一道常見(jiàn)題引出一個(gè)有用的結(jié)論

●袁守義 (常州市第一中學(xué) 江蘇常州 213003)

圖1

圖2

這是一道常見(jiàn)題，學(xué)生給出了多種解法，這里不一一列舉.筆者在教學(xué)中特別展示了學(xué)生的一種幾何解法：

結(jié)果，很快就有學(xué)生給出了答案m ∶n∶p.或許有些學(xué)生是猜測(cè)的，但事實(shí)上用上面的方法，不難證得其結(jié)果是正確的.在此基礎(chǔ)上，將此問(wèn)題換一種說(shuō)法，可得下面結(jié)論：

圖3

C

證明如圖3，延長(zhǎng) AO至點(diǎn) A'，使得 AO=OA'，過(guò)點(diǎn)A'分別作 OB，OC的平行線交 OC于點(diǎn)C'，交 OB 于點(diǎn) B'，則

若用此定理解決相關(guān)的問(wèn)題，則明顯快捷、準(zhǔn)確.

(2009年江蘇省鎮(zhèn)江市高中數(shù)學(xué)模擬試題)

從而△OAB與△OBC的面積之比為5∶1.

圖4

圖5

(2010年江蘇各地?cái)?shù)學(xué)高考押題匯編)

因?yàn)辄c(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，所以不妨設(shè) S△PBC=1-x-y，S△PAC=x，S△PAB=y(如圖 5)，得