金〕

Centralizers and Local Centralizers

CHEN Lin1,JIANG Xue-qin2,ZHAO Zhan-ping2
(1. Anshun College,Anshun Guizhuo 561000,China; 2. Huanghuai University,Zhumadian Henan 463000,China)

Let X be a Banach spaces over the real or complex field F. Let Α be standard operator algebra on X with unit I. In the first part,suppose that φ:Α→Α is an additive map and n is a positive integer,it is proved that,if φ satisfies 2φ(An+1)?φ(An)A?Aφ(An)∈FI for all A∈Α,then there exist some λ∈F such that φ(A)=λA. In the second part,it is proved that every linear local left (right)centralizer of standard subagebra of nest algebra is a left (right)centralizer.

centralizer; local centralizer; standard algebra; nest algebra

O177.1

A

1006-5261(2010)05-0001-03

2010-03-17

陳琳（1981―），男，河南駐馬店人，講師，碩士研究生．