單位圓上調和擬共形映照的復特征估計

朱劍峰

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

單位圓上調和擬共形映照的復特征估計

朱劍峰

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

調和映照；擬共形映照；伸縮商；偏差估計

單葉調和函數與單葉函數論、調和分析、擬共形映照理論都有密切的聯(lián)系.近年來，對單位圓上單葉調和函數的研究非常活躍，特別是w=P［f］（z）在何種條件下成為調和擬共形映照，有很深入的研究.文［1-3］給出了w=P［f］（z）成為調和擬共形映照的充要條件，但對其復特征模的估計沒有涉及；文［4-7］研究了w為調和k-擬共形映照的的一些相關性質；文［8-9］估計了兩類單葉調和映照的偏差估計.本文研究w的邊界函數，給出w為擬共形映照時其偏導數及復特征模的估計.

1 基本假定

以下不另做聲明，均假設f（x）=exp［iγ（x）］.定義w=u+iv為平面區(qū)域Ω上的單葉調和函數.若Ω為單連通區(qū)域，則存在h（z），g（z）為Ω上的解析函數，使得w=h+.

則由Lewy定理可知，w=P［f］（z）是單位圓D內的單葉調和函數.

令f（x）=exp［iγ（x）］，x∈R，滿足f（x±2π）=exp［iγ（x±2π）］=f（x）.如果γ（x）在區(qū)間［0，2π］絕對連續(xù)，則對于幾乎所有的x∈［0，2π］，有

2 主要結果及其證明

證明 設w=P［f］（z）=u+iv，則由式（1）可知，對于任意的z=rexp（iγ）∈D，有

而且有

于是，有

注意到u（exp（iφ））=cosγ（φ）及v（exp（iφ））=sinγ（φ），所以有

式（4）中，K（x，φ）=γ′（φ）-γ′（φ）cos（γ（φ）-γ（x））≥0.因為有

所以，利用w（0）=0，可得到

另一方面，如果|f′（x）|≤A，則有如下引理.

證明 由式（4）可知

有了引理1，引理2，下面證明兩個主要結果.

證明 由式（2），（3）可得

且

所以，有

人為因素也是影響畜牧養(yǎng)殖業(yè)動物發(fā)病的一個重要原因，由于農戶的科學養(yǎng)殖意識不高，對養(yǎng)殖設施的設置不全面以及用藥和管理不當等，都是造成動物發(fā)病的重要人為因素。同時，農戶在進行養(yǎng)殖前選址不當也是造成動物發(fā)病率較高的一個因素。在動物疾病的防控中，很多養(yǎng)殖人員缺乏專業(yè)的動物疾病防控知識，出現疫情亂用藥等也會加重疫情的傳播，導致不良后果的出現。另外，養(yǎng)殖中缺乏專業(yè)的消毒措施也是使目前動物疫情頻發(fā)的重要人為原因。

對于定理1中的3個條件，文［1］已證明了w具有擬共形的性質，也就是說，條件（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）是w為調和擬共形映照的充要條件.但是，文［1］中沒有涉及到對|h′（z）|及一些相應量的估計.針對以上一些量的估計，進一步的研究得到如下的定理.

證畢.

［1］PAVLOVIC M.Boundary correspondence under harmonic quasiconformal homeomorphisma of the unit disk［J］.Ann Acad Sci Fenn（Series A1）：Math，2002，27（2）：365-372.

［2］KALAJD.Quasiconformal harmonic functions between convex domains［J］.Publications De L’Institut Mathématique，2004，76（90）：3-20.

［3］PARTYKA D，SAKAN K.On an asymptotically sharp variant of Heinz’s inequality［J］.Ann Acad Sci Fenn（Series A1）：Math，2005，30（1），167-182.

［4］PARTYKA D，SAKAN K.On bi-lipschitz type inequalitites for quasiconformal harmonic mappings［J］.Ann Acad Sci Fenn（Series A1）：Math，2007，32（2）：579-594.

［5］BEUELING A L，AHLFORS V.The boundary correspondence under quasiconformal mapping［J］.Acta Math，1956，96（1）：124-142.

［6］L ETHO O.Univalent functions and teichmuller spaces［M］.New York：Spring-Verlag，1987.

［7］CLUNIE J，SHEILl-SMALL T.Harmonic univalent functions［J］.Ann Acad Sci Fenn（Series A1）：Math，1984，9（1）：3-25.

［8］吳瑞溢，黃心中.Salagean類單葉調和函數的特征［J］.華僑大學學報：自然科學版，2008，29（2）：308-311.

［9］韓雪，黃心中.兩類單葉調和函數的偏差估計［J］.華僑大學學報：自然科學版，2008，29（4）：618-621.

Estimate for the Dilatation of Harmonic Quasiconformal Mappings in the Unit Disk

ZHU Jian-feng
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Letf（x）=exp（iγ（x））be a sense-preserving homeomorphism of the unit disk，w=P［f］（z）be a harmonic mapping of the unit disk onto itself with boundary valuesf（x）.In this article，by studying the boundory functionf（x），we obtain a good estimate forJw.Ifwis a harmonic quasiconformal mapping，the complex dilatation ofw.

harmonic mapping；quasiconformal mapping；dilatation；distortion estimate

O 174.55

A

1000-5013（2010）04-0476-04

（責任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2008-09-14

朱劍峰（1980-），男，講師，主要從事函數論的研究.E-mail：flandy@hqu.edu.cn.

華僑大學科研基金資助項目（08HZR19）