玻色凝聚態(tài)在一維無限深勢阱中的穩(wěn)定性分析

韓素紅

(山西大同大學(xué)物理與電子學(xué)院,山西大同 037009）

玻色凝聚態(tài)在一維無限深勢阱中的穩(wěn)定性分析

韓素紅

(山西大同大學(xué)物理與電子學(xué)院,山西大同 037009）

從描述玻色愛因斯坦凝聚的基本方程（Gross-Pitaevskii方程）出發(fā)，利用一種半經(jīng)典的方法對其基態(tài)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)在一維有限體系內(nèi)其基態(tài)定態(tài)解是穩(wěn)定的.這個(gè)結(jié)果與利用其他方法所得到的結(jié)果相一致.

玻色愛因斯坦凝聚 穩(wěn)定性 半經(jīng)典方法

在三維空間中,一團(tuán)具有相互作用的均勻的玻色-愛因斯坦凝聚氣體是很不穩(wěn)定的,同時(shí)也很容易崩塌[1].然而當(dāng)有束縛勢阱存在的情況下,這樣的凝聚氣體是能夠產(chǎn)生的,但卻是一種亞穩(wěn)定的狀態(tài)[2].這種穩(wěn)定的限度是由一種自我吸引力與排斥力之間的平衡決定的.那是因?yàn)樵谌S空間條件的限制內(nèi),位置與動量是不確定的[3-5].在這種穩(wěn)定的限度之內(nèi),這種被限制在一維運(yùn)動中具有相互吸引的玻色-愛因斯坦凝聚氣體的亞穩(wěn)態(tài)在實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)得到了實(shí)現(xiàn),也就是亮孤子形態(tài)[6，7].我們研究了玻色凝聚氣體在一維無限深方勢阱中穩(wěn)定的基態(tài)的G-P方程的基態(tài)解.并且繪制出了從正非線性相互作用到負(fù)非線性相互作用的系統(tǒng)的相圖.結(jié)果表明基態(tài)解在這些區(qū)域內(nèi)總是穩(wěn)定的.

1 簡介

1.1 一維G-P方程

根據(jù)波函數(shù)模平方的全域積分值的不同,波函數(shù)有兩種表示方式:一種就像(1)一樣,取

另一種是將波函數(shù)歸一化,再將粒子數(shù)與g一起構(gòu)成非線性因子:

本文中采用后一種表示方式.

1.3 勢函數(shù)

一維無限深勢阱:

其中，L為勢阱長度.

1.4 G-P方程的無量綱化

將(2)無量綱化:

1.5 定態(tài)方程

按照求定態(tài)解的一般方法,設(shè)解的形式為ω(x,t)＝ψ（x）exp（iEt）,將其代入(5)中得:

2 半經(jīng)典近似

動力學(xué)穩(wěn)定性的定義及原理[3]:當(dāng)處于凝聚態(tài)的波函數(shù)在一個(gè)微擾后不隨時(shí)間的延長呈指數(shù)發(fā)散時(shí),那么就認(rèn)為這是動力學(xué)穩(wěn)定的.否則系統(tǒng)將認(rèn)為是不穩(wěn)定的,因?yàn)橐粋€(gè)微擾就會導(dǎo)致凝聚態(tài)波函數(shù)遠(yuǎn)離其本身.

下面作半經(jīng)典近似:

3 相圖分析

哈密頓量H(x,P)不顯含時(shí)間,所以能量守恒,所以等能的相圖即為軌道.然而,由于U(x)在勢阱外為無窮大,所以在邊界處,廣義動量反向.作出勢阱寬度為1,非線性因子為η=50,非線性參數(shù)不變,能量與化學(xué)勢的比值E/μ改變時(shí)的相圖(圖1).

圖1 非線性參數(shù)不變的相圖

圖2 非線性因子不斷改變的相圖

從圖1可以看出,隨著能量的增加軌道越來越扁,最終,當(dāng)比值大于1時(shí),軌道開始展開,上下不再封閉,但是由于在邊界上要?jiǎng)恿糠聪?且圖像上下對稱,所以軌道還是封閉的.還有一點(diǎn)要強(qiáng)調(diào)的是對應(yīng)于一個(gè)能量有內(nèi)外兩個(gè)軌道,從而產(chǎn)生了一些粒子所到不了的地方.即使能量為虛數(shù)的地方.

再作能量與化學(xué)勢比值E/μ=0.7時(shí),

非線性因子不斷改變的相圖(圖2)

圖2可以看出,隨著非線性參數(shù)的增加軌道越來越扁,但始終在一個(gè)封閉的軌道內(nèi)從以上的分析得出,軌道是穩(wěn)定的.

4 結(jié)論

通過對一維無限深勢阱下玻色凝聚態(tài)的半經(jīng)典近似處理及相圖分析,可得出這樣的結(jié)論:系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

[1]Dalfovo F,Giorgini S,Pitaevskii L P,et al.Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases[J].Rev Mod Phys,1999,71: 463.

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[3]Bradley CC,SackettCA,Tollett JJ，etal.Evidence ofBose-Einstein Condensation in an Atomic Gaswith Attractive Interactions[J]. Phys Rev Lett,1995,75:1687-1690.

[4]Bradley CC,Sackett CA,Hulet R G.Bose-Einstein Condensation of Lithium:Observation of Limited Condensate Number[J].Phys Rev Lett,1997,78:985-989.

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[7]Khaykovich L,Scherck F,FerrariG,etal.Formation of a Matter-Wave Bright Soliton[J].Science,2002,296:1290-1293.

The Study on the S tability of Bose-Einstein Condensatesw ith 1-Dimensional SquareW ell

HAN Su-hong
(School ofMathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this article,starting from Gross-Pitaevskii Equation,which is a basic equation to describe the properties of the Bose-Einstein condensates(BEC),we investigate the stability properties of the ground state for BECwith 1-dimensional square well by one kind semi-classicalmethod.Our results show that the ground state is stably and is consistentwith the exiting literatures.

Bose-Einstein Condensates;instability;semi-classicalmethod

O469

A

1674-0874（2010）02-0032-03

2010-01-20

韓素紅（1964-），女，山西大同人，副教授，研究方向：理論物理.