數(shù)值分析中牛頓迭代法的引入方法探討

王 霞，張啟虎

（鄭州輕工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 鄭州 450002）

數(shù)值分析中牛頓迭代法的引入方法探討

王 霞，張啟虎

（鄭州輕工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 鄭州 450002）

數(shù)值分析中牛頓迭代法是求解非線性方程的基本方法．與一般教材上牛頓迭代法的引入方法相比，用積分方程引入牛頓迭代法更能體現(xiàn)數(shù)值計(jì)算中的“近似”和“構(gòu)造”思想，便于進(jìn)一步介紹牛頓法的各種改進(jìn)形式，有利于學(xué)生“創(chuàng)新”算法能力的培養(yǎng)和創(chuàng)新意識的形成．

非線性方程；牛頓迭代法；數(shù)值分析；效率指數(shù)；方程求根

數(shù)值分析是理工科學(xué)生必學(xué)的一門重要課程．?dāng)?shù)值分析課程要求學(xué)生掌握具體數(shù)值計(jì)算的方法與理論，強(qiáng)調(diào)算法的實(shí)際應(yīng)用．?dāng)?shù)值分析課程的學(xué)生群體可分為兩類：一類是信息與計(jì)算科學(xué)等專業(yè)的理科學(xué)生，其學(xué)習(xí)目標(biāo)是“研究”和“創(chuàng)新”算法；另一類是工科學(xué)生，其主要學(xué)習(xí)目標(biāo)是掌握算法的使用．這兩個(gè)群體的學(xué)習(xí)目標(biāo)不同，教學(xué)內(nèi)容及側(cè)重點(diǎn)也應(yīng)有所區(qū)別．

科學(xué)研究和工程計(jì)算中常常遇到求解非線性方程（組）的問題．?dāng)?shù)值分析教材中，牛頓迭代法（CN法）[1―11]是求解非線性方程

的一種基本方法，其迭代格式為

(2)式二次收斂于方程(1)的單根，因其收斂速度快，所以牛頓迭代法被廣泛應(yīng)用于非線性方程的求解．牛頓迭代法的引入方法直接關(guān)系到學(xué)生對此內(nèi)容的理解和應(yīng)用，因此，本文主要探討牛頓迭代法的引入方法．

1 牛頓迭代法的常見引入方法

牛頓迭代法是“非線性方程”這一章的重要一節(jié)，由于與其他章節(jié)的聯(lián)系很小，所以在不同數(shù)值分析教材中該章所處位置也不同．文[1―4]將該內(nèi)容放在“數(shù)值積分與數(shù)值微分”之后，文[5―11]將其放在“數(shù)值積分與數(shù)值微分”之前．

牛頓迭代法的常見引入方法可概括為以下4種：

方法1 直接給出迭代函數(shù)的具體形式[1―2]．文[1]中，直接選取迭代函數(shù)，其對應(yīng)的迭代格式為(2)式；文[2]直接給出了(2)式．

方法2 利用泰勒公式導(dǎo)入牛頓迭代法[3―8]，其基本思路是：設(shè)方程(1)的近似根為 xn，將函數(shù) f(x)在xn處作泰勒展開，有

用前面兩項(xiàng)近似表示f(x)，得近似線性方程

設(shè) f′(xn)≠ 0，令其解 x=xn+1，則得(2)式．

方法3 利用校正技術(shù)引入牛頓迭代法[9]，基本思路是：設(shè)方程(1)的近似根為xn，其校正值 xn+1=xn+Δx能更好地滿足方程(1)，即 f(xn+1)≈ 0.將方程(1)的左端用 f(x)在 xn處的微分 f(xn)+ f′(xn)Δx來代替，則有 f(xn)+ f′(xn)Δ x=0，于是

整理可得(2)式．

方法 4 引入一般的帶待定函數(shù)的迭代函數(shù)，通過提高迭代法的收斂階確定待定函數(shù)[10―11]，其基本思路是：由方程(1)總可以構(gòu)造迭代函數(shù)

其中k(x)為待定函數(shù)，因?yàn)?/p>

且|φ′(x)|在根α附近越小其局部收斂速度越快，故令φ′(α)=0，從而k (α)=1/f′(α)，f ′(α)≠0，于是得到迭代函數(shù)x=φ(x)=x ? f(x)/f′(x)，從而得到(2)式．

對于以上的4種方法，方法1直接給出迭代函數(shù)，適用于使用“算法”的學(xué)生，而對于“研究”和“創(chuàng)新”算法的學(xué)生來說是不適用的；方法2利用泰勒公式引入牛頓迭代法，利于激發(fā)學(xué)生“創(chuàng)新”算法的興趣；方法3一步步逼近問題的解，能夠使學(xué)生深刻體會(huì)逐步逼近的數(shù)學(xué)思想；方法4能使學(xué)生更清楚地理解收斂階的概念．

2 牛頓迭代法的積分引入法及牛頓迭代法的改進(jìn)

2.1 牛頓迭代法的積分引入法

下面給出一種新的引入牛頓迭代法的方法[12]，此方法的引入需要以數(shù)值積分的知識作為基礎(chǔ)，也就是說要把“數(shù)值積分與數(shù)值微分”這一章放在“非線性方程的數(shù)值解法”之前講授．

令α是光滑函數(shù) f(x)的零點(diǎn)，考慮方程 f(x)=0的數(shù)值解．由牛頓定理，顯然有

將(4)式右端的積分值用數(shù)值積分中的左矩形公式近似代替，并令x=α，可得0 ≈ f(xn)+(α ? xn)f′(xn)，從而解出α≈ xn? f(xn)f′(xn).令 α=xn+1，即可得到

這樣，由積分方程和牛頓定理，利用數(shù)值積分中的左矩形公式就引入了牛頓法．這樣的引入方法會(huì)帶給學(xué)生這樣一個(gè)思考：左矩形公式（或右矩形公式）是數(shù)值積分的一個(gè)簡單的代替，其精度較低，因此得到的牛頓迭代法的收斂階也較低，如果用精度較高的梯形公式近似代替(4)右端的積分項(xiàng)，能否得到更高階的迭代公式呢?

2.2 牛頓迭代法的改進(jìn)

其中 n=0，1，2，… ．(5)式的迭代需要隱式計(jì)算，這會(huì)給求解帶來很大麻煩，為避免隱式計(jì)算，下面給出預(yù)估–校正的方法，即

其中 n=0，1，2，… ．可以證明(6)式為三階收斂，它是對牛頓迭代法的改進(jìn)，其效率指數(shù)為，大于牛頓法的效率指數(shù)與(6)式對應(yīng)的方法稱為梯形牛頓法或代數(shù)平均牛頓法（AN法）[12]．

沿著此思路，學(xué)生自然能想到兩個(gè)數(shù)的平均不只代數(shù)平均．這時(shí)，教師可介紹調(diào)和平均牛頓法、幾何平均牛頓法等．

用 f′(xn)和 f′(zn)的調(diào)和平均值代替 f′(xn)，可得到調(diào)和平均牛頓法（HN法）[13]，即

用 f′(xn)和 f′(zn)的幾何平均值代替 f′(xn)，可得到幾何平均牛頓法（GN法）[14]，即

與一般教材上牛頓迭代法的引入方法相比，用積分方程引入牛頓迭代法更能體現(xiàn)數(shù)值計(jì)算中的“近似”和“構(gòu)造”思想，便于進(jìn)一步介紹牛頓法的各種改進(jìn)形式，有利于學(xué)生“創(chuàng)新”算法能力的培養(yǎng)和創(chuàng)新意識的形成．

[1] 陳公寧，沈嘉驥．計(jì)算方法引論[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2000：130―142．

[2] 林成森．?dāng)?shù)值計(jì)算方法[M]．北京：科學(xué)出版社，2005，33―41．

[3] 孫志忠，袁慰平，聞?wù)癯酰當(dāng)?shù)值分析[M]．南京：東南大學(xué)出版社，2002，34―43．

[4] 馬東升．?dāng)?shù)值計(jì)算方法[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004，32―39．

[5] 李慶揚(yáng)，易達(dá)義，王能超．現(xiàn)代數(shù)值分析[M]．北京：高等教育出版社，1995，26―268．

[6] 鄧建中，葛仁杰，程正興．計(jì)算方法[M]．西安：西安交通大學(xué)出版社，1985，191―197．

[7] 石東洋．?dāng)?shù)值計(jì)算方法[M]．鄭州：鄭州大學(xué)出版社，2007，158―164．

[8] 張韻華，奚梅成，陳效群．?dāng)?shù)值計(jì)算方法與算法[M]．北京：科學(xué)出版社，2006，90―93．

[9] 王能超．計(jì)算方法簡明教程[M]．北京：高等教育出版社，2004，123―126．

[10] 施吉林，劉淑珍，陳桂芝．計(jì)算機(jī)數(shù)值方法[M]．北京：高等教育出版社，1999，238―247．

[11] 白峰杉．?dāng)?shù)值計(jì)算引論[M]．北京：高等教育出版社，2004，136―139．

[12] Weerakoon S，F(xiàn)ernando T G L．A variant of Newton’s method with accelerated third-order convergence[J]．Appl. Math.lett.，2000，13(8)：87―93．

[13] ?ZBAN A Y．Some variants of Newton’s methods[J]．Appl. Math.lett.，2004，17：677―682．

[14] 王霞，趙玲玲，李飛敏．牛頓方法的兩個(gè)新格式[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2007，37(1)：72―76．

〔責(zé)任編輯 張繼金〕

G642，O241.7

A

1006-5261(2010)05-0073-02

2010-01-14

河南省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2008-755-65）；鄭州輕工業(yè)學(xué)院教改項(xiàng)目

王霞（1970―），女，河南開封人，副教授．