有窮非整數(shù)級(jí)亞純函數(shù)的唯一性定理

翟廣鵬 李娜

（山東省莘縣供電公司,山東莘縣252400）

有窮非整數(shù)級(jí)亞純函數(shù)的唯一性定理

翟廣鵬 李娜

（山東省莘縣供電公司,山東莘縣252400）

本文利用Nevanlinna基本定理，得到一個(gè)關(guān)于有窮非整數(shù)級(jí)亞純函數(shù)的唯一性定理，推廣了現(xiàn)有的結(jié)果。

亞純函數(shù)；分擔(dān)值；唯一性

1.引言

整函數(shù)與亞純函數(shù)是函數(shù)論的一大分支，值分布理論是整函數(shù)與亞純函數(shù)所研究的主要內(nèi)容之一，而函數(shù)的唯一性理論是值分布理論的一個(gè)重要研究方向.我國(guó)數(shù)學(xué)界在值分布論的研究中，在二十世紀(jì)三四十年代，熊慶來(lái)、李國(guó)平、莊圻泰等老前輩就做出了許多獨(dú)創(chuàng)的成果。近二三十年來(lái)，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家楊樂(lè)、張廣厚、顧永興、陳懷惠、儀洪勛等也在這方面研究獲得了許多新進(jìn)展，在國(guó)際上走在前列［1-16］。在本文，我們首先介紹了研究亞純函數(shù)的唯一性理論的重要工具—Nevanlinna基本理論，以及現(xiàn)有的成果，最終得到了兩個(gè)關(guān)于有窮非整數(shù)級(jí)亞純函數(shù)的唯一性定理。

首先給出標(biāo)記符號(hào)：標(biāo)記符號(hào)［1］設(shè)f（z）與g（z）與為非常數(shù)亞純函數(shù)，a為任意復(fù)數(shù).再設(shè)f（z）-a的零點(diǎn)為zn（n=1，2，…）。如果zn（n=1，2，…）也是g（z）-a的零點(diǎn)（不計(jì)重級(jí)），則記為f=a?g=a或g=a?f=a.如果zn（n=1，2，…）是f（z）-a的v（zn）重零點(diǎn)時(shí)，zn（n=1，2，…）也是g（z）-a的至少v（zn）重零點(diǎn)，則記為f=a→g=a或g=a←f=a.因此f=a?g=a表示f（z）-a與g（z）-a的零點(diǎn)相同（不計(jì)重級(jí)），f=∞?g=∞表示f（z）與g（z）的極點(diǎn)相同（不計(jì)重級(jí)）。f=a?g=a表示f（z）-a與g（z）-a零點(diǎn)相同，而且每個(gè)零點(diǎn)的重級(jí)也相同，f=∞?g=∞表示f（z）與g（z）的極點(diǎn)相同而且每個(gè)極點(diǎn)的重級(jí)也相同.

定義1.1［1］設(shè)f（z）與g（z）為非常數(shù)亞純函數(shù)，a為任意復(fù)數(shù).

i）如果f=a?g=a，則稱(chēng)a為f（z）與g（z）的CM公共值.（也稱(chēng)f（z）與g（z）CM分擔(dān)a［12］）

ii）如果f=a?g=a，則稱(chēng)a為f（z）與g（z）與的IM公共值.（也稱(chēng)f（z）與g（z）IM分擔(dān)a［12］）

iii）如果a為f（z）與g（z）的IM公共值，并且f（z）-a與g（z）-a的所有零點(diǎn)的重級(jí)均不相同，則稱(chēng)a為f（z）與g（z）的DM公共值.

1.2［2］設(shè)k是一個(gè)非負(fù)整數(shù)或∞，a∈c，Ek（a，f）表示f-a的所有零點(diǎn)，當(dāng)零點(diǎn)的重?cái)?shù)m≤k，計(jì)m次；若m＞k，則計(jì)k+1次，如果Ek（a，f）=Ek（a，g），那么稱(chēng)f與g以權(quán)k分擔(dān)a.

1.3［4］［8］設(shè)f（z）為亞純函數(shù)，按照約定f（z）不為常數(shù)，因而當(dāng)r→∞時(shí)，T（r，f）→∞，對(duì)任意復(fù)數(shù)a（可以為∞）我們定義：

δ（a，f）、θ（a，f）分別稱(chēng)為f（z）的虧量、f（z）的a值點(diǎn)的重級(jí)指數(shù)，如果δ（a，f）＞0，則稱(chēng)a是f（z）的一個(gè)虧值或一個(gè)Nevanlinna例外值.顯然，有0≤δ（a）≤Θ（a）≤1，0≤θ（a）≤Θ（a）≤1.

下面給出Nevanlinna基本定理和已有結(jié)果.

定理1.1［1］（Nevanlinna第二基本定理）設(shè)f（z）是圓內(nèi)的亞純函數(shù)，f（0）≠0，1，∞，

且f′（0）≠0.則對(duì)0＜r＜R有

采用精簡(jiǎn)密指量（精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)［1］）的定義以后，第二基本定理的等價(jià)形式為

對(duì)于有窮非整數(shù)級(jí)整函數(shù)，儀洪勛［5］證明了：

定理1.2［5］設(shè)f（z）與g（z）為非常數(shù)整函數(shù)，f（z）的級(jí)λ（f）為有窮非整數(shù)，且f=0?g=0.如果存在兩個(gè)判別的有窮非零復(fù)數(shù)a1，a2，滿(mǎn)足及則

2.幾個(gè)引理

引理2.1［4］設(shè)f（z）和g（z）是兩個(gè)亞純函數(shù)，它們的級(jí)分別為λ（f）和λ（g），若λ（f）＜λ（g）,則f（z）±g（z）的級(jí)

引理2.2［4］設(shè)f（z）是一個(gè)亞純函數(shù)，則亞純函數(shù)與f（z）=的級(jí)相同.特別是與f（z）有相同的級(jí).

引理2.3［4］設(shè)f（z）和g（z）是兩個(gè)亞純函數(shù)，它們的級(jí)分別為λ（f）和λ（g），若λ（f）＜λ（g）,則亞純函數(shù)f（z）·g（z），的級(jí)λ都與g（z）的級(jí)λ（g）相等.

引理2.4［1］設(shè)f（z）和g（z）為開(kāi)平面上的非常數(shù)亞純函數(shù)，其級(jí)分別為λ（f）和λ（g），則

引理2.5［5］設(shè)h（z）為非常數(shù)整函數(shù)，f（z）=eh（z），且f（z）的級(jí)為λ，下級(jí)為μ，

i）若h（z）為p次多項(xiàng)式，則λ=μ=p.

ii）若h（z）為超越整函數(shù)，則λ=μ=∞.

引理2.6設(shè)f（z）和g（z）為有窮非整數(shù)級(jí)亞純函數(shù)，f（z）的級(jí)λ（f）與g（z）的級(jí)λ（g），滿(mǎn)足λ（f）≤λ（g），且，則λ（f）=λ（g）.

證明由條件λ（f）≤λ（g）知，只需證明λ（f）＜λ（g）不成立即可.

1°若f（z）≡g（z），則顯然λ（f）=λ（g）.

2°若f（z）不恒等于g（z），用反證，假設(shè)λ（f）＜λ（g）成立.由于f=0?g=0，故可設(shè)其中h（z）為整函數(shù).由已知，eh（z）不恒為1，故由引理2.3，由引理2.5知，上式左邊是整數(shù)，而右邊是有窮非整數(shù)，顯然不能成立，從而λ（f）＜λ（g）的假設(shè)不成立，只能有λ（f）=λ（g）.

綜合1°、2°，引理2.6得證.

引理2.7[6]設(shè)f，g是非常數(shù)亞純函數(shù)，λ（g）為有窮非整數(shù)，且f，g具有兩個(gè)CM公共值0，∞，如果存在兩個(gè)判別的有窮非零復(fù)數(shù)a1，a2滿(mǎn)足

3.主要結(jié)果及其證明

接下來(lái)，我們要對(duì)定理1.2進(jìn)行改進(jìn)：關(guān)于整函數(shù)的唯一性定理推廣為關(guān)于亞純函數(shù)的唯一性定理.從而得到如下定理：

定理3.1設(shè)f（z）和g（z）是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，g（z）的級(jí)λ（g）為有窮非整數(shù)，且如果a1，a2是另外的兩個(gè)判別的有窮非零復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足及則

證明（1）不妨設(shè)b1=0，b2=∞.假設(shè)f（z）不恒等于g（z），由已知條件及引理2.7，得λ（f）=λ（g）.又f=0?g=0，故可設(shè)

其中h（z）為整函數(shù)，由引理2.2和引理2.4，

設(shè){zn}是f（z）-a1的所有j（1≤j≤k）重零點(diǎn)，則由f=a1→g=a1知，其中k為任意正整數(shù)，故{zn}也是g（z）-a1的j（1≤j≤k）重零點(diǎn)，由，得eh（zn）=1.

由假設(shè)f（z）不恒等于g（z），則eh（z）不恒為1，從而有

同理，

其中k為任意正整數(shù).

由Nevanlinna第二基本定理，得

從而

而

其中，j=1，2，由（3.3）、（3.4）、（3.5）和（3.6）式得

上式兩邊中令k→∞，則

因此λ（f）≤λ（eh（z））與（3.2）式矛盾，假設(shè)不成立.故f（z）≡g（z）.

（2）b1，b2均為有窮非零復(fù)數(shù)，則令

則有λ（F）=λ（f），λ（G）=λ（g），顯然，F(xiàn)，G滿(mǎn)足（1）的情形，其它情形均可轉(zhuǎn)換為（1）的情形.

由（1）、（2），結(jié)論得證。

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O174.52

A

1008—3340（2010）04—0061—03

2010－10－21

翟廣鵬（1987－），男，本科，山東省莘縣供電公司。李娜（1986－），女，本科，山東省莘縣供電公司。