淺析相對(duì)無偏估計(jì)在測(cè)量平差中的應(yīng)用

高強(qiáng) 靳麗

1 概述

在間接平差中我們利用線性隨機(jī)模型,將觀測(cè)值通過未知參數(shù)的線性方程組間接表示。

其中,aij為已知的非隨機(jī)參數(shù);λi為一個(gè)觀測(cè)得的隨機(jī)變量的理論平均值;xi為未知參數(shù)。用矩陣符號(hào)寫出這一參數(shù)模型:

假定這一模型給出我們的觀測(cè)值集合的適當(dāng)表示,用隨機(jī)變量和誤差,把參數(shù)模型寫為隨機(jī)模型。

L為隨機(jī)變量,誤差為:

若A矩陣滿秩,則對(duì)于X,我們可以確立唯一的期望。對(duì)于任何被選定的A-1可以得到一個(gè)無偏估值。當(dāng)重復(fù)無限多次,它作為極限平均值給出期望。這同經(jīng)典表示完全一致。凡這種估值均可叫作絕對(duì)無偏估計(jì)。那么,絕對(duì)無偏估計(jì)值是否嚴(yán)格的形成,這就要求我們使用以絕對(duì)單位制操作工具進(jìn)行全部測(cè)量。實(shí)際上我們不得不接受較適中的辦法,承認(rèn)只有在實(shí)際參數(shù)系統(tǒng)中分析每一種觀測(cè)才有意義。所以,相對(duì)無偏估值似乎是自然的。

2 相對(duì)無偏估值

2.1 提出相對(duì)無偏估計(jì)的原因

在經(jīng)典平差中,我們這樣處理問題,例如:在已知測(cè)站P觀測(cè)了三個(gè)目標(biāo)A,B和C的方向,那么通常把一個(gè)目標(biāo)的方向(A)當(dāng)作零方向,而把其他兩個(gè)目標(biāo)的平均值取作最后的結(jié)果。這種表示法對(duì)第一方向(A)就給出零方差,而其他兩個(gè)方向(BC)包括了來自第一個(gè)方向(A)的方差。在這里方差是作為一個(gè)絕對(duì)無偏估值給出。但是,所有三個(gè)方向是完全等價(jià)的,把所有三個(gè)方向都看作是未知數(shù)是更自然的。這里得到一個(gè)不為滿秩的矩陣A,如果適當(dāng)極小化,這個(gè)矩陣對(duì)于所有三個(gè)方向給出相同的方差。

2.2 相對(duì)無偏估值

定義1:當(dāng) A不為滿秩時(shí),利用 A的廣義逆來估計(jì)參數(shù)X,就叫作相對(duì)無偏估值。

定義2:對(duì)于一個(gè)任意的矩陣 A,我們定義逆陣 A-1:

對(duì)于一個(gè)任意的矩陣A,它的逆陣的完全集:

其中,A-1為A的任何一個(gè)逆;M,N均為可以加于A-1的實(shí)際空間之任何矩陣。對(duì)于任何的 M,N可以得到滿足式(6)的逆陣。

3 實(shí)例

我們提出的方法將用數(shù)值模型進(jìn)一步加以解釋,如下觀測(cè)方程(非相容的):

3.1 方法一

為了估計(jì)一個(gè)無偏的估值,可以用A的任何廣義逆陣,取 A中上方四個(gè)元素所成矩陣的凱萊逆陣再附加兩個(gè)零簡(jiǎn)單的得到。

滿足 AA-1A=A,故參數(shù)的無偏估值=A-1L。

按最小二乘原理,誤差ε的方差最小:

3.2 方法二

取A中下方四個(gè)元素所成矩陣的凱萊逆陣再附加兩個(gè)零簡(jiǎn)單的得到。

滿足AA-1A=A,故參數(shù)的無偏估值

3.3 方法三

按最小二乘原理,誤差ε的方差最小:

取A的最小二乘最小范數(shù)逆:

若比較三個(gè)無偏解,現(xiàn)在無法決定哪一種方法更為可取。我們只能說第一個(gè)解給出的方差大,最后一個(gè)解給出的方差小。

3.4 方法四

無偏估值的全集:

我們可以選擇N的任何有限值,對(duì)于無偏觀測(cè)值的任何集合,X的極限值將是相同的。

4 結(jié)語

在測(cè)量平差中,當(dāng)觀測(cè)量完全等價(jià)時(shí),采用相對(duì)無偏估計(jì)能正確得到其最或然似值。

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