考慮偶應(yīng)力影響的雙組節(jié)理巖體等效模型

劉 俊，黃 銘

（1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240；2.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

考慮偶應(yīng)力影響的雙組節(jié)理巖體等效模型

劉 俊1，黃 銘2

（1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240；2.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

考慮到巖體中節(jié)理存在的影響，針對(duì)具有兩組斜交節(jié)理的巖體，通過對(duì)代表單元的分析，得到了基于一般Cosserat介質(zhì)理論的等效模型，該模型可以退化到巖體具有兩組正交節(jié)理或一組節(jié)理的情形。將上述模型以自編程序?qū)崿F(xiàn)，對(duì)節(jié)理巖體沉降進(jìn)行了數(shù)值模擬，同時(shí)采用增設(shè)節(jié)理單元法進(jìn)行了對(duì)比分析，兩者具有較好的一致性，最后討論了兩組節(jié)理不同斜交角度的影響，計(jì)算結(jié)果表明等效模型合理有效。

節(jié)理巖體；Cosserat理論；等效模型；有限元分析；偶應(yīng)力

1 概 述

確切了解巖土的特性以及由于工程建設(shè)（或開挖）而引起的巖體或土體應(yīng)力、變形和破壞的發(fā)展規(guī)律并對(duì)其穩(wěn)定性作出正確評(píng)價(jià)非常重要，而在土木、水利等工程中所接觸到的巖體總是具有結(jié)構(gòu)面，這些結(jié)構(gòu)面的存在改變了巖體的均勻連續(xù)性。受層狀或多組節(jié)理切割的巖體是巖土工程中經(jīng)常遇到的，研究節(jié)理巖體的力學(xué)行為特點(diǎn)，建立合適的模型進(jìn)行數(shù)值模擬分析對(duì)巖體工程設(shè)計(jì)和施工具有理論和實(shí)際意義。

對(duì)于節(jié)理巖體的模擬，一般有采用節(jié)理單元的顯式方式［1］和建立宏觀復(fù)合等效模型的隱式方式［2－5］。在節(jié)理密集時(shí)，應(yīng)用節(jié)理單元進(jìn)行分析相當(dāng)困難和麻煩，而隱式方法將節(jié)理巖體等效為具有各向異性特點(diǎn)的連續(xù)體，求解非常方便，但其應(yīng)用前提是等效模型必須合理有效。

絕大部分節(jié)理巖體等效模型基于傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論構(gòu)建［2－5］，傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論建立在均質(zhì)、連續(xù)的基本假設(shè)之上，所以其求解的正確及精確程度依賴于材料對(duì)均勻性假定的滿足程度。事實(shí)上節(jié)理的存在使得巖體具有明顯的宏觀特征尺度和結(jié)構(gòu)性，Cosserat介質(zhì)理論由于可以考慮特征尺度影響，較一般連續(xù)介質(zhì)理論更為精確且更具有一般性，在節(jié)理巖體力學(xué)特性的數(shù)值模擬中具有理論上的優(yōu)越性。

目前已有一些學(xué)者基于約束轉(zhuǎn)動(dòng)Cosserat理論或一般Cosserat理論針對(duì)節(jié)理巖體建立了等效模型［6－9］，但大多數(shù)研究者針對(duì)的是具有一組節(jié)理的層狀巖體［6，8，9］，只有少數(shù)學(xué)者采用約束轉(zhuǎn)動(dòng)Cosserat介質(zhì)理論進(jìn)行了兩組節(jié)理或是多組節(jié)理情形的研究［7］。考慮到約束轉(zhuǎn)動(dòng)Cosserat理論中轉(zhuǎn)動(dòng)位移不獨(dú)立，剪應(yīng)力無法確定，采用一般Cosserat介質(zhì)理論更為合適。

本文基于一般Cosserat介質(zhì)理論，針對(duì)具有兩組斜交節(jié)理的巖體，通過對(duì)代表單元的分析，建立了平面等效模型，并以有限元程序?qū)崿F(xiàn)。隨后分別采用等效模型和增設(shè)節(jié)理單元法對(duì)節(jié)理巖體沉陷進(jìn)行了數(shù)值模擬，同時(shí)對(duì)兩組節(jié)理不同斜交角度的影響進(jìn)行了討論，結(jié)果表明該等效模型可以有效模擬節(jié)理巖體的力學(xué)行為。

2 Cosserat介質(zhì)理論

由于介質(zhì)具有微結(jié)構(gòu)，代表單元具有尺度，偶應(yīng)力及曲率被引入，如圖1。

對(duì)于平面問題，其微分平衡方程為：

式中：σx和σy為正應(yīng)力；σxy和σyx為剪應(yīng)力，且σxy≠σyx；mx和my為偶應(yīng)力。

幾何變形方程為6個(gè)：

圖1 Cosserat單元Fig.1 A Cosserat element

3 斜交節(jié)理巖體模型

3.1 局部坐標(biāo)系下斜交節(jié)理巖體模型

考察具有兩組斜交節(jié)理，節(jié)理間距分別為d1和d2的巖體。視為平面問題，則代表單元如圖2。

圖2 2組斜交節(jié)理巖體代表單元Fig.2 An element of rockmass w ith two sets of nonorthogonal joints

圖2 中，oxy為整體坐標(biāo)系；局部坐標(biāo)系ox1y1的x1軸在第一組節(jié)理面內(nèi)，y1軸垂直于第一組節(jié)理面；ox2y2依ox1y1的相同方式定義；?為兩組節(jié)理的夾角；β1為第一組節(jié)理面和整體坐標(biāo)系x軸之夾角。

以｛σ*｝和｛ε*｝分別表示ox1y1下傳統(tǒng)應(yīng)力和應(yīng)變矢量，則在ox1y1下，有｛σ*｝＝［］｛ε*｝和｛ε*｝＝［S*］｛σ*｝。在此，基于變形等效原則，可以得到［7］

式中：［S*］為ox1y1下節(jié)理巖體性質(zhì)矩陣；［Sr］是巖塊性質(zhì)矩陣；［］是oxiyi下第i組節(jié)理對(duì)巖體柔度性質(zhì)的貢獻(xiàn)（i＝1，2）；［C1→2］和［C2→1］為轉(zhuǎn)換矩陣，且有［C1→2］＝［C2→1］T＝［C2→1］－1。其中，考慮非對(duì)稱Cosserat剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的關(guān)系，有

剛性執(zhí)行。軍隊(duì)行政權(quán)力清單制度規(guī)范的內(nèi)容，主要是機(jī)關(guān)部門行使的權(quán)力，一旦列入清單，該項(xiàng)權(quán)力就必須按照規(guī)定的權(quán)限、內(nèi)容和流程行使，任何單位和個(gè)人不得隨意增加和削減清單列入的權(quán)力。對(duì)未列入清單的權(quán)力，則是處于該部門職權(quán)范圍之外，不得越權(quán)行使。一旦違規(guī)用權(quán)，必須嚴(yán)肅追究責(zé)任，承擔(dān)相應(yīng)后果。

式中：E，v分別為巖塊的楊氏模量與泊松比；G為通常意義下的剪切模量，Gc為Cosserat剪切模量［6］。

又有

式中：kni，ksi分別為兩組節(jié)理的法向剛度和切向剛度。轉(zhuǎn)換矩陣［C1→2］為

由此可以得到

分別考察節(jié)理和巖塊的轉(zhuǎn)角變形和外力偶的關(guān)系，可以得到

3.2 整體坐標(biāo)系下彈性矩陣

通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可以得到整體坐標(biāo)系下彈性矩陣［D］為

4 算 例

4.1 沉陷計(jì)算對(duì)比分析

設(shè)巖體中存在兩組節(jié)理，節(jié)理面以及巖體的參數(shù)見表1。計(jì)算域尺寸6 m×3 m，上邊界中部1.2 m范圍作用均布載荷q＝20 kN／m。

表1 巖體物理力學(xué)參數(shù)Table1 Mechanical parameters of a rockmass

分別采用本文等效模型和增設(shè)節(jié)理單元法進(jìn)行分析，得到上部邊界的下沉曲線如圖3，可以看出中部向下垂向位移最大；受第二組節(jié)理的影響，基巖兩邊變形不對(duì)稱，左側(cè)的垂向位移大于右側(cè)；同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，兩者的結(jié)果具有很好的一致性，說明文中建立的等效模型有效。

圖3 上部邊界的變形曲線Fig.3 Settlement curves of upper boundary

4.2 節(jié)理夾角影響

設(shè)巖體仍存在兩組節(jié)理，巖塊參數(shù)以及計(jì)算域和載荷同4.1。取節(jié)理法向剛度為10 000 MPa／m，切向剛度5 000 MPa／m，節(jié)理間距0.2 m。保持第一組節(jié)理水平，改變第二組節(jié)理的產(chǎn)狀（第二組節(jié)理面與水平面的夾角分別取為0°，15°，30°，45°，60°，75°以及90°，圖4為第一組節(jié)理水平，第二組節(jié)理與水平面成夾角60°的示意），考察交角變化的影響。

圖4 兩組斜交節(jié)理巖體Fig.4 The rockmass w ith two sets of non-orthogonal joints

計(jì)算得到上邊界中部及兩邊的垂向位移隨第二組節(jié)理角度變化的曲線見圖5。從圖中可以看出，夾角為15°，30°，60°以及75°時(shí)，在載荷以及約束都對(duì)稱的情況下，兩邊變形明顯不對(duì)稱，巖體具有明顯的各向異性；同時(shí)可以看出，模型可以反映節(jié)理產(chǎn)狀的影響，其他條件一樣時(shí)，上部沉降量會(huì)隨第二組節(jié)理和水平面夾角的增大而減小，其中兩組節(jié)理平行（兩組節(jié)理角度都為0°）時(shí)，相當(dāng)于巖體具有一組節(jié)理且節(jié)理間距為0.1m，此時(shí)沉降最大，而兩組節(jié)理垂直（兩組節(jié)理角度分別為0°和90°）時(shí)沉降最小，不過在這兩種情況下變形都是左右對(duì)稱的。

圖5 變形隨節(jié)理夾角變化曲線Fig.5 Settlement curves of upper boundary vs.included angles of joint

5 討 論

本文針對(duì)雙組節(jié)理巖體建立了等效模型，與增設(shè)節(jié)理單元法的對(duì)比表明該等效模型合理有效。由于實(shí)際工程中節(jié)理產(chǎn)狀復(fù)雜，所以多組斜交節(jié)理切割巖體的力學(xué)行為分析非常重要。Cosserat介質(zhì)理論相對(duì)傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論更為精確和一般化，基于該理論進(jìn)行復(fù)雜節(jié)理巖體的本構(gòu)模型研究具有理論和實(shí)際工程意義，有必要進(jìn)一步開展相關(guān)工作。

［1］ GOODMAN R E，TAYLOR R L，BREKKE T L.A model for the mechanics of joint rock［J］.J of Soil Mech.Found Dic ASCE，1968，94（3）：637－659.

［2］ ZIENKIEWICZO C，KELLYDW.The coupling of the finite element method and boundary solution procedures［J］.Int JNumer Methods Eng，1977，11（2）：355－375.

［3］ 張 武，張宏憲.節(jié)理巖體的彈性模型［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，1987，9（4）：33－44.（ZHANG Wu，ZHANG Hong-xian.Elasticmodels of jointed rockmasses［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1987，9（4）：33－44.（in Chinese））

［4］ 張玉軍.節(jié)理巖體等效模型及其數(shù)值計(jì)算和室內(nèi)試驗(yàn)［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2006，28（1）：29－32.（ZHANG Yu-jun.Equivalentmodel and numerical analysis and laboratory test for jointed rockmass［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2006，28（1）：29－32.（in Chinese））

［5］ 牛 斌，楊海天.基于均勻化方法的斜交節(jié)理巖體復(fù)合本構(gòu)關(guān)系研究［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2007，29（5）：773－778.（NIU Bin.YANG Hai-tian.Homogenizationbased investigation on constitutive relationship of oblique joint rock［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2007，29（5）：773－778.（in Chinese））

［6］ 陳勝宏，王鴻儒，熊文林.節(jié)理巖體的偶應(yīng)力有限元分析［C］∥第一屆全國計(jì)算巖土力學(xué)研討會(huì)論文集（二）.成都：西南交通大學(xué)出版社，1987：94－99.（CHEN Sheng-hong，WANG Hong-ru，XIONGWen-lin.Couple stress FE analysis for jointed rock masses［C］∥Proc.of the 1st National Seminar on Computational Geomechanics 2.Chengdu：Southwest Jiaotong University Press，1987：94－99.（in Chinese））

［7］ GE Xiu-run，F(xiàn)ENG Shu-ren.Model of regularly jointed rockmass with consideration of the influence of couple stresses［J］.Computer Methods and Advances in Geomechanics，1991，（6）：138－152.

［8］ DAIC，MUHLHAUS H，MEEK J，et al.Modelling of blocky rock masses using the cosseratmethod［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences＆Geomechanics Abstracts，1996，33（4）：425－432.

［9］ 劉 俊，黃 銘，葛修潤，等.層狀巖體開挖的空間彈性偶應(yīng)力理論分析［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2000，19（3）：276－280.（LIU Jun，HUANG Ming，GE Xiurun，et al.Analysis on layered rockmass excavating with spatial elastic couple-stress theory［J］.Chinese Journalof Rock Mechanics and Engineering，2000，19（3）：276－280.（in Chinese））

［10］佘成學(xué)，熊文林，陳勝宏.層狀巖體的彈粘塑性Cosserat介質(zhì)理論及其工程應(yīng)用［J］.水利學(xué)報(bào)，1996，（4）：10－17，26.（SHE Cheng-xue，XIONG Wen-lin，CHEN Sheng-hong.Elasto-visco plastic Cosserat theory of layered rockmass and its application in engineering［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1996，（4）：10－17，26.（in Chinese） ）

（編輯：曾小漢）

Equivalent M odel of Rockmasses w ith Two Sets of Joints Considering Influence of Couple Stresses

LIU Jun1，HUANG Ming2
（1.School of Naval Architecture，Ocean and Civil Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China；2.School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Considering the influence of existence of joints in rockmasses，an equivalentmodel has been erected based on the general Cosserat continuum theory and the analysis of a representative element.The equivalentmodel aims at rockmasses with two sets of nonorthogonal joints.Moreover，it also could be used to simulate rockmasses with two sets of orthogonal joints or one set of joint under certain condition.The equivalentmodel has been coded into a FEM program and the numerical analysis has been carried out to predict settlement of rock foundation；at the same time，the Goodman’s jointelementmethod has been applied to solving the same problem.It can be found that the deformation results obtained from abovementioned twomethods have a good agreementwith each other.Moreover，two sets of jointswith different included angles are discussed with equivalentmodel，the results show that the proposed equivalentmodel is reasonable and effective for numerical analysis in jointed rockmasses.

jointed rockmass；Cosserat theory；equivalentmodel；FEM analysis；couple-stress

TU452；O344.3

A

1001－5485（2010）09－0043－04

2009-11-26；

2010-01-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50609014，50979056）

劉 俊（1971-），女，湖北仙桃人，副教授，博士，主要從事巖土工程數(shù)值方法以及計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)研究，（電話）021-34204470（電子信箱）JLIU＠sjtu.edu.cn。