孤立點(diǎn)集及其導(dǎo)集的性質(zhì)

羅群，張占亮

（肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東肇慶526061）

孤立點(diǎn)集及其導(dǎo)集的性質(zhì)

羅群，張占亮

（肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東肇慶526061）

歸納出孤立點(diǎn)集及其導(dǎo)集的6個(gè)性質(zhì)；還通過(guò)幾個(gè)實(shí)例討論了孤立點(diǎn)集之導(dǎo)集的可數(shù)性問(wèn)題.

孤立點(diǎn)；導(dǎo)集；Cantor集；可數(shù)集；不可數(shù)集

在實(shí)變函數(shù)論中，涉及到孤立點(diǎn)集的結(jié)論并不多見(jiàn).我們知道有限集的導(dǎo)集是空集，實(shí)數(shù)軸上的有理數(shù)集Q雖然是可數(shù)集，但其導(dǎo)集Q′＝(－∞,＋∞).那么對(duì)于可數(shù)的孤立點(diǎn)集而言，其導(dǎo)集的情況如何，孤立點(diǎn)集及其導(dǎo)集具有哪些性質(zhì)，這些問(wèn)題有待探究.本文中，筆者主要從可數(shù)集、不可數(shù)集等方面對(duì)孤立點(diǎn)集及其導(dǎo)集的性質(zhì)進(jìn)行討論.

1 基本定義

為了敘述方便，先給出一些基本定義.

定義1若集合A與正整數(shù)集Z＋對(duì)等，則稱(chēng)A是可數(shù)集.有限集與可數(shù)集統(tǒng)稱(chēng)為至多可數(shù)集.

定義2設(shè)E?Rn，x∈Rn，若存在δ＞0，使E∩N(x,δ)＝{x}，則稱(chēng)點(diǎn)x是集合E的孤立點(diǎn).其中Rn表示n維歐氏空間，N(x,δ)表示以點(diǎn)x為心，δ為半徑的鄰域.如果集合E的每個(gè)點(diǎn)都是孤立點(diǎn)，則稱(chēng)E是孤立點(diǎn)集合或孤立集合.

顯然集合E的孤立點(diǎn)一定屬于E，且是E的邊界點(diǎn).

定義3設(shè)E?Rn，x∈Rn，若對(duì)任意δ＞0，N(x,δ)都含有E的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（或N(x,δ)至少含有E的1個(gè)異于x的點(diǎn)），則稱(chēng)點(diǎn)x是集合E的聚點(diǎn).集合E的聚點(diǎn)的全體稱(chēng)為E的導(dǎo)集，記為E′.

顯然，集合E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E.

定義4如果集合E的閉包E(E＝E∪E′)沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)E是疏朗集.

2 孤立點(diǎn)集及其導(dǎo)集的性質(zhì)

利用孤立點(diǎn)等的定義及相關(guān)參考文獻(xiàn)[1]17－42,96－150[2]8－28可得到孤立點(diǎn)集及其導(dǎo)集的如下幾個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1設(shè)E?Rn，則E－E′是E的孤立點(diǎn)集.

證設(shè)x∈E－E′，則點(diǎn)x∈E，但x不是E的聚點(diǎn).由定義3，存在δ＞0，使N(x,δ)只含E的有限個(gè)點(diǎn).若N(x,δ)只含E的1個(gè)點(diǎn)，則E∩N(x,δ)＝{x}，即點(diǎn)x是E的孤立點(diǎn)；若N(x,δ)含有E的2個(gè)以上(有限個(gè))點(diǎn)，記這有限個(gè)點(diǎn)中異于x的點(diǎn)分別為x1，x2，…，xk，k≥1，取

δ*＝min{d(x,xi)∶i＝1,2,…,k}＞0,

其中d(x,xi)表示點(diǎn)x與點(diǎn)xi的距離（下文皆同），則E∩N(x,δ*)＝{x}，從而點(diǎn)x是集合E的孤立點(diǎn).結(jié)論成立.

性質(zhì)2設(shè)B為集合A的孤立點(diǎn)的全體，則A＝B∪（A′∩A）.

注2性質(zhì)6反之不真.例如：Cantor集是疏朗集，但Cantor集是完備集不是孤立點(diǎn)集.

3 孤立點(diǎn)集的導(dǎo)集的可數(shù)性問(wèn)題

由于有限集合的導(dǎo)集是空集，所以有限的孤立點(diǎn)集的導(dǎo)集當(dāng)然也是空集.對(duì)于可數(shù)的孤立點(diǎn)集，其導(dǎo)集的情況通過(guò)幾個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明.

例1設(shè)E＝{1,2,3,…}，則顯然E是可數(shù)的孤立點(diǎn)集，且E′＝?，此孤立點(diǎn)集是閉集.

上述3個(gè)例子說(shuō)明孤立點(diǎn)集的導(dǎo)集可以是至多可數(shù)集；此外，孤立集合的導(dǎo)集還可以是不可數(shù)的無(wú)窮集.為驗(yàn)證這一結(jié)論，下面先介紹Cantor集[1]33－34[2]13－14.

而稱(chēng)P＝[0,1]－G為Cantor集.

Cantor集P是完備的疏朗集且Cantor集P具有連續(xù)基數(shù)c，當(dāng)然Cantor集P是不可數(shù)的.

例4[2]27設(shè)S是Cantor集P在構(gòu)造過(guò)程中去掉的開(kāi)區(qū)間的中點(diǎn)構(gòu)成的集合，由文獻(xiàn)[1]20習(xí)題2知S是可數(shù)的.下面驗(yàn)證S′＝P，從而.又由于S∩S′＝?，由性質(zhì)5知S是孤立點(diǎn)集.

事實(shí)上,對(duì)任意x∈S′，若x∈[0,1]－P＝G，由G的構(gòu)造，存在x的某個(gè)開(kāi)鄰域N(x)落在G的某一構(gòu)成區(qū)間內(nèi)，所以(N(x)－{x})∩S＝?，這與x∈S′矛盾，所以x∈P，從而S′?P.反之，設(shè)x∈P，?δ＞0，取正整數(shù)n使1/3n＜δ/2，由Cantor集P的構(gòu)造，第n次去掉的2n－1個(gè)開(kāi)區(qū)間中必有1個(gè)含于N(x，δ)內(nèi).記該開(kāi)區(qū)間的中點(diǎn)為x0，則x0∈S，且x0≠x，于是x0∈(N(x，δ)－{x})∩S.即(N(x，δ)－{x})∩S≠?，從而x∈S′，P?S′.于是S′＝P.

通過(guò)如上4個(gè)例子可以得知，可數(shù)孤立點(diǎn)集的導(dǎo)集可以是空集、非空有限集、可數(shù)集和不可數(shù)集.

∶

[1]江澤堅(jiān),吳智泉,紀(jì)有清.實(shí)變函數(shù)論[M].3版.北京:高等教育出版社,2007.

[2]鄭維行,王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要:第1冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,1980.

(School of Mathematics andInformationSciences,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

The Properties of Isolated Set and Its Derived Set LUOQun,ZHANG Zhanliang

In this paper,six properties of isolated set and its derived set are summed up.And by some examples,the countability of derivedsetof isolatedsetis discussed

isolatedpoint;derivedset;Cantorset;countable set;non-countable set

O174.1

A

1009－8445（2010）05－0005－03

（責(zé)任編輯：陳靜）

2010－04－13

羅群(1963－)，女，重慶巴縣人，肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，博士.