一種指數(shù)型變步長仿射投影算法

范永全， 周 波

（①西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610039；②中國電子科技集團(tuán)第30研究所，四川 成都 610041）

0 引言

當(dāng)輸入序列為有色信號(hào)或有較強(qiáng)相關(guān)性時(shí), 常用的最小均方算法(LMS)[1]以及歸一化算法(NLMS)[2]的收斂速度和精度明顯下降，仿射投影算法(APA)[3]較好地解決了上述問題,因而得到了廣泛應(yīng)用。類似于LMS算法，APA算法的步長選擇影響算法的收斂速率和穩(wěn)態(tài)失調(diào)。為了解決快速收斂和低失調(diào)之間的矛盾，需要對步長進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[4]提出了一種度量濾波器距離最優(yōu)性能的接近程度的準(zhǔn)則，并推導(dǎo)出一種變步長APA(VS-APA)算法，該算法具有較高的估計(jì)精度，但收斂速度較慢。為此，文獻(xiàn)[5]提出了改進(jìn)的 VS-APA-FF算法，通過引入衰減矩陣對投影矩陣進(jìn)行加權(quán)處理，來降低參數(shù)估計(jì)的均方偏差。該方法加快了收斂速度，但增加了算法運(yùn)算量，并且當(dāng)濾波器階數(shù)較高時(shí)，經(jīng)過衰減處理的投影矩陣容易出現(xiàn)病態(tài)，導(dǎo)致對投影誤差的估計(jì)變差。為此，文獻(xiàn)[6]對加權(quán)投影矩陣引入正則項(xiàng)，提高了上述方法的魯棒性，但由于衰減因子帶來的計(jì)算量仍然較大。文獻(xiàn)[7]提出了基于時(shí)變平滑因子的VS-APA(VS-APA-VSF)算法。該算法采用投影的加權(quán)誤差向量的范數(shù)作為判斷優(yōu)化距離的準(zhǔn)則，從而把平滑因子在兩個(gè)不同值之間切換。但該算法需要根據(jù)投影誤差范數(shù)的變化趨勢確定“觸發(fā)點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜。為此，本文提出了改進(jìn)的指數(shù)型變步長 APA算法(VS-APA-EXP)，該方法將投影誤差范數(shù)通過指數(shù)函數(shù)的映射直接得到平滑因子，實(shí)現(xiàn)更為簡單。

1 變步長仿射投影算法(VS-APA)

考慮有色輸入下的信道盲辨識(shí)問題，通過自適應(yīng)調(diào)整濾波器權(quán)值使得濾波器輸出能跟蹤期望信號(hào)的變化。設(shè)Xk表示輸入向量，且L為濾波器的抽頭數(shù)，期望的濾波器輸出dk可表示為：

其中Wo是未知的估計(jì)的權(quán)值向量，nk是零均值的高斯噪聲。使用仿射投影算法(APA)，Wo的估計(jì)值可按下式計(jì)算：

Shin H.C.提出了一種次優(yōu)的變步長APA算法[4]，本文以VS-APA表示：

2 改進(jìn)的指數(shù)型VS-APA算法

VS-APA算法中平滑因子α對算法性能的影響如下：較小的α使得μ對誤差敏感，從而初始收斂速度較快，但穩(wěn)態(tài)失調(diào)偏大；而較大的α使得μ對誤差化不太敏感，從而穩(wěn)態(tài)失調(diào)較小，但算法收斂慢。VS-APA算法采用固定的平滑因子，難以找到收斂速率和失調(diào)的平衡點(diǎn)。為此，文獻(xiàn)[7]提出可變平滑因子的VS-APA-VSF算法,其平滑因子α的更新策略為：

① α取較小值以便算法在權(quán)值更新的初始階段，算法可以有效跟蹤誤差信號(hào)；

② 當(dāng)權(quán)值接近最優(yōu)時(shí)，α取較大值，使得步長平滑遞減，從而收斂過程對誤差信號(hào)的敏感度下降。此時(shí)，較大的α類似一個(gè)“減震器”，抑制權(quán)值偏離最優(yōu)值。

該方案使用“觸發(fā)點(diǎn)”將平滑因子分為兩個(gè)級(jí)別：αmin和αmax，其中 0＜ αmin＜ αmax＜ 1。VS-APA-VSF算法把加權(quán)投影誤差向量的范數(shù)作為判斷權(quán)值矢量與最優(yōu)值的接近程度，考察隨迭代次數(shù)變化的特性，把下降曲線的第一個(gè)逆轉(zhuǎn)點(diǎn)作為“觸發(fā)點(diǎn)”，進(jìn)行平滑因子 α的切換，相應(yīng)的公式為：

其中kc是滿足的第一點(diǎn)。在相同條件下該算法比VS-APA具有更好的收斂性能。在初始階段VS-APA-VSF算法收斂加快，且穩(wěn)態(tài)失調(diào)較小。但是該算法根據(jù)前后時(shí)刻的值的變化，確定“觸發(fā)點(diǎn)”并切換平滑因子，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，不利于實(shí)際應(yīng)用。為此本文提出了時(shí)變平滑因子指數(shù)更新策略，將的值通過指數(shù)函數(shù) e-x直接映射為平滑因子α的值，該函數(shù)滿足如下條件： α取值在(0,1)之間；越大，α越接近于0，否則越接近于1。從而得到如下平滑因子的轉(zhuǎn)移函數(shù)

其中 exp(·)表示以 e為底的指數(shù)函數(shù)，從而可得到本文的VS-APA-EXP算法。根據(jù)不同的值，可直接得到平滑因子α的值，無需判斷“觸發(fā)點(diǎn)”并切換平滑因子。圖1(a),圖1 (b)分別為投影誤差的范數(shù)與平滑因子α值隨迭代次數(shù)的變化曲線?？梢钥闯?，當(dāng)權(quán)值偏差較大時(shí)，較大的值對應(yīng)較小的α值；反之當(dāng)較小時(shí)對應(yīng)較大的α值。因此，這種指數(shù)更新方案剛好滿足算法對平滑因子的要求。本文提出的VS-APA-EXP算法總結(jié)如下：

初始化：

迭代計(jì)算：

圖1 與α值的變化曲線

3 仿真結(jié)果

下面通過有色噪聲下的信道參數(shù)的盲辨識(shí)來驗(yàn)證本文算法(VS-APA-EXP)的性能，并與固定平滑因子的 VS-APA算法[4]、VS-APA-VSF[7]算法和常規(guī)的 APA算法比較。未知信道用L個(gè)抽頭的FIR濾波器建模。并且假設(shè)自適應(yīng)濾波器與未知信道的抽頭數(shù)相同。有色輸入信號(hào)是通過把高斯隨機(jī)序列通過如下的二階系統(tǒng)[8]而產(chǎn)生的。

加入測量噪聲使得 SNR=30 dB。常規(guī) APA算法的步長μ= 0.01，VS-APA算法采用固定的平滑因子α=0.99,μmax=1。圖2,圖3為幾種APA算法在有色輸入信號(hào)下采用不同數(shù)據(jù)重用因子P時(shí)的均方偏差(MSD)收斂曲線的比較，對應(yīng)參數(shù)的取值參見圖下的說明文字，仿真結(jié)果為 50運(yùn)行取平均值。

圖2為P=4時(shí)的MSD性能曲線，其中?？梢钥闯觯珹PA算法均方偏差和穩(wěn)態(tài)失調(diào)都比較大；VS-APA算法優(yōu)于常規(guī)APA算法，但收斂較慢；VS-APA-VSF算法略好于 VS-APA算法；本文算法的MSD性能比VS-APA和VS-APA-VSF改善了10 dB以上，且收斂速度較快。圖3為P=8時(shí)的MSD性能曲線，與上圖具有類似的結(jié)果。本文算法的MSD比VS-APA算法改善了5 dB左右，比VS-APA-VSF算法改善了7 dB。

圖2 均方偏差收斂曲線, P=4,L=8,C=0.1

圖3 均方偏差收斂曲線, P=8,L=16,C=0.15

4 結(jié)語

針對文獻(xiàn)[7]提出的VS-APA-VSF算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的問題，本文提出一種改進(jìn)的指數(shù)型變步長仿射投影算法，將投影誤差范數(shù)的估計(jì)值通過指數(shù)函數(shù)的映射直接得到平滑因子α的值。該方法實(shí)現(xiàn)簡單，無需切換平滑因子。與常規(guī)的 APA算法、以及VS-APA[4,7]中的算法相比，本文算法具有更快的收斂速度和更小的均方偏差。本文算法的有效性通過有色輸入下的信道辨識(shí)得到了驗(yàn)證，并且對類似的自適應(yīng)信號(hào)處理問題有重要的參考價(jià)值。

[1] 孫靜，陶智，顧濟(jì)華，等.基于 LMS自適應(yīng)濾波的耳語音增強(qiáng)的研究[J].通信技術(shù), 2007,40（12）:394-396.

[2] 任曉亞，宋愛民.自適應(yīng)算法在干擾抵消器應(yīng)用中的比較研究[J] .通信技術(shù),2007,40（12）:48-50.

[3] 西蒙·赫金.自適應(yīng)濾波器原理[M].第 4版.北京：電子工業(yè)出版社,2003:261-267.

[4] Shin H C, Sayed A H, Song W J. Variable Step-Size NLMS and Affine Projection Algorithms[J].IEEE Signal Processing Letters.2004,11(02):132-135.

[5] Dai T, Shahrrava B, Chen X. A Variable Step-Size Affine Projection Algorithm with A Weighted Projection Matrix[C]. SK,Canada: IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE)-Saskatoon: 2005:320-323.

[6] Dai T, Adler A, Shahrrava B. Variable Step-Size Affine Projection Algorithm with A Weighted and Regularized Projection Matrix[C].Canada: IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE)-Ottawa, 2006:1201-1204.

[7] Dai T, Shahrrava B. Variable Step-Size NLMS and Affine Projection Algorithms with Variable Smoothing Factor[C].OH,USA: IEEE International 48th Midwest Symposium on Circuits and Systems-Cincinnati, 2005:1530-1532.

[8] Choi Y S, Shin H C, Song W J. Adaptive Regularization Matrix for Affine Projection Algorithms [J].IEEE Trans Circuits System II. 2007, 54(12):1087-1091.